1、正確選用方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
(1)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通項(xiàng)公式．
(2)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為eq \f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列{f(n)}前n項(xiàng)的積時(shí)，采用累乘法求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(3)對于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)．
2、避免2種失誤
(1)利用累乘法，易出現(xiàn)兩個(gè)方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到eq \f(a2,a1)，漏掉a1而導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗(yàn)a1是否成立．
(2)利用構(gòu)造法求解時(shí)應(yīng)注意數(shù)列的首項(xiàng)的正確求解以及準(zhǔn)確確定最后一個(gè)式子的形式．
考向一 有an遞推關(guān)系研究數(shù)列的通項(xiàng)
【例1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則下列說法確的是（ ）
A. 為單調(diào)遞增數(shù)列 B.
C. D. 當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足
【答案】BCD
【解析】【詳解】對于A，因?yàn)?，若，則，故是各項(xiàng)為的常數(shù)列，與矛盾，所以，，則，故，即，
所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，若，則，故是各項(xiàng)為負(fù)數(shù)的數(shù)列，與矛盾，所以，又因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以是數(shù)列中最大的項(xiàng)，所以，綜上：，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，則，所以，
上述各式相加得，又，所以，
經(jīng)檢驗(yàn)：，滿足，所以，故C正確；
對于D，由選項(xiàng)A知，，
所以，故D正確.故選：BCD.
【變式1-1】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】由條件可知，,得，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，成立，所以；
方法總結(jié)：給出了兩種不同形式的遞推關(guān)系，經(jīng)常采取其它方法：取倒數(shù)后，相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)等比數(shù)列，迭加即可；變形為eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3n－2,3n＋2)，再用累乘處理，累加、累乘是遞推數(shù)列的基本而常用的方法，考查我們的觀察、變形和轉(zhuǎn)化的能力，需要牢固掌握．
考向二 由Sn與an的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
【例2】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】（1）由兩式相減，得：，
又，，
當(dāng)時(shí)，且，故，得（舍去），
，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以 ．
【變式2-1】已知數(shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為___________.
【答案】.
【解析】數(shù)列滿足，整理得：，所以，
又，故是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 所以，所以，所以的前項(xiàng)和故答案為：.
方法總結(jié)：an與Sn關(guān)系的應(yīng)用
(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實(shí)施消元法，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含an的關(guān)系式或僅含Sn的關(guān)系式，即“二者消元留一象”．
(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形后能否得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，如等差數(shù)列關(guān)系或等比數(shù)列關(guān)系，若消去an留Sn可以得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，那么就應(yīng)當(dāng)消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關(guān)系找”．
(3)值得一提的是：數(shù)列通項(xiàng)公式an求出后，還需要驗(yàn)證數(shù)列首項(xiàng)a1是否也滿足通項(xiàng)公式，即“通項(xiàng)求出莫疏忽，驗(yàn)證首項(xiàng)滿足否”。
考向三 構(gòu)造等差、等比數(shù)列研究通項(xiàng)
【例3】已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：存在兩個(gè)等比數(shù)列，，使得成立．
【詳解】（1）由已知，，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）∵，∴，∴，
顯然與，矛盾，∴，∴∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，①，
又∵由第（1）問，，②，
∴②①得，，∴存在，，兩個(gè)等比數(shù)列，， 使得成立
【變式3-1】已知數(shù)列，滿足，，且，
（1）求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．
【答案】（1），，證明見解析；（2），
【解析】∵∴，.
∵，∴＝
∴
∴是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
【小問2詳解】由（1）知是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
∴，∴∵，∴
∴當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
方法總結(jié)：構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)，常見形式一：an＋1＝pan＋q(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1)，常利用待定系數(shù)構(gòu)造，可化為an＋1＋x＝p(an＋x)，從而解出x＝eq \f(q,p－1).
常見形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通過兩邊同時(shí)除以qn＋1，得eq \f(an＋1,qn＋1)＝eq \f(p,q)·eq \f(an,qn)＋eq \f(1,q)，換元bn＝eq \f(an,qn)，即轉(zhuǎn)化形式一．
數(shù)列的求和
1．公式法
(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?d,2).
推導(dǎo)方法：倒序相加法．
(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．
(3)一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：
①1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2)；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
2．幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．
(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
3、常見的裂項(xiàng)技巧
①eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
②eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
③eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
⑤eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).
考向四 公式法
【例4】設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為．若，，則______，的最大值為_____．
【答案】4 42
【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴，，
又，，，，
,
∴當(dāng)或時(shí)，有最大值42.故答案為：（1）4；（2）42.
【變式4-1】是公差不為零的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，，，成等比數(shù)列，則________．
【答案】1012
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則因?yàn)椋?br>所以，即，解得.
因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得或（舍），
所以，解得，所以，所以.
故答案為：.
【變式4-2】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，則，所以，
所以.
方法總結(jié)：若一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列則運(yùn)用求和公式：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(Ⅰ)當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；(Ⅱ)當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向五 利用“分組求和法”求和
【例5】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝ eq \f(n2＋n,2)，n∈N*.
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2) 設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．
【解析】 (1) 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝ eq \f(n2＋n,2)－ eq \f((n－1)2＋(n－1),2)＝n.當(dāng)n＝1時(shí)也滿足上式，
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.
(2) 由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，
則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).
記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝ eq \f(2(1－22n),1－2)＝22n+1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n+1＋n－2.
【變式5-1】已知數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1），，，即，，，
故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，故，，解得：，，
所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，，
因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，
即，與聯(lián)立得：或0（舍去），且，故，
（2）由題意得：為中的整數(shù)個(gè)數(shù)，故，
所以
.
【變式5-2】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也適合，故.
（2），
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
【變式5-3】已知數(shù)列滿足．
(1)證明：是一個(gè)等差數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，由，
則，上述兩式作差可得，
因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為，所以，
因?yàn)椋ǔ?shù)），所以是一個(gè)等差數(shù)列．
（2），所以，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和
方法總結(jié)：數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．
考向六 裂項(xiàng)相消法求和
【例6】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知 a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1，2，3，…).
(1) 求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出an關(guān)于n的表達(dá)式；
(2) 若數(shù)列{ eq \f(1,anan＋1)}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足Tn> eq \f(100,209)的最小正整數(shù)n的值．
【解析】 (1) 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)·an－1－2(n－1)，化簡，得an－an－1＝2，
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝2n－1.
(2) Tn＝ eq \f(1,a1a2)＋ eq \f(1,a2a3)＋…＋ eq \f(1,an－1an)＋ eq \f(1,anan＋1)＝ eq \f(1,1×3)＋ eq \f(1,3×5)＋…＋ eq \f(1,(2n－1)(2n＋1))
＝ eq \f(1,2)[( eq \f(1,1)－ eq \f(1,3))＋( eq \f(1,3)－ eq \f(1,5))＋…＋( eq \f(1,2n－1)－ eq \f(1,2n＋1))]＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n＋1)))＝ eq \f(n,2n＋1).
由Tn＝ eq \f(n,2n＋1)> eq \f(100,209)，得n> eq \f(100,9)，所以滿足Tn> eq \f(100,209)的最小正整數(shù)n為12.
【變式6-1】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）當(dāng)時(shí),
即,又是等比數(shù)列,;數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.
（2）由（1）知,,,
即.
考向七 錯(cuò)位相減法求和
【例7】已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1) 求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
(2) 求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*.
【解析】 (1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3d＋2q3＝27，,8＋6d－2q3＝10，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝3，,q＝2，))所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
(2) 由(1)，得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①
則2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n+1.②
由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n+1
＝ eq \f(6×(1－2n),1－2)－(3n－1)×2n+1－2＝－(3n－4)×2n+1－8，即Tn＝8＋(3n－4)×2n+1.
【變式7-1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.
【答案】
【解析】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，即，而，解得，
因此數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，
，
所以.
故答案為：.
【變式7-2】已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求和：.
【解析】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和為，所以，
又，所以，
又，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）因?yàn)椋裕?br>兩式相減得：，
又滿足上式，所以，又，所以.
所以，，
兩式相減得：.
方法總結(jié)：主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣。特別注意錯(cuò)位相減法的步驟。
數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和 隨堂檢測
1.已知數(shù)列{an}中的首項(xiàng)a1＝2，且滿足，則此數(shù)列的第三項(xiàng)是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，且，令，得?br>令可得,故此數(shù)列第三項(xiàng)為.故選：A
2.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為( )
A．－200 B．－100 C．200 D．100
【答案】 D
【解析】 S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
3.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】：B
【解析】：因?yàn)?，所以，故選B．
4.設(shè)，則( )
A．B．C．D．
【答案】：A
【解析】：由，得，
，故選：A
5.已知等比數(shù)列中，，為前項(xiàng)和，，則
A．7B．9C．15D．30
【答案】
【解析】等比數(shù)列中，設(shè)公比為，，為前項(xiàng)和，，顯然，
（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），可得，
解得，即或，所以當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．沒有選項(xiàng)．故選：．
6.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則
A．120B．85C．D．
【答案】
【解析】等比數(shù)列中，，，顯然公比，設(shè)首項(xiàng)為，則①，②，化簡②得，解得或（不合題意，舍去），
代入①得，所以．故選：．
7.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為________．
【答案】 120
【解析】 因?yàn)閍n＝ eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝ eq \r(n＋1)－ eq \r(n)，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝( eq \r(2)－1)＋( eq \r(3)－ eq \r(2))＋…＋( eq \r(n＋1)－ eq \r(n))＝ eq \r(n＋1)－1.令 eq \r(n＋1)－1＝10，解得 n＝120.
8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝n·2n，則Sn＝____________．
【答案】 (n－1)·2n+1＋2
【解析】 因?yàn)閍n＝n·2n，所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n①，所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1②.由①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝ eq \f(2(1－2n),1－2)－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，所以Sn＝(n－1)·2n+1＋2.
9.已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，
，，當(dāng)時(shí)，可得，
，當(dāng)或時(shí)，，適合上式，
的通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）可得，，，
，．
10.在數(shù)列中，，且對任意的，都有．在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）由得時(shí)，．
又，滿足，所以．
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，
所以；
（2），①，②
①-②得
所以．

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