1.圓的定義及方程
2. 點與圓的位置關(guān)系
(1)理論依據(jù)：點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系．
(2)三種情況
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2?點在圓上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2?點在圓外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)20)，將P，Q兩點的坐標(biāo)分別代入，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D－4E－F＝20①，,3D－E＋F＝－10②.))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③.設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，得D2－4F＝36④.由①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0，故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2) 已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線 l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)，則該圓的方程是________________________；
【答案】 (x－1)2＋(y＋4)2＝8
【解析】 過切點且與x＋y－1＝0垂直的直線方程為x－y－5＝0，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)，所以半徑r＝ eq \r((3－1)2＋(－2＋4)2)＝2 eq \r(2)，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(3) 若一個圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為 2 eq \r(7)，則該圓的方程為___________________．
【答案】 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9
【解析】 因為所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，所以設(shè)所求圓的圓心為(3a，a).因為所求圓與y軸相切，所以半徑r＝3|a|.因為所求圓在直線y＝x上截得的弦長為2 eq \r(7)，圓心(3a，a)到直線y＝x的距離d＝ eq \f(|2a|,\r(2))，所以d2＋( eq \r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
【變式1-1】已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且截直線x－y－3＝0所得的弦長為eq \r(6)，則圓C的方程為________.
【答案】 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】法一 ∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，∴可設(shè)所求圓的圓心為(a，－a).∵所求圓與直線x－y＝0相切，∴半徑r＝eq \f(2|a|,\r(2))＝eq \r(2)|a|.又所求圓截直線x－y－3＝0所得的弦長為eq \r(6)，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq \f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)＝r2，即eq \f(（2a－3）2,2)＋eq \f(3,2)＝2a2，解得a＝1，
∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
則圓心(a，b)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq \f(|a－b－3|,\r(2))，∴r2＝eq \f(（a－b－3）2,2)＋eq \f(3,2)，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圓與直線x－y＝0相切，∴eq \f(|a－b|,\r(12＋（－1）2))＝r.② 又∵圓心在直線x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
聯(lián)立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
方法總結(jié)：求圓的方程的方法：
(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．
(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.
考向二 與圓有關(guān)的最值問題
【例2】（1）已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
【解析】 設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在 y軸上的截距，
所以x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距．
由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即 eq \f(|2＋(－3)－t|,\r(2))＝1，解得t＝ eq \r(2)－1或t＝－ eq \r(2)－1，
所以x＋y的最大值為 eq \r(2)－1，最小值為－ eq \r(2)－1.
（2）已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求 eq \f(y,x)的最大值和最小值．
【解析】 eq \f(y,x)可視為點(x，y)與原點連線的斜率， eq \f(y,x)的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率．
設(shè)過原點的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即 eq \f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋ eq \f(2\r(3),3)或k＝－2－ eq \f(2\r(3),3)，所以 eq \f(y,x)的最大值為－2＋ eq \f(2\r(3),3)，最小值為－2－ eq \f(2\r(3),3).
（3）已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上 eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．
【解析】 eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝ eq \r((x＋1)2＋(y－2)2)，求它的最值可視為求點(x，y)到定點(－1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(－1，2)的距離與半徑的和或差．
又圓心到定點(－1，2)的距離為 eq \r(34)，
所以 eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值為 eq \r(34)＋1，最小值為 eq \r(34)－1
【變式2-1】若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．
(1)eq \f(y,x－4)；
(2)3x－4y；
(3)x2＋y2.
【解析】 (1)(方法1)令eq \f(y,x－4)＝k，則kx－y－4k＝0.
∵x，y滿足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，
∴圓心(－1，2)到直線kx－y－4k＝0的距離不大于圓的半徑2，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2＋5k)),\r(k2＋1))≤2，解得－eq \f(20,21)≤k≤0，
∴eq \f(y,x－4)的最大值為0，最小值為－eq \f(20,21).
(方法2)令eq \f(y,x－4)＝k，則y＝k(x－4)代入圓的方程，整理得(1＋k2)x2＋(2－4k－8k2)x＋16k2＋16k＋1＝0，
∵上述方程有實數(shù)根，∴Δ＝(2－4k－8k2)2－4(1＋k2)·(16k2＋16k＋1)≥0，化簡整理得21k2＋20k≤0，解得－eq \f(20,21)≤k≤0，∴eq \f(y,x－4)的最大值為0，最小值為－eq \f(20,21).
(2)(方法1)設(shè)3x－4y＝k，則3x－4y－k＝0，圓心(－1，2)到該直線的距離不大于圓的半徑，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3－8－k)),\r(25))≤2，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值為－1，最小值為－21.
(方法2)設(shè)k＝3x－4y，即y＝eq \f(3,4)x－eq \f(k,4)，代入圓的方程，整理得25x2－(16＋6k)x＋k2＋16k＋16＝0，
∵上述方程有實數(shù)根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k2＋16k＋16)≥0，化簡整理得k2＋22k＋21≤0，
解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值為－1，最小值為－21.
(3)(方法1)先求出原點與圓心之間的距離d＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－0))2)＝eq \r(5)，
根據(jù)幾何意義，知x2＋y2的最大值為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5)＋2))eq \s\up12(2)＝9＋4eq \r(5)，最小值為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5)－2))eq \s\up12(2)＝9－4eq \r(5).
(方法2)由(1)的方法知，圓的方程中的x，y變?yōu)閑q \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1＋2csα，,y＝2＋2sinα))(α∈R)，
x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋2csα))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2sinα))eq \s\up12(2)＝9＋8sinα－4csα＝9＋4eq \r(5)sin(α＋φ)
∴x2＋y2的最大值為9＋4eq \r(5)，最小值為9－4eq \r(5).
【變式2-2】已知點，點，R是圓上動點，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】因為R是圓上的動點，則設(shè)，其中.
則，得
，其中滿足
，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：.
方法總結(jié)：
(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法：一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．
(2)與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
考向三 與圓有關(guān)的軌跡問題
【例3】已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．
(1) 求線段AP中點的軌跡方程；
(2) 若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．
【解析】 (1) 設(shè)AP的中點為M(x，y). 由中點坐標(biāo)公式，得點P的坐標(biāo)為(2x－2，2y).
因為點P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
即(x－1)2＋y2＝1，故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2) 設(shè)PQ的中點為N(a，b).在Rt△PBQ中，PN＝BN.
設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON，則ON⊥PQ，
所以O(shè)P2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，所以a2＋b2＋(a－1)2＋(b－1)2＝4，
化簡，得a2＋b2－a－b－1＝0，
故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
【變式3-1】已知點P為直線上一動點，過點P作圓的切線，切點分別為A、B，且，則動點P的軌跡的長度為____________．
【答案】
【解析】因為 , 所以 , 所以，
解得 ,設(shè)點 的坐標(biāo)為 ,所以 ,解得 ,所以動點 的軌跡的長度為.故答案為：.
【變式3-2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2eq \r(2)，在y軸上截得線段長為2eq \r(3)．
(1)求圓心P的軌跡方程；
(2)若P點到直線y＝x的距離為eq \f(\r(2),2)，求圓P的方程．
【解析】 (1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r．則y2＋2＝r2，x2＋3＝r2．∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1．
∴P點的軌跡方程為y2－x2＝1．
(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq \f(|x0－y0|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1．∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1．
①當(dāng)y0＝x0＋1時，由yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1得(x0＋1)2－xeq \\al(2,0)＝1．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝1，))∴r2＝3．
∴圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3．
②當(dāng)y0＝x0－1時，由yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1得(x0－1)2－xeq \\al(2,0)＝1．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝－1，))∴r2＝3．
∴圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3．綜上所述，圓P的方程為x2＋(y±1)2＝3．
方法總結(jié)：求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法：
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．
(4)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等．
考向四 直線與圓的位置關(guān)系
【例4】直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為( )
A.相交、相切或相離 B.相交或相切 C.相交 D.相切
【答案】 C
【解析】方法一 直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過定點(1,2).
因為12＋22－2×1－8

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