1. 函數(shù)的單調性
設函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內可導，若f′(x) > 0，則f(x)為增函數(shù)，若f′(x) < 0，則f(x)為減函數(shù)．
2. 求可導函數(shù)f(x)單調區(qū)間的步驟：
(1) 確定f(x)的 定義域 ；
(2) 求導數(shù)f′(x)；
(3) 令f′(x) > 0(或f′(x) < 0)，解出相應的x的取值范圍；
(4) 當 f′(x)>0 時，f(x)在相應區(qū)間上是增函數(shù)，當 f′(x)0(或f′(x)0時，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))∪(1，＋∞)；當f′(x)＜0時，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1)).
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))和(1，＋∞)，單調減區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1)).
(2)g′(x)＝2x－eq \f(2,x)＝eq \f(2（x＋1）（x－1）,x)，定義域為(0，＋∞)，令g′(x)＝0，解得：x＝1或x＝－1(舍去)，列表：
∴函數(shù)的單調增區(qū)間是(1，＋∞)，單調減區(qū)間是(0，1)．
【變式1-1】函數(shù)f(x)＝eq \f(x－3,e2x)的減區(qū)間是( )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞) C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞)) D. (3，＋∞)
【答案】C
【解析】 因為f(x)＝eq \f(x－3,e2x)，所以f′(x)＝eq \f(7－2x,e2x)，令f′(x)0，當x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))時，f′(x)0，得csx>－eq \f(1,2)，即2kπ－eq \f(2π,3)0,f(x)單調遞增f(x)≥f(1)=e+1?a，
若f(x)≥0,則e+1?a≥0,即a≤e+1
所以a的取值范圍為(?∞,e+1]
(2)由題知,f(x)一個零點小于1,一個零點大于1,不妨設x10
下面證明x>1時，exx?xe1x>0,lnx?12(x?1x)1，
則g'(x)=(1x?1x2)ex?(e1x+xe1x?(?1x2))=1x(1?1x)ex?e1x(1?1x)=(1?1x)(exx?e1x)=x?1x(exx?e1x)
設φ(x)=exx(x>1),φ'(x)=(1x?1x2)ex=x?1x2ex>0所以φ(x)>φ(1)=e,而e1x0,所以g'(x)>0所以g(x)在(1,+∞)單調遞增,即g(x)>g(1)=0,所以exx?xe1x>0
令?(x)=lnx?12(x?1x),x>1,?'(x)=1x?12(1+1x2)=2x?x2?12x2=?(x?1)22x2

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