初中人教版（2024）22.1.1 二次函數(shù)課后復習題-試卷下載-教習網

考點一把y=ax2+bx+c化成頂點式考點二畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象
考點三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質考點四已知二次函數(shù)上對稱的兩點求對稱軸
考點五待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式考點六二次函數(shù)的平移
考點一把y=ax2+bx+c化成頂點式
例題：（2021·黑龍江·塔河縣第一中學校九年級期中）已知二次函數(shù)y=x2+2x-3配成頂點式________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于二次項系數(shù)為1，所以直接加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．
【詳解】
解：，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的解析式，能夠正確運用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2021·遼寧沈陽·一模）拋物線y＝3x2﹣6x+5的頂點坐標為_______．
【答案】(1，2)
【解析】
【分析】
將拋物線的解析式化為頂點式，然后即可寫出拋物線的頂點坐標．
【詳解】
解：∵拋物線y＝3x2﹣6x+5＝3（x﹣1）2+2，
∴該拋物線的頂點坐標為（1，2），
故答案為：（1，2）．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是會將拋物線解析式化為頂點式．
2．（2022·寧夏吳忠·二模）已知二次函數(shù)，用配方法化為的形式是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．
【詳解】
解：y=-x2+2x-5=-（x2-2x+1）+1-5=-（x-1）2-4，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點式：y=a（x-h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）．
考點二畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象
例題：（2022·全國·九年級專題練習）已知拋物線
(1)用配方法求拋物線的頂點坐標和對稱軸．
(2)直接畫出函數(shù)的圖像．
【答案】(1)頂點坐標是，對稱軸是
(2)圖像見解析
【解析】
【分析】
（1）利用配方法將拋物線的解析式變形為，由此即可得出拋物線的頂點坐標及拋物線的對稱軸；
（2）畫圖是要把握拋物線與坐標軸的交點，頂點坐標，開口方向等，利用列表、描點、連線即可畫出這條拋物線．
(1)
解：∵，
∴頂點坐標是，對稱軸是；
(2)
列表：
作圖如下：
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)圖像的畫法，二次函數(shù)的兩種形式．利用配方法將二次函數(shù)解析式的一般式換算成頂點式是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2021·福建·廈門外國語學校瑞景分校一模）（1）已知二次函數(shù)
①求出函數(shù)圖象頂點坐標、對稱軸，并寫出圖象的開口方向
②列表，并在所給網格中建立平面直角坐標系井直接畫出此函數(shù)的圖象
（2）物線過，兩點，與軸的交點為，求拋物線的解析式．
【答案】（1）①函數(shù)圖象頂點坐標、對稱軸直線，開口向上；②見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）①把函數(shù)表示為頂點式即可解答；②列表、描點、連線即可；
（2）把函數(shù)與軸交點代入交點式表達式，再將與軸的交點為代入即可求解．
【詳解】
解：，
函數(shù)圖象頂點坐標、對稱軸直線，開口向上；
過，兩點，與軸的交點為，
用交點式，則表達式為：，
把代入得：，
解得，
故函數(shù)解析式為：．
【點睛】
本題考查的是二次函數(shù)圖象問題，解題的關鍵是靈活運用函數(shù)的種表達式，交點式和頂點式用得比較多．
2．（2022·天津北辰·九年級期末）已知二次函數(shù)
(1)填寫表中空格處的數(shù)值
(2)根據上表，畫出這個二次函數(shù)的圖象；
(3)根據表格、圖象，當時，y的取值范圍__________．
【答案】(1)表格中的數(shù)值從左到右依次為：0，0，4，3，3；
(2)圖象見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）將表格中的x值和y值分別代入二次函數(shù)中，求值即可填表；
（2）根據表格，利用描點法即可畫出圖象；
（3）計算出時，y的值，再結合圖象即可解答．
(1)
將代入，得：；
將代入，得：，
解得：，；
將代入，得：；
將代入，得：；
將代入，得：，
解得：，；
故表格中的數(shù)值從左到右依次為：0，0，4，3，3；
(2)
根據表格可畫出圖象如下：
(3)
當時，
結合圖象可知y的取值范圍是．
故答案為．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的圖象和性質．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．
考點三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質
例題：（2022·全國·九年級）二次函數(shù)的圖象和性質描述正確的是( )
A．函數(shù)圖象開口朝下B．當時，y隨x的增大而增大
C．函數(shù)的最小值大于零D．函數(shù)圖象與y軸的交點位于軸負半軸
【答案】C
【解析】
【分析】
根據二次函數(shù)的解析式結合二次函數(shù)的性質逐一分析即可作答．
【詳解】
解：二次函數(shù)y=x2+2x+3=（x+2）2+1，對稱軸為直線x=-2．
A、a=＞0，開口向上，本選項不符合題意；
B、當時，y隨x的增大而減小，本選項不符合題意；
C、該函數(shù)的最小值為1，大于零，本選項符合題意；
D、該函數(shù)圖象與y軸的交點為（0，3），位于y軸的正半軸，本選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的性質，主要利用了拋物線的開口方向、對稱軸以及二次函數(shù)的增減性．
【變式訓練】
1．（2021·山東·威海市實驗中學九年級期末）二次函數(shù)的與的部分對應值如下表，則下列判斷中正確的是（）
A．拋物線開口向上B．當時，隨的增大而減小
C．當時，D．的最大值為
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據表格中的數(shù)據確定拋物線的解析式，再由二次函數(shù)的性質即可判斷．
【詳解】
解：將點，，代入二次函數(shù)的解析式，
得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴拋物線開口向下，
∴A選項不符合題意；
∵由拋物線解析式可知，拋物線的對稱軸為，這時拋物線取得最大值，
∴當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小，
∴當時，隨的增大先增大，到達最大值后，隨的增大而減小，
∴B選項不符合題意；
∵當時，；當時，，
又∵拋物線的對稱軸為，
當時，，
又∵，
∴當時，，
∴C選項符合題意；
∵拋物線的解析式為，
∴當時，拋物線取得最大值，
∴D選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的性質．關鍵是能根據表中的數(shù)據確定拋物線的解析式．
2．（江西省景德鎮(zhèn)市2020-2021學年下學期九年級期中（質檢）數(shù)學試題）關于拋物線，下列說法錯誤的是（）
A．當時，對稱軸是軸B．當時，經過坐標原點
C．不論為何值，都過定點D．時，對稱軸在軸的左側
【答案】D
【解析】
【分析】
根據函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】
解：A、拋物線，
當時，對稱軸是直線，即軸，故選項A正確，不符合題意，
B、當時，過點，故選項B正確，不符合題意，
C、當時，，此時解析式中的正好可以消掉，故選項C正確，不符合題意，
D、拋物線的對稱軸是直線，當時，對稱軸在軸右側，故選項D錯誤，符合題意，
故選：D．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．
考點四已知二次函數(shù)上對稱的兩點求對稱軸
例題：（2022·全國·九年級課時練習）若函數(shù)圖像與x軸的兩個交點坐標為和，則__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根據二次函數(shù)圖象對稱軸所在的直線與x軸的交點的坐標，即為它的圖象與x軸兩交點之間線段中點的橫坐標，即可求得．
【詳解】
解：函數(shù)圖像與x軸的兩個交點坐標為和
由對稱軸所在的直線為：
解得
故答案為：-2．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的性質及中點坐標的求法，熟練掌握和運用二次函數(shù)的性質及中點坐標的求法是解決本題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·全國·九年級）已知拋物線經過和兩點，則的值為（）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根據（﹣1，n）和（2，n）可以確定函數(shù)的對稱軸x＝1，再由對稱軸的x＝﹣＝，即可求解．
【詳解】
解：拋物線y＝x2+mx﹣1經過（﹣1，n）和（2，n）兩點，
可知函數(shù)的對稱軸x＝＝，
∴﹣＝，
∴m＝﹣1；
∴y＝x2﹣x﹣1，
將點（﹣1，n）代入函數(shù)解析式，可得n＝1；
∴m＋n＝﹣1＋1＝0．
故選：B．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的對稱性是解題的關鍵．
2．（2022·山東菏澤·九年級期末）拋物線經過點，，，則該拋物線上縱坐標為5的另一個點的坐標是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據坐標求二次函數(shù)對稱軸，然后求出關于對稱軸對稱的點坐標即可．
【詳解】
解：由，得拋物線的對稱軸為直線
∴
設
由題意知關于對稱軸對稱
則
解得
∴
故答案為：．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的對稱性．解題的關鍵在于求出二次函數(shù)的對稱軸．
考點五待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式
例題：（2022·吉林通化·九年級期末）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c經過點(﹣1，9)、(2，﹣3)．
(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；
(2)點P是這條拋物線上一點，其橫、縱坐標互為相反數(shù)，求點P的坐標．
【答案】(1)y＝x2﹣5x+3
(2)點P的坐標為：（1，-1）或（3，-3）．
【解析】
【分析】
（1）把點（-1，9）、（2，-3）代入拋物線y=x2+bx+c進行計算即可；
（2）根據題意可得x+y=0，再與拋物線表達式聯(lián)立方程組即可解答．
(1)
把點（﹣1，9）、（2，﹣3）代入拋物線y＝x2+bx+c中可得：
，
解得：，
∴拋物線所對應的函數(shù)表達式為：y＝x2﹣5x+3；
(2)
由題意得：
，
解得：或，
∴點P的坐標為：（1，-1）或（3，-3）．
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2021·廣西·靖西市教學研究室九年級期末）拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與直線y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）兩點，且拋物線與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在第四象限的拋物線上有一點P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點P的坐標．
【答案】(1)y＝2x2﹣x﹣3
(2)P（1，﹣2）
【解析】
【分析】
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點坐標代入y＝ax2+bx﹣3可得拋物線解析式．
（2）當x＝0時可求C點坐標，求出直線AB解析式，當x＝0可求D點坐標,由題意可知P點縱坐標為﹣2，代入拋物線解析式可求P點橫坐標．
(1)
解：把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）兩點坐標代入y＝ax2+bx﹣3可得：
，
解得，
∴y＝2x2﹣x﹣3；
(2)
把x＝0代入y＝2x2﹣x﹣3中可得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）代入y＝kx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣x﹣1，
∴D（0，﹣1）．
∵△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，
∴點P是CD垂直平分線與拋物線y＝2x2﹣x﹣3的交點,
由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分線經過（0，﹣2），
∴P點縱坐標為﹣2，
∴ ，
解得：x＝1或-，
∵點P在第四象限，即x＞0 ，
∴x＝1．
∴P（1，﹣2）．
【點睛】
此題是二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質、解一元二次方程等知識，把x＝0代入二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可求圖象與y軸交點坐標，知道點P縱坐標帶入拋物線解析式求點P的橫坐標是解答的關鍵．
2．（2022·山東臨沂·九年級期末）如圖，已知二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象經過點A(3，1)，點B(0，4)，點C(m，n)在該二次函數(shù)圖象上．
(1)求該二次函數(shù)的解析式和其圖象的頂點坐標；
(2)若m≤x≤2時，n的最大值為5，最小值為4，請結合圖象求m的取值范圍；
(3)若點C在直線AB的上方，且S△ABC=3，求點C的坐標．
【答案】(1)，頂點坐標為（1，5）
(2)
(3)(1，5)或(2，4)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，利用配方法求得頂點坐標；
（2）結合二次函數(shù)的最大值，令y=4，求出對應的x 的值，根據題意即可得出結論；
（3）先求得直線AB的解析式為y=?x+4，得到點D的坐標為(m，?m+4)，利用S△ABC的面積公式得到關于m的一元二次方程，解方程即可求解．
(1)
解：∵二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經過點A（3，1），點B（0，4），
∴，解得：．
∴該二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x2+2x+4．
∵y=-x2+2x+4=-（x-1）2+5，
∴頂點坐標為（1，5）；
(2)
解：∵n的最大值為5，點C(m，n)在該二次函數(shù)圖象上，
∴m的最大值為1，
令y=4，則?x2+2x+4=4，
解得：x1=0，x2=2，
∴根據圖象m的取值范圍為：0≤m≤1；
(3)
解：設直線AB的解析式為y=kx+b，
則，解得，，
∴直線AB的解析式為y=?x+4，
∵點C在拋物線上，
∴n=?m2+2m+4，
過點C作y軸的平行線交直線AB于點D，
則點D的坐標為(m，?m+4)，
∴CD=?m2+2m+4?(?m+4)=?m2+3m，
∴S△ABC=×3×(?m2+3m)=?m2+m=3，
解得m1=1，m2=2，
當m=1時，n=5，當m=2時，n=4，
∴點C的坐標為(1，5)或(2，4)．
【點睛】
本題主要考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，二次函數(shù)的極值，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式是解題的關鍵．
考點六二次函數(shù)的平移
例題：（2022·浙江寧波·八年級期末）將拋物線先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達式為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，拋物線的開口方向和大小不變，頂點改變，將拋物線化為頂點式，求出頂點，再由平移求出新的頂點，然后根據頂點式寫出平移后的拋物線解析式．
【詳解】
解：y=x2?6x+5=(x?3)2?4，即拋物線的頂點坐標為(3，?4)，
把點(3，?4)向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，
得到點的坐標為(4，?2)，
所以平移后得到的拋物線解析式為y=(x?4)2?2．
故選D．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
【變式訓練】
1．（2021·西藏·柳梧初級中學九年級期中）把拋物線y＝5x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到的拋物線是（）
A．y＝5（x＋2）2＋3B．y＝5（x＋2）2－3
C．y＝5（x－2）2＋3D．y＝5（x＋－2）2－3
【答案】A
【解析】
【分析】
按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進行解題．
【詳解】
解：將拋物線y=5x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到函數(shù)解析式是：
y=5（x+2）2+3．
故選：A．
【點睛】
此題考查了拋物線的平移規(guī)律：左加右減，上加下減．
2．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔溝中心學校九年級期中）將拋物線向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物線是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據二次函數(shù)圖象的平移可進行求解．
【詳解】
解：由拋物線向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，可知平移后的拋物線解析式為；
故選C．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握圖象平移的方法“左加右減，上加下減”是解題的關鍵．
一、選擇題
1．（2022·全國·九年級）二次函數(shù)y=?x2+4x+7的頂點坐標和對稱軸分別是（）
A．，x＝2B．，x＝2C．，x＝－2D．，x＝2
【答案】A
【解析】
【分析】
將題目中函數(shù)解析式化為頂點式，從而可以得到該函數(shù)的頂點坐標和對稱軸，本題得以解決．
【詳解】
解：∵y=-x2+4x+7
=-（x-2）2+11，
∴該函數(shù)的頂點坐標是（2，11），對稱軸是直線x=2．
故選：A．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確二次函數(shù)的性質，利用二次函數(shù)的頂點式解答．
2．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔溝中心學校九年級期中）已知二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為（-1，0），則它與x軸的另一個交點的坐標是（）
A．（-3，0）B．（3，0）C．（1，0）D．（-2，0）
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可確定拋物線的對稱軸，再根據拋物線的對稱性質即可確定拋物線與x軸的另一個交點的坐標．
【詳解】
拋物線的對稱軸為直線，設拋物線與x軸的另一個交點坐標為(a，0)，
由于點與點(a，0)關于直線x=-2對稱，
∴，
∴，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為(-3，0)，
故選：A．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，利用拋物線的對稱性是本題的關鍵．
3．（2021·山西長治·二模）將拋物線先向下平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度后，所得拋物線的函數(shù)表達式為，則原拋物線的函數(shù)表達式為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
將配方得到，將其向右平移1個單位長度，向上平移2個單位長度即可．
【詳解】
∵配方得到，
∴將其向右平移1個單位長度，向上平移2個單位長度，得，
故選D．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關鍵．
4．（2022·江西·定南縣教學研究室九年級期末）已知拋物線y＝ax2＋bx＋3中（a，b是常數(shù)）與y軸的交點為A，點A與點B關于拋物線的對稱軸對稱，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3中（b，c是常數(shù)）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如下表：
下列結論正確的是（）
A．拋物線的對稱軸是x＝1B．當x＝2時，y有最大值－1
C．當x＜2時，y隨x的增大而增大D．點A的坐標是（0，3）點B的坐標是（4，3）
【答案】D
【解析】
【分析】
利用當x=1和3時，y=0，得出拋物線的對稱軸是直線x=2，然后根據x=-1時，y=8，判斷增減性，再利用x=0時，y=3，結合對稱軸，即可得出A、B點坐標．
【詳解】
）∵當x=1和3時，y=0，
∴拋物線的對稱軸是直線x=2，故A選項錯誤；
又∵x=-1時，y=8，
∴x2時，y隨x增大而大，故C選項錯誤；
∴x=2時，y有最小值，故B選項錯誤；
∵x=0時，y=3，則點A（0，3），
∵點A與點B關于拋物線的對稱軸對稱，
∴B點坐標（4,3），
∴A、B、C錯誤，D正確．
故選：D ．
【點睛】
此題主要考查了二次函數(shù)的性質，由表格數(shù)據獲取信息是解題的關鍵．
5．（2022·浙江杭州·九年級開學考試）對于二次函數(shù)y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列說法正確的是（）
①對于任何滿足條件的k，該二次函數(shù)的圖像都經過點（1，2）和（3，0）兩點；
②該函數(shù)圖像與x軸必有交點；
③若k＜0，當x≥2時，y隨x的增大而減小；
④若k為整數(shù)，且該二次函數(shù)的圖像與x軸的兩個交點都為整數(shù)點，那么k＝﹣1．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根據題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質，可以判斷各個小題中的結論是否成立，即可得．
【詳解】
解：①∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），
∴對于任何滿足條件的k，該二次函數(shù)的圖像都經過點（1，2）和（3，0）兩點，
故①正確；
②對于任何滿足條件的k，該二次函數(shù)中當x＝3時，y＝0，即該函數(shù)圖像與x軸必有交點，
故②正確；
③∵二次函數(shù)y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的對稱軸是直線，
∴若k＜0，則，該函數(shù)圖像開口向下，
∴若k＜0，當x≥2時，y隨x的增大而減小，
故③正確；
④∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），
∴當y＝0時，，x2＝3，
∴若k為整數(shù)，且該二次函數(shù)的圖像與x軸的兩個交點都為整數(shù)點，那么k＝±1，
故④錯誤；
綜上，①②③正確，
故選A．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的性質．
二、填空題
6．（2020·黑龍江·勃利縣大四站鎮(zhèn)中學九年級期中）二次函數(shù)y=3x2+2x-1向右平移一個單位后的解析式為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律解答．
【詳解】
解：二次函數(shù)y=3x2+2x-1向右平移一個單位后的解析式為．
即，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式是解題的關鍵．
7．（2022·全國·九年級課時練習）把二次函數(shù)y=-x2-4x-3化成y=a（x-h）2+k的形式是______ .
【答案】y=-（x+2）2+11
【解析】
【分析】
根據配方法即可求解．
【詳解】
∵y=-x2-4x-3
=-（x2+4x+4）+11
=-（x+2）2+11，
故答案為：y=-（x+2）2+11．
【點睛】
此題主要考查二次函數(shù)的頂點式，解題的關鍵是熟知配方法的運用．
8．（2022·遼寧朝陽·九年級期末）若點、、為二次函數(shù)的圖象上的三點，則，，的大小關系是 __．
【答案】
【解析】
【分析】
將A，B，C三點的坐標分別代入解析式，即可求出y1，y2，y3的值，再進行比較即可．
【詳解】
解：把代入得，
把代入得，
把代入得，
．
故答案為：．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的性質，熟練掌握該知識點是解題關鍵．
9．（2022·江蘇無錫·一模）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為_____________，把此拋物線向左平移1個單位長度，得到的拋物線的表達式為_____________．
【答案】（1，1） y=x2+1
【解析】
【分析】
第一空用配方法表示出頂點式，即可求出頂點坐標；第二空利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進而得出答案．
【詳解】
∵
∴y=（x-1）2+1
∴頂點坐標為（1，1）
將拋物線向左平移1個單位長度，根據平移的口訣：左加右減，上加下減
∴y=（x-1+1）2+1=x2+1
故答案為：（1，1）；y=x2+1．
【點睛】
此題主要考查了二次函數(shù)與幾何變換，正確記憶圖形平移規(guī)律是解題關鍵．
10．（2022·全國·九年級課時練習）已知二次函數(shù)，
（1）該二次函數(shù)圖像的開口方向為______；
（2）若該函數(shù)的圖象的頂點在x軸上，則m的值為______；
【答案】向上
【解析】
【分析】
根據二次函數(shù)的性質求解即可．
【詳解】
解：∵二次函數(shù)解析式為，，
∴拋物線的開口向上，拋物線對稱軸為直線，
∵該函數(shù)的圖象的頂點在x軸上，
∴當時，，
∴，
故答案為：向上；±2．
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)的性質，熟知二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．
三、解答題
11．（2022·陜西咸陽·九年級期中）如圖，拋物線經過點，與x軸交于A、兩點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)連接AC，過點E作x軸的垂線交線段AC于點M，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點且以AM為邊的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，P點坐標為或
【解析】
【分析】
（1）運用待定系數(shù)法即可求出答案；
（2）先根據題意求出A，M的坐標，Q的橫坐標，然后設，分四邊形為平行四邊形和四邊形為平行四邊形兩種情形討論即可求解．
(1)
解：（1）將，代入中，得，解得，
∴拋物線的函數(shù)表達式為．
(2)
存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點且以AM邊的四邊形是平行四邊形，
理由如下：
在中，令，則，
∴點．
令，則，解得，，
∴點．
對稱軸為，則點Q的橫坐標為．
設直線AC的函數(shù)表達式為，
將、代入，中，得，解得，
直線AC的函數(shù)表達式為，
∵，
∴，
設，
①當為平行四邊形時，，
∴，
∴；
②當為平行四邊形時，，
∴，
∴．
綜上，存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點且以AM為邊的四邊形是平行四邊形，P點坐標為或．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質，靈活運用平行四邊形的性質是解題的關鍵．
12．（2022·上海市西南模范中學九年級階段練習）已知拋物線過點C（4，0），頂點為D，點B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC＝2，直線BD交y軸于點A．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求點A的坐標；
(3)點M在拋物線的對稱軸上，且四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個是平行四邊形，另一個是等腰梯形，求點M的坐標（直接寫出答案）．
【答案】(1)y＝﹣x2+3x；
(2)（0，4）；
(3)（2，1）或（2，﹣1）．
【解析】
【分析】
（1）將C（4，0）代入y＝ax2+3x，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先利用配方法求出（1）中拋物線的頂點D的坐標，再由點B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC＝2，可知B（4，2），設直線BD的解析式為y＝kx+b，將B、D兩點的坐標代入，運用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，令x＝0求出y的值，進而得到點A的坐標；
（3）由于點M在拋物線的對稱軸上，所以DMBCAO．分兩種情況討論：①當DM＝BC時，四邊形BCMD是平行四邊形，再證明四邊形AOMD是等腰梯形；②當DM＝AO時，四邊形AOMD是平行四邊形，再證明四邊形BCMD是等腰梯形．
(1)
解：拋物線y＝ax2+3x過點C（4，0），
∴16a+12＝0，
解得a＝﹣ ，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x；
(2)
解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+3，
∴頂點D的坐標為（2，3）．
∵點B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC＝2，
∴B（4，2）．
設直線BD的解析式為y＝kx+b，將B（4，2），D（2，3）代入，
得，
解得，
∴直線BD的解析式為y＝﹣x+4，
當x＝0時，y＝4，
∴點A的坐標為（0，4）；
(3)
解：在拋物線的對稱軸上存在點M，使四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個是平行四邊形，另一個是等腰梯形．理由如下：
設點M的坐標為（2，y）．由AOMD和BCMD都是四邊形，得y＜3．
分兩種情況：
①如圖1所示，
∵DMBC，
∴當DM＝BC時，四邊形BCMD是平行四邊形．
∵D（2，3），DM＝BC，
∴3﹣y＝2，解得y＝1，
∴當M的坐標為（2，1）時，四邊形BCMD是平行四邊形，
此時，∵OM＝，AD＝，
∴OM＝AD，
又∵AODM，AO≠DM，
∴四邊形AOMD是等腰梯形；
②如圖2所示，

∵DMAO，
∴當DM＝AO時，四邊形AOMD是平行四邊形．
∵D（2，3），DM＝AO，
∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1，
∴當M的坐標為（2，﹣1）時，四邊形AOMD是平行四邊形，
此時，∵CM＝，BD＝，
∴CM＝BD，
又∵BCDM，BC≠DM，
∴四邊形BCMD是等腰梯形．
綜上可知，在拋物線的對稱軸上存在點M，使四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個是平行四邊形，另一個是等腰梯形，此時點M的坐標為（2，1）或（2，﹣1）．
【點睛】
本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，拋物線的頂點坐標，平行四邊形的判定與性質，等腰梯形的判定，綜合性較強，難度不大．運用數(shù)形結合及分類討論是解題的關鍵．
13．（2020·遼寧鐵嶺·九年級期中）下表給出了代數(shù)式與x的一些對應值：
(1)利用表中所給數(shù)值求出a，b，c的值；
(2)直接寫出：m＝___，n＝___；
(3)設，則當x取何值時，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法，列出三元一次方程組，然后解方程組即可；
（2）將、分別代入即可得解；
（3）根據拋物線的開口方向和與x軸交點，即可判斷出時，x取值范圍．
(1)
解：設，根據圖表，將分別代入
得
解得
(2)
解：由（1）可知，將代入得，則；
將代入得，則，
故，
(3)
解：由（1）、（2）可知拋物線與軸交點分別為(1，0)，(3，0)，拋物線開口向上，所以當時，．
【點睛】
本題考查待定系數(shù)法，拋物線的圖形與性質，熟練掌握待定系數(shù)法，并靈活利用拋物線的圖像性質是解題關鍵．
14．（2021·江蘇·靖江市濱江學校一模）已知一拋物線經過O（0，0），B（1，1）兩點，且解析式的二次項系數(shù)為﹣（a＞0）．
(1)當a＝1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標；
(2)已知點A（0，1），若拋物線與射線AB相交于點M，與x軸相交于點N（異于原點），
①若△BMN是等腰三角形，求a的值；
②當a在什么范圍內取值時，ON+BM的值為常數(shù)？當a在什么范圍內取值時，ON﹣BM的值為常數(shù)？
【答案】(1)當a＝1時，該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x，該拋物線的頂點坐標為（1，1）
(2)①a=；②當0＜a≤1時，ON+BM的值是常數(shù)2，當a≥1時，ON﹣BM的值是常數(shù)2．
【解析】
【分析】
（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得，將代入，進而用配方法求出該拋物線的頂點坐標；
（2）①根據拋物線與射線AB相交于點M，與x軸相交于點N，求得點的坐標為（a+1，0），根據點M的縱坐標為1，代入拋物線解析式求得點M的坐標（a，1），根據當△BMN是等腰三角形，求得．
②當點M的坐標為（1，1）時，M與B重合，則ON+BM與ON﹣BM的值都為2，當點M在點B右側，此時a＞1，BM＝a﹣1，若點M在點B左側，此時0＜a＜1，BM＝1﹣a，進而即可求解．
(1)
設該拋物線的解析式為，
∵拋物線經過（0，0）、（1，1）兩點，
∴，
解得．
∴該拋物線的解析式為
當a＝1時，該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x，
y＝﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x+1）+1＝﹣（x﹣1）2+1．
該拋物線的頂點坐標為（1，1）；
(2)
①∵點N在x軸上，
∴點N的縱坐標為0．
當y＝0時，有，
解得x1＝0，x2＝a+1．
∵點N異于原點，
∴點N的坐標為（a+1，0）．
∵點M在射線AB上，
∴點M的縱坐標為1．
當y＝1時，有，
整理得出，
解得x1＝1，x2＝a．
點M的坐標為（1，1）或（a，1）．
所以當△BMN是等腰三角形時，如圖，

只有，即
a=
②當點M的坐標為（1，1）時，M與B重合，
此時a＝1，BM＝0，ON＝2．ON+BM與ON﹣BM的值都是常數(shù)2．
當點M的坐標為（a，1）時，
若點M在點B右側，此時a＞1，BM＝a﹣1．
∴ON+BM＝（a+1）+（a﹣1）＝2a，ON﹣BM＝（a+1）﹣（a﹣1）＝2．
若點M在點B左側，此時0＜a＜1，BM＝1﹣a．
∴ON+BM＝（a+1）+（1﹣a）＝2，ON﹣BM＝（a+1）﹣（1﹣a）＝2a．
∴當0＜a≤1時，ON+BM的值是常數(shù)2，
當a≥1時，ON﹣BM的值是常數(shù)2．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質，掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．
15．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，已知點在二次函數(shù)的圖像上，且．
(1)若二次函數(shù)的圖像經過點．
①求這個二次函數(shù)的表達式；
②若，求頂點到的距離；
(2)當時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為1，點M，N在對稱軸的異側，求a的取值范圍．
【答案】(1)①；②
(2)
【解析】
【分析】
（1）①將點代入中即可求出二次函數(shù)表達式；
②當時，此時為平行x軸的直線，將代入二次函數(shù)解析式中求出，再由求出直線為，最后根據二次函數(shù)頂點坐標即可求解；
（2）分兩種情形：若M，N在對稱軸的異側，；若M、N在對稱軸的異側，，x12，
∴x1>-1，
∵
∴，
∴-1

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