??？碱}型13 圓錐曲線中定點、定值、最值與范圍問題

考法一：圓錐曲線中的最值問題
1.幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理等知識進(jìn)行求解。
2.代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法。
利用代數(shù)法解決最值與參數(shù)范圍問題常從以下五個方面考慮：
(1)利用根的判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)間建立等量關(guān)系；
(3)建立關(guān)于參數(shù)的不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；
(5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍。
考法二：定點問題
1.引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線方程的系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究引進(jìn)的變量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，從而找到定點。
2.特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明定點與變量無關(guān)。
考法三：定值問題
1.基本思路
(1)首先求出這個幾何量或代數(shù)表達(dá)式；
(2)對表達(dá)式進(jìn)行化簡，整理成的最簡形式；
(3)根據(jù)已知條件列出必要的方程(或不等式)，消去參數(shù)，求出定值，一般是根據(jù)已知條件列出方程，代入，得到(c為常數(shù))的形式。
2.常用方法
(1)從特殊入手，求出表達(dá)式，再證明這個值與變量無關(guān)；
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值。

探究一：圓錐曲線中的最值問題
已知是橢圓的右焦點，點在上，直線與軸交于點，點為C上的動點，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
思路分析：
由題可得橢圓，進(jìn)而可得，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，再結(jié)合條件及二次函數(shù)的性質(zhì)即求。

【解析】由題可得，
∴，即橢圓，
∴，直線方程為，
∴，又，
設(shè)，則，，
∴


，又，
∴當(dāng)時，有最小值為.
故選：C.
【答案】C
【變式練習(xí)】
1．已知雙曲線的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為，則雙曲線上的點到點的最小距離為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，，可得，，，
所以，雙曲線的方程為，
設(shè)是雙曲線上的點，則，且或，
則，
所以當(dāng)時，.
故選：B.
2．已知拋物線：，點為拋物線上任意一點，過點向圓作切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圓 圓心 ，半徑，設(shè)

，故選B.
探究二：定點問題
設(shè)A，B是拋物線C：上兩個不同的點，О為坐標(biāo)原點，若直線OA與OB的斜率之積為-4，則下列結(jié)論正確的有（????）
①②
③直線AB過拋物線C的焦點④面積的最小值是2
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
思路分析：
設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理代入，可判斷③；從而根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，可判斷①；再表示出的面積可判斷④；對于②取，可判斷；從而得出答案。

【解析】取，，滿足，從而，故②錯誤；
由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，整理得，則，.
因為，所以，所以直線的方程為，
則直線過點，因為拋物線的焦點為，所以直線過焦點，
故③正確；
則由拋物線的性質(zhì)可知，故①正確；
由上可得直線的方程為，則，
原點到直線的距離，
則，故④正確.
故選：A
【答案】A
【變式練習(xí)】
1．已知橢圓的上頂點為為橢圓上異于A的兩點，且，則直線過定點（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)直線的方程為，，則由
整理得，
所以，
，
因為，，，
所以

解得或，
當(dāng)時，直線的方程為，直線過點而，而不在同一直線上，不合題意；
當(dāng)時，直線的方程為，直線過，符合題意.
故選：D.

2．已知為雙曲線右支上的一個動點，為雙曲線的右焦點，若在軸的負(fù)半軸上存在定點，使得，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題知.設(shè)，當(dāng)時，因為，所以，所以，所以，即.
當(dāng)時，，.
因為，所以.
將代入并整理得，由解得.
故選：A．
探究三：定值問題
已知，，為曲線的左、右焦點，點為曲線與曲線在第一象限的交點，直線為曲線在點處的切線，若三角形的內(nèi)心為點，直線與直線交于點，則點，橫坐標(biāo)之差為_______．
思路分析：
由題意寫出明確兩曲線的焦點，可求得P點坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點處的切線方程，利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)求出三角形 內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)，再表示出直線的方程，聯(lián)立解得N點橫坐標(biāo)，即可求得答案。

【解析】由題意得，，為曲線的左、右焦點，點為曲線與曲線在第一象限的交點，即C,E有相同的焦點，
則，
聯(lián)立,消去，得，
對于橢圓，設(shè)為橢圓上一點，令，
則橢圓化為圓 ，即為，
由圓上一點處的切線方程可知在處的切線方程為，
故可得橢圓在處的切線方程為，
即，
故由直線為曲線在點處的切線，P點在第一象限，
則，可得直線方程為 ① ，
設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，則由等面積可得，
???② ，
又由于P在雙曲線上，設(shè)三角形內(nèi)切圓圓心，各邊上的切點分別為，如圖：

由圓的切線性質(zhì)可得，
則 ,
即 ，即M點橫坐標(biāo)為1，
由可得直線的方程為?③??，
聯(lián)立①②③，化簡可得；
又，
故答案為：
【答案】
【變式練習(xí)】
1．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且過點，M，N為雙曲線上的兩動點，以M，N為直徑的圓過原點O，則______．
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的方程為，將代入雙曲線的方程可得，
∴，則雙曲線的方程為．∵M(jìn)，N為雙曲線上的兩動點，且以M，N為直徑的圓過坐標(biāo)原點O，∴，∴．設(shè)，，設(shè)直線OM為，聯(lián)立解得，，同理可得，，∴．
故答案為：.
2．已知拋物線的焦點為，過作直線交拋物線于兩點，點，若直線的斜率分別為，則______．
【答案】
【解析】由拋物線方程知：，則可設(shè)，，，
由得：，；
.
故答案為：.

一、單選題
1．已知點、，動點滿足：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，，整理得，
則，故，
因為，所以，所以，
即．
故選：C．
2．點M為雙曲線上任意一點，點O是坐標(biāo)原點，則的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】設(shè)M(x,y),∵ 點M為雙曲線上,∴
=
故選B.
3．已知拋物線和所圍成的封閉曲線如圖所示,給定點,若在此封閉曲線上恰有三對不同的點,滿足每一對點關(guān)于點對稱,則實數(shù)的取值范圍是

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：顯然，過點與軸平行的直線與封閉曲線的
兩個交點關(guān)于點對稱，且這兩個點在同一曲線上．
當(dāng)對稱的兩個點分屬兩段曲線時，設(shè)其中一個點
為，，其中，且，
則其關(guān)于點的對稱點為，，
所以這個點在曲線上，
所以，即，
所以，即，此方程的的解必須剛好有且只有兩個，
當(dāng)時，其對稱點的橫坐標(biāo)剛好為，故，
于是，且，
，即，
故選：．
4．已知橢圓的左焦點是，右焦點是，點P 在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么
A．3 : 5 B．3 : 4 C．4 : 3 D．5 : 3
【答案】A
【解析】由橢圓方程可得：,
設(shè)P點坐標(biāo)為，線段的中點為，
因為線段的中點在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，
不妨取,則，
所以 ，故選A.
5．已知橢圓：的左右頂點分別為和，是橢圓上不同于，的一點．設(shè)直線，的斜率分別為，，則當(dāng)取最小值時，橢圓的離心率為（??????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，
所以，
令，，
構(gòu)造函數(shù)，
，
當(dāng)，，為減函數(shù)，
當(dāng)，，為增函數(shù)，
所以時取最小值，
此時，.
故選：C
6．已知橢圓，P為E的長軸上任意一點，過點P作斜率為的直線l與E交于M，N兩點，則的值為（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】設(shè)，直線l的方程為，將直線方程代入橢圓方程并化簡得到，進(jìn)而有，
所以
．
故選：B．
7．直線l過點（2，1），且與雙曲線有且只有一個公共點，則這樣的不同直線的條數(shù)為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為：，
由得，
時，不成立，方程組無解，時，解得，方程組有唯一解，即直線l與雙曲線有唯一公共點，
時，，
即直線l的斜率存在時，符合條件的直線只有一條，
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l：x=2，代入雙曲線方程得y=0，即直線l與雙曲線也有唯一公共點，
所以符合條件的直線有2條.
故選：B
8．已知雙曲線的左?右焦點分別為，圓與的漸近線相切.為右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為.給出以下結(jié)論：
①的離心率；
②兩漸近線夾角為；
③為定值；
④的最小值為.
則所有正確結(jié)論為（????）
A．①② B．①③ C．③④ D．①③④
【答案】D
【解析】因為圓與的漸近線相切，
所以圓心到漸近線的距離等于圓的半徑，
即，解得，
所以，離心率，故①正確；
因為的漸近線為，所以兩漸近線的傾斜角為和，所以兩漸近線夾角為，故②不正確；
設(shè)，則，
為定值，故③正確；
依題意設(shè)，
聯(lián)立，得，則，
聯(lián)立，，則，
所以
，
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即為雙曲線的右頂點時，等號成立.故④正確.
故選：D.
二、多選題
9．已知橢圓：的離心率為，且過點.若P在橢圓上，，是橢圓的左，右焦點，則下列說法正確的是（????）
A．若，則 B．滿足是直角三角形的點有4個
C．若，則 D．的最大值為
【答案】ACD
【解析】解：依題意可得，解得，，，所以橢圓方程為，則、；
對于A：若，根據(jù)橢圓的對稱性，可知在橢圓的上、下頂點，此時，所以，故A正確；
對于B：若在橢圓的上、下頂點時，則，
所以，所以以為直角頂點的直角三角形有4個，又以（或）為直角頂點的直角三角形有2個，所以滿足是直角三角形的點有8個，故B錯誤；
對于C：若，因為，所以、，
又，所以，故C正確；
對于D：因為，所以，又，即，所以，即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)點在橢圓的右頂點時取等號，故D正確；
故選：ACD
10．若雙曲線C：的實軸長為6，焦距為10，右焦點為F，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．過點F的最短的弦長為 B．雙曲線C的離心率為
C．雙曲線C上的點到點F距離的最小值為2 D．雙曲線C的漸近線為
【答案】CD
【解析】因為雙曲線的實軸長為6，焦距為10，故可得，又，
故可得，則雙曲線的方程為：，且；
對：若過點的直線斜率為零，顯然該直線截雙曲線的弦長為，故錯誤；
對：雙曲線的離心率，故錯誤；
對：設(shè)雙曲線上任意一點，則，
則，又其對稱軸為，
故當(dāng)時，取得最小值為，故正確；
對：雙曲線的漸近線方程為，故正確.
故選：.
11．點是橢圓上一點，橢圓的左右焦點分別為，則下列說法正確的是（????）
A．若橢圓上頂點為，，則的面積為
B．若，則橢圓的離心率的最小值為
C．令直線的斜率分別為，則
D．若的重心和內(nèi)心滿足，其中，則橢圓的離心率
【答案】ABD
【解析】設(shè)，則.
對于A：在中，，由余弦定理得：，所以，即.因為橢圓上頂點為，所以b=2，所以，所以的面積為.故A正確；
對于B：在中，，由余弦定理得：，所以，即.根據(jù)基本不等式有，
所以，即，所以離心率.故B正確；
對于C：設(shè)，則.
因為直線的斜率分別為，由，則，所以.
由可得：，所以.故C錯誤；
對于D：設(shè)，則.由，所以重心.
因為，所以可設(shè)內(nèi)心.即內(nèi)接圓的半徑為.
因為的面積為,所以，
所以，所以離心率.故D正確.
故選：ABD.
12．已知雙曲線，若圓與雙曲線的漸近線相切，則（????）
A．雙曲線的實軸長為
B．雙曲線的離心率
C．點為雙曲線上任意一點，若點到的兩條漸近線的距離分別為、，則
D．直線與交于、兩點，點為弦的中點，若（為坐標(biāo)原點）的斜率為，則
【答案】BCD
【解析】解：由題意知的漸近線方程為，所以，因為，則，
所以雙曲線的實軸長為，故A錯誤；
，所以，故B正確；
設(shè)，則，，故C正確；
設(shè)、，則，兩式作差得，
所以，，D對.
故選：BCD.
三、填空題
13．雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為，雙曲線上有兩個點、，直線和的斜率之積為，則_________.
【答案】
【解析】由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，且，則，
該雙曲線的漸近線方程為，則，
所以，雙曲線的方程為，即.
設(shè)直線的方程為，其中且且，
聯(lián)立，可得，
所以，，則，
因此，.
故答案為：.
14．已知拋物線，點是的準(zhǔn)線上一個動點，過點作的兩條切線，切點分別為.則直線必然經(jīng)過定點，該定點坐標(biāo)為___________.
【答案】
【解析】設(shè)，，，，，
由，即，可得，
所以拋物線在處的切線的方程為，
即，因為，可得，
因為在切線上，可得，①,
同理可得，②
綜合①②可得，的坐標(biāo)滿足，
即直線恒過拋物線的焦點，
故答案為：
15．在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過，，三點的圓的圓心為，若直線與拋物線相切于點，則點的坐標(biāo)是___________.
【答案】
【解析】設(shè)，拋物線的焦點坐標(biāo)，如圖，

過，，三點的圓的圓心為，
圓心的縱坐標(biāo)為，設(shè)，
直線與拋物線相切于點，
導(dǎo)數(shù)，
即在處的切線斜率，
即的斜率，即，
即，得，即，，
，
，
即，
得，
得或（舍，
解得．
，，，，
即的坐標(biāo)為，，
故答案為：，．
16．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點（點B在第一象限），與準(zhǔn)線交于點P.若，，則____________.
【答案】
【解析】過點作，垂足為，過點作，垂足為，
由拋物線的定義可知，，
不妨設(shè)，因為，所以，
因為∽，所以，
即，所以，
所以，
因為與反向，所以.
故答案為：

四、解答題
17．設(shè)點、分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且最小值為0．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)定點，已知過點且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，且，求m的取值范圍．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）解：設(shè)，則有，，
，，
由題意可得，解得或（舍去），
所以，所以橢圓C的方程為．
（2）解：由（1）得，設(shè)的方程為，代入，
消元整理得，
設(shè)、，則，，
所以，
設(shè)的中點為，則，
因為，所以，即，
所以，所以，
因為直線不與坐標(biāo)軸垂直，所以，
所以，解得．
18．已知雙曲線的離心率等于，且點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若雙曲線的左頂點為，右焦點為，P為雙曲線右支上任意一點，求的最小值.
【答案】(1)；(2)-4
【解析】（1）依題又，
所以，，故雙曲線的方程為.
（2）由已知得，，設(shè)，
于是，，
因此，
由于，所以當(dāng)時，取得最小值，為.
19．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

(1)求橢圓的方程；
(2)已知點，（）在橢圓上，點，是橢圓上不同于，的兩個動點，且滿足：，試問：直線的斜率是否為定值？請說明理由.
【答案】(1)
(2)為定值，理由見解析
【解析】（1）因為橢圓的中心的原點，焦點在軸上，
所以設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因為橢圓離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，
焦點為，所以，
所以，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）由題意，直線與橢圓交點，
設(shè)，當(dāng)時直線斜率之和為，
設(shè)斜率為，則斜率為，的直線方程為，
與橢圓聯(lián)立得，
所以，同理，
所以，，
直線的斜率為.
20．設(shè)直線x=m（m>0）與雙曲線C：的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且△OAB（O為坐標(biāo)原點）的面積為.
(1)求m的值；
(2)與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點為M'，F(xiàn)為C的右焦點，若，F(xiàn)，N三點共線，證明：直線l經(jīng)過x軸上的一個定點.
【答案】(1)m=1；(2)證明見解析
【解析】(1)雙曲線C：（m >0）的漸近線方程為，
不妨設(shè)點A在x軸上方，則A，B兩點的坐標(biāo)分別為（m，m）和（m， -m），
所以????????
解得m=1.
(2)由（1）知C：，則F的坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)l與x軸交于點（p，0） ，則l的方程為（），
設(shè).則.
聯(lián)立，得，
由題可知，所以
因為，F(xiàn)，N三點共線，所以，
即，即，
所以
因為k≠0，所以，
所以，
所以，
所以
解得，?????
所以直線l經(jīng)過x軸上的定點
21．拋物線的焦點是橢圓的一個焦點．
(1)求的準(zhǔn)線方程；
(2)若是直線上的一動點，過向作兩條切線，切點為M，N，試探究直線MN是否過定點？若是，請求出定點，若否，請說明理由.
【答案】(1)；(2)直線恒過定點.
【解析】（1）橢圓的焦點坐標(biāo)為和，
又因為的焦點在軸正半軸上，所以的焦點坐標(biāo)為，
從而準(zhǔn)線方程為；
（2）由（1）知的方程為，即為，則，
設(shè)，切點，，
從而切線方程為，即，
同理切線方程為
分別代入有，
從而和均滿足直線方程，
所以直線的方程為，即，
又因為在直線上，所以，
所以直線的方程為，
從而直線恒過定點.
22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右頂點為，，是雙曲線上除頂點以外的任意兩點，為的中點．
(1)設(shè)直線與直線的斜率分別為，，求的值．
(2)若，證明：直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．
【答案】(1)；(2)證明見解析，直線過定點
【解析】（1）設(shè)，，，
由題意得，兩式相減得，
整理得，
即直線的斜率，
又為的中點，即，所以，
所以；
（2）由可知是以為直角頂點的直角三角形，即，
且直線不與雙曲線的漸近線平行，即，
①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，，
聯(lián)立直線與雙曲線得，
，即，且，
則，，
所以，，
，
又，所以，即，
解得或，
當(dāng)時，直線方程為，恒過點，不成立；
當(dāng)時，直線方程為，恒過點，
②當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，點，，，即
，，
，解得或，
當(dāng)時，過點，不成立；
當(dāng)時，過，
綜上所述，直線恒過定點.


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這是一份專題14 圓錐曲線?？碱}型02——圓錐曲線中的范圍、最值問題 （解析版)，共17頁。

題型05 平面解析幾何題型（定值定點問題、存在性問題、最值取值范圍問題）-高考數(shù)學(xué)必考重點題型技法突破：

這是一份題型05 平面解析幾何題型（定值定點問題、存在性問題、最值取值范圍問題）-高考數(shù)學(xué)必考重點題型技法突破，文件包含題型05平面解析幾何題型定值定點問題存在性問題最值取值范圍問題解析版docx、題型05平面解析幾何題型定值定點問題存在性問題最值取值范圍問題原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共57頁， 歡迎下載使用。

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