微點(diǎn)4 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練
(2023·河南·濮陽(yáng)市油田第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）
1．已知橢圓C：的離心率，且圓過(guò)橢圓C的上、下頂點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l的斜率為，且直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，若直線AE與AQ的斜率分別為，，證明：．
(2023·山東青島·二模）
2．已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.
（i）證明：；
（ii）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).
(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
3．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，．
(1)求的方程；
(2)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與直線交于點(diǎn)．試問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2023·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足．記M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：為定值．
(2023·重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）
5．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．
(1)求的方程；
(2)過(guò)作圓的兩條切線、（其中、為切點(diǎn)），直線、分別交的另一點(diǎn)為、．從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選其一進(jìn)行證明．
①為定值；
②．
(2023·上海閔行·二模）
6．已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線，垂足分別為點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求證：為定值，并求出該定值；
(3)求的最大值.
(2023·上海黃浦·二模）
7．已知雙曲線：，為左焦點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為線段與的交點(diǎn)．定義：．
(1)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的值；
(2)設(shè)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，試將表示成的函數(shù)并求其定義域；
(3)證明：存在常數(shù)、，使得．
(2023·廣東·華南師大附中三模）
8．已知在△ABC中，，，動(dòng)點(diǎn)A滿足，，AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)P．
(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
(2)直線交x軸于D，與曲線E在第一象限的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)D的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)K，記QM，QN，QK的斜率分別為，，，
①求證：是定值．
②若直線l的斜率為1，問(wèn)是否存在m的值，使？若存在，求出所有滿足條件的m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2023·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）
9．已知圓M：上動(dòng)點(diǎn)Q，若，線段QN的中垂線與直線QM交點(diǎn)為P．
(1)求交點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)若A，B分別軌C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，DA，DB與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E、F、證明：直線EF過(guò)一定點(diǎn)．
(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）
10．已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值．
11．設(shè)雙曲線1，其虛軸長(zhǎng)為2，且離心率為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P（3，1）的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩只曲線分別交于點(diǎn)A?B，在線段AB上取點(diǎn)M使得，證明：點(diǎn)M落在某一定直線上；
(3)在（2）的條件下，且點(diǎn)M不在直線OP上，求△OPM面積的取值范圍.
(2023·云南師大附中高三月考）
12．已知雙曲線：的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，（2，3）是雙曲線C上的一個(gè)點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若過(guò)F且不與漸近線平行的直線（斜率不為0）與雙曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，記雙曲線C在點(diǎn)M，N處的切線分別為，，點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在一條定直線上，若是，求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：若雙曲線方程為，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為）
（2023·全國(guó)·高三月考）
13．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，離心率為，直線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；
(3)設(shè)是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
14．設(shè)雙曲線，其虛軸長(zhǎng)為，且離心率為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點(diǎn)、，在線段上取點(diǎn)使得，證明：點(diǎn)落在某一定直線上．
(2023江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）
15．某高校的志愿者服務(wù)小組決定開(kāi)發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲．如圖所示，A，B兩個(gè)信號(hào)源相距10米，O是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l與直線AB的夾角為45°，機(jī)器貓?jiān)谥本€l上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足接收到點(diǎn)A的信號(hào)比接收到點(diǎn)B的信號(hào)晚一秒（注：信號(hào)每秒傳播米）．在時(shí)，測(cè)得機(jī)器鼠距離點(diǎn)O為4米.
(1)以O(shè)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，求時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；
(2)游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線l不超過(guò)1.5米的區(qū)域運(yùn)動(dòng):時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)．如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？
16．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、，在線段上去異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿足，證明點(diǎn)恒在一條定直線上.
17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線及點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，.
（1）求的值；
（2）若與軸不垂直，設(shè)線段中點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線，記，相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.
18．已知圓，拋物線，傾斜角為的直線過(guò)的焦點(diǎn)且與相切.
（1）求的值；
（2）點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)在上，在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，設(shè)四邊形為平行四邊形，求證：點(diǎn)在直線上.
19．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.
20．已知橢圓的離心率，為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為3.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2），分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，試探究點(diǎn)是否在某條定直線上，若是，請(qǐng)求出該定直線方程，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同的點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，使得，問(wèn)點(diǎn)是否總在某條定直線上？若是，求出該直線方程，若不是，說(shuō)明理由.
22．如圖，已知點(diǎn)，、為拋物線上不同的兩點(diǎn)（在的右上方，在直線的下方），滿足.
（1）證明：的中點(diǎn)位于某定直線上；
（2）記內(nèi)切圓、外接圓的半徑分別為、，求的最小值.
專題22 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題 微點(diǎn)4 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練
專題22 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題
微點(diǎn)4 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練
(2023·河南·濮陽(yáng)市油田第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）
1．已知橢圓C：的離心率，且圓過(guò)橢圓C的上、下頂點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l的斜率為，且直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，若直線AE與AQ的斜率分別為，，證明：．
(2023·山東青島·二模）
2．已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.
（i）證明：；
（ii）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).
(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
3．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，．
(1)求的方程；
(2)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與直線交于點(diǎn)．試問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2023·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足．記M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：為定值．
(2023·重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）
5．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．
(1)求的方程；
(2)過(guò)作圓的兩條切線、（其中、為切點(diǎn)），直線、分別交的另一點(diǎn)為、．從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選其一進(jìn)行證明．
①為定值；
②．
(2023·上海閔行·二模）
6．已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線，垂足分別為點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求證：為定值，并求出該定值；
(3)求的最大值.
(2023·上海黃浦·二模）
7．已知雙曲線：，為左焦點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為線段與的交點(diǎn)．定義：．
(1)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的值；
(2)設(shè)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，試將表示成的函數(shù)并求其定義域；
(3)證明：存在常數(shù)、，使得．
(2023·廣東·華南師大附中三模）
8．已知在△ABC中，，，動(dòng)點(diǎn)A滿足，，AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)P．
(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
(2)直線交x軸于D，與曲線E在第一象限的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)D的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)K，記QM，QN，QK的斜率分別為，，，
①求證：是定值．
②若直線l的斜率為1，問(wèn)是否存在m的值，使？若存在，求出所有滿足條件的m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2023·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）
9．已知圓M：上動(dòng)點(diǎn)Q，若，線段QN的中垂線與直線QM交點(diǎn)為P．
(1)求交點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)若A，B分別軌C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，DA，DB與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E、F、證明：直線EF過(guò)一定點(diǎn)．
(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）
10．已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值．
11．設(shè)雙曲線1，其虛軸長(zhǎng)為2，且離心率為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P（3，1）的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩只曲線分別交于點(diǎn)A?B，在線段AB上取點(diǎn)M使得，證明：點(diǎn)M落在某一定直線上；
(3)在（2）的條件下，且點(diǎn)M不在直線OP上，求△OPM面積的取值范圍.
(2023·云南師大附中高三月考）
12．已知雙曲線：的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，（2，3）是雙曲線C上的一個(gè)點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若過(guò)F且不與漸近線平行的直線（斜率不為0）與雙曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，記雙曲線C在點(diǎn)M，N處的切線分別為，，點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在一條定直線上，若是，求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：若雙曲線方程為，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為）
（2023·全國(guó)·高三月考）
13．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，離心率為，直線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；
(3)設(shè)是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
14．設(shè)雙曲線，其虛軸長(zhǎng)為，且離心率為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點(diǎn)、，在線段上取點(diǎn)使得，證明：點(diǎn)落在某一定直線上．
(2023江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）
15．某高校的志愿者服務(wù)小組決定開(kāi)發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲．如圖所示，A，B兩個(gè)信號(hào)源相距10米，O是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l與直線AB的夾角為45°，機(jī)器貓?jiān)谥本€l上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足接收到點(diǎn)A的信號(hào)比接收到點(diǎn)B的信號(hào)晚一秒（注：信號(hào)每秒傳播米）．在時(shí)，測(cè)得機(jī)器鼠距離點(diǎn)O為4米.
(1)以O(shè)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，求時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；
(2)游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線l不超過(guò)1.5米的區(qū)域運(yùn)動(dòng):時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)．如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？
16．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、，在線段上去異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿足，證明點(diǎn)恒在一條定直線上.
17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線及點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，.
（1）求的值；
（2）若與軸不垂直，設(shè)線段中點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線，記，相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.
18．已知圓，拋物線，傾斜角為的直線過(guò)的焦點(diǎn)且與相切.
（1）求的值；
（2）點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)在上，在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，設(shè)四邊形為平行四邊形，求證：點(diǎn)在直線上.
19．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.
20．已知橢圓的離心率，為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為3.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2），分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，試探究點(diǎn)是否在某條定直線上，若是，請(qǐng)求出該定直線方程，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同的點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，使得，問(wèn)點(diǎn)是否總在某條定直線上？若是，求出該直線方程，若不是，說(shuō)明理由.
22．如圖，已知點(diǎn)，、為拋物線上不同的兩點(diǎn)（在的右上方，在直線的下方），滿足.
（1）證明：的中點(diǎn)位于某定直線上；
（2）記內(nèi)切圓、外接圓的半徑分別為、，求的最小值.
參考答案：
1．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
分析：（1）根據(jù)圓經(jīng)過(guò)上、下頂點(diǎn)可求，利用離心率和的關(guān)系可得答案；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出，，求和驗(yàn)證即可.
（1）
因?yàn)閳A過(guò)橢圓C的上、下頂點(diǎn)，所以；
又因?yàn)殡x心率，所以，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）
由于直線l的斜率為，可設(shè)直線l的方程為；
代入橢圓方程，可得，
由于直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，
所以整理解得,
設(shè)點(diǎn)，由于點(diǎn)P與點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故,
；
因?yàn)?，所?br>故，結(jié)論得證.
2．(1)
(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析
分析：（1）利用，結(jié)合三角形的面積公式，求出，即可求橢圓的方程.
(2) （i）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由題意可知，可得是方程的兩根，利用韋達(dá)定理即可證明.
（ii）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，可得與的關(guān)系式，即可證明直線過(guò)定點(diǎn).
（1）
解：由題知，，的面積等于，
所以，解得，，所以，橢圓C的方程為.
（2）
（i）設(shè)直線PA的方程為，
直線PB的方程為，由題知，
所以，所以，
同理，，
所以，是方程的兩根，所以.
（ii）設(shè)，，設(shè)直線AB的方程為，
將代入得，
所以，①
，②
所以，③
，④
又因?yàn)?，?br>將①②③④代入⑤，化簡(jiǎn)得，
所以，所以，
若，則直線，此時(shí)AB過(guò)點(diǎn)P，舍去.
若，則直線，此時(shí)AB恒過(guò)點(diǎn)，
所以直線AB過(guò)定點(diǎn).
3．(1)；
(2).
分析：（1）由求出b，再結(jié)合離心率列式計(jì)算a即可作答.
（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，再求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.
（1）
設(shè)橢圓E的半焦距為c，點(diǎn)，而，則，
即有，解得，又離心率，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）
由（1）知，顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線：，，
由消去x并整理得：，解得點(diǎn)，則點(diǎn)，
直線，則直線方程為：，點(diǎn)，直線的斜率，
直線的斜率，因此，，
所以是定值.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
4．(1)
(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析
分析：（1）利用橢圓定義求軌跡方程；
（2）設(shè)出直線l為：，，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，從而表達(dá)出弦長(zhǎng)，再求出AB中點(diǎn)，進(jìn)而表達(dá)出AB的垂直平分線，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到的長(zhǎng)，得到為定值.
（1）
由橢圓的定義可知：M的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，
所以C的方程為
（2）
設(shè)直線l為：，
則聯(lián)立得：，
設(shè)，則，，
，
則，
AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以AB的垂直平分線為，
令得：，
所以，，
【點(diǎn)睛】直線與橢圓結(jié)合問(wèn)題，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出弦長(zhǎng)或面積，進(jìn)而求解定值或取值范圍等.
5．(1)
(2)條件選擇見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析
分析：（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等式，化簡(jiǎn)后可得出曲線的方程；
（2）設(shè)、、，分、兩種情況討論，在第一種情況下，直接驗(yàn)證；在第二種情況下，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切結(jié)合韋達(dá)定理可得出.
選①，分析出，利用三角形相似可求得的值；
選②，分析可知，結(jié)合勾股定理可證得結(jié)論成立.
（1）
解：由題意知，兩邊平方整即得，
所以，曲線的方程為.
（2）
證明：設(shè)、、，
當(dāng)時(shí)，，則不妨設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)或，
此時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，
由直線與圓相切可得，即，
聯(lián)立可得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
則
，
所以，，同理可得.
選①，由及可得，
則，所以，；
選②，出及可得：、、三點(diǎn)共線，則，
又，因此，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.
6．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析
(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析，定值為1
(3)4
分析：（1）直線與橢圓聯(lián)立后用根的判別式等于0列出方程，求出；（2）利用點(diǎn)到直線距離公式得到，，結(jié)合∥，求出，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論證明出為定值1；（3）利用向量線性運(yùn)算及點(diǎn)在直線的同側(cè)得到，結(jié)合第二問(wèn)得到，再用投影向量的知識(shí)得出，其中為的夾角），結(jié)合第一問(wèn)結(jié)論得到
，利用基本不等式求出最值.
（1）
聯(lián)立與得：，
由直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)可知：，
化簡(jiǎn)得：；
（2）
由題意得：，
因?yàn)?，所以∥，故?br>其中，，
所以，
為定值，該定值為1；
（3）
，
由題意得：點(diǎn)在直線的同側(cè)，
所以，
，（其中為的夾角），
由此可知：，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為4.
【點(diǎn)睛】對(duì)于圓錐曲線定值問(wèn)題，要能夠利用題干信息用一個(gè)變量求解出要求的量，可以是直線的斜率，也可以是點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入計(jì)算得到定點(diǎn).
7．(1)5
(2)，
(3)證明見(jiàn)解析
分析：（1）首先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，即可得到、，代入橢圓方程整理可得；
（3）當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．依題意可得又，再由距離公式求出，即可得到，從而求出、的值，再計(jì)算點(diǎn)在軸上時(shí)的情形，即可得證；
（1）
解：由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入雙曲線中，可得，所以，
不妨取的坐標(biāo)為，
于是直線的方程為．
將代入直線的方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為．
因此．
（2）
解：由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，，又、，
即，
所以，代入雙曲線方程，得，整理得．
由，即，結(jié)合，解得或．
又，即，結(jié)合，解得．
因此，．
（3）
證明：點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，過(guò)作軸的垂線，垂足為．
設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，即．
．
由為線段與的交點(diǎn)，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，即．
于是，又，故．
于是．
故存在常數(shù)、，使得．
當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，，，，
所以，，即，
所以，即上述結(jié)論亦成立．
8．(1)
(2)①證明見(jiàn)解析 ；②存在；
分析：（1）利用幾何知識(shí)可得，結(jié)合雙曲線定義理解處理；（2）根據(jù)題意設(shè)直線及點(diǎn)的坐標(biāo)，①分別求，，，利用韋達(dá)定理證明；②根據(jù)①結(jié)合題意求的坐標(biāo)，代入雙曲線方程運(yùn)算求解．
（1）
∵，
∴AC的垂直平分線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
連接PC，則，
∴，
由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡E是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），
，，則，
∴E的方程是．
（2）
①證明：由已知得，，滿足，
設(shè)直線l方程為，，，
聯(lián)立，得，
，，
，
同理，
∴
對(duì)，令，得，
∴，，
∴，
∴是定值．
②假設(shè)存在m的值，使
由①知，，
則，
∴，
直線QK的方程為，
令，
得；
直線l的斜率為1，直線l的方程為，
令，得；
∴，
∴，
代入，得，
整理得，，
解得，或（∵，舍去）
∴，存在m的值為，使．
9．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
分析：（1）數(shù)形結(jié)合，由雙曲線定義可得；
（2）設(shè)直線方程分別解得E、F的坐標(biāo)，然后可得直線EF方程，化簡(jiǎn)可證.
（1）
由題知，所以
由雙曲線定義可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，其中，得曲線C的方程

（2）
設(shè)點(diǎn)由，
設(shè)直線DA與曲線另一個(gè)交點(diǎn)為E，直線DB與曲線另一個(gè)交點(diǎn)為F
（其中，，若等于，此時(shí)其中一條直線與其中一條漸近線平行，與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)．）
由直線DA：代入曲線C：得
得
由即
直線DB：代入曲線C：中將
，得
由
即
∴
∴EF：
即
故直線恒過(guò)一定點(diǎn)
10．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
分析：（1）待定系數(shù)法列方程組求得的值，即可得到雙曲線C的方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程并與雙曲線C的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法得到M、N的坐標(biāo)，利用題給條件＋求得直線AB的過(guò)定點(diǎn)，再由＝0可得使|QT|為定值的定點(diǎn)T.
（1）
設(shè)雙曲線C的方程為，
由題意知，
∴雙曲線C的方程為
（2）
設(shè)直線AB的方程為，A（、），B（，），P（2，－1）
，
則，，
∴直線PA方程為，
令，則，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)直線AB方程為恒過(guò)定點(diǎn)P（2，－1），顯然不可能
∴，直線AB方程為恒過(guò)定點(diǎn)E（0，－3）
∵，∴，取PE中點(diǎn)T，∴T（1，－2）
∴為定值，∴存在T（1，－2）使|QT|為定值．
【點(diǎn)睛】求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
11．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
分析：（1）由題意可得22b，e，又c2=a2﹣b2，解得b2=2，a2，即可求出雙曲線的方程，
（2）設(shè)點(diǎn)M，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1

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