知識(shí)點(diǎn)一：極值與最值
1、函數(shù)的極值
函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．
注：①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．
②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．
2、函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．
【解題方法總結(jié)】
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)?，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；
（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；
（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；
（9）對(duì)于任意的，使得；
（10）對(duì)于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)
例1.若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值滿足，則至少有（ ）個(gè)單調(diào)區(qū)間.
A．3B．4C．5D．6
變式1.已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數(shù)的最小值為
變式2.已知函數(shù)．
(1)證明：當(dāng)時(shí)，有唯一的極值點(diǎn)為，并求取最大值時(shí)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解題方法總結(jié)】
1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗(yàn)方程根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與極小值是否與已知有矛盾．
2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零．這個(gè)零點(diǎn)必須穿越軸，否則不是極值點(diǎn)．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn)）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．
題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)
例2.若函數(shù)無極值，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
變式3.函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
變式4.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)
（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；
（2）驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．
題型三：求函數(shù)的最值（不含參）
例3.已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
變式5.已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.
變式6.已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為______.
【解題方法總結(jié)】
求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．
題型四：求函數(shù)的最值（含參）
例4.已知函數(shù)，，其中.
(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；
(2)若時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(3)若的最小值為，證明：當(dāng)時(shí)，.
變式7.已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的最大值；
【解題方法總結(jié)】
若所給的閉區(qū)間含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．
題型五：根據(jù)最值求參數(shù)
例5.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是______．
變式8.已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用
例6.已知，函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)的最小值.
變式9.設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
(1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3)求在內(nèi)的最值．
題型七：不等式恒成立與存在性問題
例7.若不等式 對(duì)恒成立，則a的取值范圍是______.
變式10.若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為______
變式11.已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
(2)若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若對(duì)任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解題方法總結(jié)】
在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)．
極值與最值 隨堂檢測(cè)
1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2.已知函數(shù)在處取得極大值4，則（ ）
A．8B．C．2D．
3.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
4.函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A．B．C．D．
5.已知函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6.已知函數(shù)，則的最大值是________．
7.若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
8.已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的極值；
(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

相關(guān)試卷

（寒假）2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè) 第06課 數(shù)列求和（2份，原卷版+教師版）：

這是一份（寒假）2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè) 第06課 數(shù)列求和（2份，原卷版+教師版），文件包含寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第06課數(shù)列求和原卷版docx、寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第06課數(shù)列求和原卷版pdf、寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第06課數(shù)列求和教師版docx、寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第06課數(shù)列求和教師版pdf等4份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共65頁， 歡迎下載使用。

（寒假）2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè) 第05課 數(shù)列的通項(xiàng)公式（2份，原卷版+教師版）：

這是一份（寒假）2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè) 第05課 數(shù)列的通項(xiàng)公式（2份，原卷版+教師版），文件包含寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第05課數(shù)列的通項(xiàng)公式原卷版docx、寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第05課數(shù)列的通項(xiàng)公式原卷版pdf、寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第05課數(shù)列的通項(xiàng)公式教師版docx、寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第05課數(shù)列的通項(xiàng)公式教師版pdf等4份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共64頁， 歡迎下載使用。

（寒假）2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè) 第04課 空間向量（2份，原卷版+教師版）：

這是一份（寒假）2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè) 第04課 空間向量（2份，原卷版+教師版），文件包含寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第04課空間向量原卷版docx、寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第04課空間向量原卷版pdf、寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第04課空間向量教師版docx、寒假2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè)第04課空間向量教師版pdf等4份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共85頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測(cè) 第11課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（2份，原卷版+教師版）

（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測(cè) 第11課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（2份，原卷版+教師版）
（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測(cè) 第09課 圓錐曲線中的最值、定點(diǎn)、定值問題（2份，原卷版+教師版）

（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測(cè) 第09課 圓錐曲線中的最值、定點(diǎn)、定值問題（2份，原卷版+教師版）
（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第10講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（2份，原卷版+教師版）

（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第10講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（2份，原卷版+教師版）
（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第08講 圓錐曲線三定問題及最值（2份，原卷版+教師版）

（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第08講 圓錐曲線三定問題及最值（2份，原卷版+教師版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
寒假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部