人教版九年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題08二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質2(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

考點一二次函數(shù)圖象判斷各項系數(shù)與式子的符號
考點二一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷
考點三利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑
考點四二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應用
考點一二次函數(shù)圖象判斷各項系數(shù)與式子的符號
例題：（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式訓練】
1．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第三十五中學三模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結論：①；②；③；④；⑤（，m為實數(shù)），其中正確的結論有（）個．
A．2個B．3個C．4個D．5個
2．（2022·遼寧撫順·模擬預測）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為x=，且經(jīng)過點（2，0）．下列結論：①abc0；④若（，y1），（，y2）是拋物線上的兩點，則y1m（am+b）（其中m≠）．正確的個數(shù)是（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
考點二一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷
例題：（2022·全國·九年級課時練習）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能正確的是（）
A．B． C． D．=
【變式訓練】
1．（2022·全國·九年級課時練習）函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則選項中函數(shù)y＝a（x﹣b）2＋c的圖象正確的是（）
A． B． C． D．
2．（2021·全國·九年級專題練習）二次函數(shù)的圖象如下左圖，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)．在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（）
A． B． C． D．
考點三利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑
例題:（2022·全國·九年級課時練習）已知：二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)拋物線的對稱軸上有一動點P，求△PAD周長的最小值．
【變式訓練】
1．（2022·山東臨沂·一模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線過B、C兩點，連接AC．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點M(3，1)是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為拋物線對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD+PM的最小值．
2．（2022·天津濱海新·二模）已知：拋物線（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點A（－2，0），C（0，4），點B為拋物線與x軸的另一個交點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當△PBC的面積最大時，求點P的坐標；
(3)設點M，N是該拋物線對稱軸上的兩個動點，且，點M在點N下方，求四邊形AMNC周長的最小值．
考點四二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應用
例題：（2022·吉林·長春市綠園區(qū)教師進修學校二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸正半軸交于點．以為邊在軸上方作正方形，延長交拋物線于點，再以為邊向上作正方形．則點的坐標是______．
【變式訓練】
1．（2022·山東煙臺·中考真題）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．
(1)求拋物線的表達式；
(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；
(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．
2．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第三十五中學三模）如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C．

(1)求拋物線的解析式和對稱軸．
(2)若R為拋物線上一點，滿足，求R的坐標．
(3)若點P在拋物線的對稱軸上，點Q是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點P 使得A、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
一、選擇題
1．（2022·湖南株洲·中考真題）已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（）
A． B．C． D．
2．（2022·湖北鄂州·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖像頂點為P（1，m），經(jīng)過點A（2，1）；有以下結論：①a1時，y隨x的增大而減??；⑤對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
3．（2022·全國·九年級課時練習）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與y＝ax＋b的圖象不可能是( )
A．B．C．D．
4．（2022·天津和平·三模）二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，）的圖像開口向下，與x軸交于和，且．有下列結論：
①；
②；
③若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；
④當時，若方程有四個根，則這四個根的和為-1．
其中，正確結論的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
5．（2022·云南·紅河縣教育科學研究室九年級期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，經(jīng)過點（0，1）．有以下結論：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是________．
6．（2022·全國·九年級課時練習）平面直角坐標系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經(jīng)過點和，點P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為______．
7．（2022·安徽合肥·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C在y軸正半軸上，拋物線經(jīng)過點B、C．
（1）點B的坐標為______．
（2）若拋物線的頂點在正方形OABC的內(nèi)部，則a的取值范圍是______．
8．（2022·四川·隆昌市藍天育才學校一模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤的實數(shù)），其中正確結論的序號有____．
三、解答題
9．（2022·重慶市涪陵第十八中學校九年級階段練習）如圖，已知拋物線與x軸交于A(﹣2，0)，B(6，0)兩點，與y軸交于點C(0，﹣2)，點P是拋物線上位于直線BC下方的一點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接AC，過點P作PGAC交BC于點G，求PG長度的最大值及此時點P的坐標；
(3)如圖2，將拋物線沿射線CB的方向平移，使得新拋物線y'經(jīng)過點（2，﹣），并記新拋物線y'的頂點為D，若點M為新拋物線y′對稱軸上的一動點，點N為坐標平面內(nèi)的任意一點，直接寫出所有使得以A，D，M，N為頂點的四邊形是菱形的點N的坐標，并把求其中一個點N的坐標的過程寫出來．
10．（2022·重慶巴蜀中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接BC，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P為直線BC上方拋物線上（不與B，C重合）一點，連接PC，PB，AC，當，求點P的坐標；
(3)將拋物線沿射線CB方向平移個單位，點F是平移后新拋物線的頂點，M是y軸正半軸上一點，點N是平面內(nèi)任意一點，當以A、F、M、N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出所有符合條件的N點的坐標；并任選其中一個N點，寫出求N點的坐標的過程．
11．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為，拋物線的對稱軸交直線于點E．
(1)求拋物線的表達式；
(2)把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；
(3)M是（1）中拋物線上一點，N是直線上一點．是否存在以點D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
12．（2022·湖南岳陽·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線：經(jīng)過點和點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，作拋物線，使它與拋物線關于原點成中心對稱，請直接寫出拋物線的解析式；
(3)如圖3，將（2）中拋物線向上平移2個單位，得到拋物線，拋物線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側）．
①求點和點的坐標；
②若點，分別為拋物線和拋物線上，之間的動點（點，與點，不重合），試求四邊形面積的最大值．
專題07 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質（2）
考點一二次函數(shù)圖象判斷各項系數(shù)與式子的符號
考點二一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷
考點三利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑
考點四二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應用
考點一二次函數(shù)圖象判斷各項系數(shù)與式子的符號
例題：（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【解析】
【分析】
由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
【詳解】
解：①∵拋物線的開口方向向下，
∴a＜0，
∵對稱軸在y軸右側，
∴對稱軸為x＝＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①錯誤；
②∵對稱軸為x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②錯誤；
③由圖象的對稱性可知：當x＝3時，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③錯誤；
④由圖象可知，該拋物線與x軸有兩個不同的交點，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正確；
⑤由圖象可知當x＝﹣1時，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴，
故⑤正確．
綜上所述，正確的結論是：④⑤．
故選：B．
【點睛】
本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，利用對稱軸的范圍求a與b的關系、熟練掌握二次函數(shù)與方程之間的轉換是基礎，數(shù)形結合的方法是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第三十五中學三模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結論：①；②；③；④；⑤（，m為實數(shù)），其中正確的結論有（）個．
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根據(jù)二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系及性質進行求解即可．
【詳解】
解：由圖像可知：對稱軸為直線
即
∴①，
故錯誤．
②由二次函數(shù)的圖像可知與x軸的一個交點在0和之間，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知拋物線與x軸的另外一個交點在2和3之間，
∴當時，即
故正確．
③時即
故正確．
④ 時，即
又∵對稱軸
故錯誤．
⑤由圖像可得當時，函數(shù)取得最大值，即
當時，
故正確．
所以正確的有：②③⑤．
故選：B．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)的圖像跟性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系及性質是解題的關鍵．
2．（2022·遼寧撫順·模擬預測）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為x=，且經(jīng)過點（2，0）．下列結論：①abc0；④若（，y1），（，y2）是拋物線上的兩點，則y1m（am+b）（其中m≠）．正確的個數(shù)是（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】B
【解析】
【分析】
拋物線開口向下，且交y軸于正半軸及對稱軸為x=，推導出a＜0，b＞0、c＞0以及a與b之間的關系：b=-a；根據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過點（2，0），可得出0=4a+2b+c；再由二次函數(shù)的對稱性，當a＜0時，距離對稱軸越遠x所對應的y越??；由拋物線開口向下，對稱軸是直線x=，可知當x=時，y有最大值．
【詳解】
解：∵拋物線開口向下，且交y軸于正半軸，
∴a＜0，c＞0，
∵對稱軸x=-=，即b=-a，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正確；
又可知b=-a，
∴0=-4b+2b+c，即-2b+c=0，故②正確；
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（2，0），
∴根據(jù)對稱性可得，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（-1，0），
∴當x=-2時，
∵，
∴，故③不正確；
∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x=，且?(?)=1，-=2，
∴y1＞y2，
故④不正確；
∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x=，
∴當x=時，拋物線y取得最大值ymax=（）2a+b+c=b+c，
當x=m時，ym=am2+bm+c=m（am+b）+c，且m≠，
∴b+c＞m(am+b)+c（其中m≠）．故⑤正確，
綜上，結論①②⑤正確，共3個
故選：B．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，需要充分掌握二次函數(shù)各系數(shù)的意義，以及它們跟二次函數(shù)圖象之間的聯(lián)系．
考點二一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷
例題：（2022·全國·九年級課時練習）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能正確的是（）
A．B． C． D．=
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得二次函數(shù)與x軸的交點為（m，0），（n，0），從而得到，進而得到函數(shù)經(jīng)過第一三四象限，且與y軸的交點位于點（0，-1）的下方，即可求解．
【詳解】
解：令y=0，則，
解得：，
∴二次函數(shù)與x軸的交點為（m，0），（n，0），
∵，
∴，
∴函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限，且與y軸的交點位于點（0，-1）的下方．
故選：D
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·全國·九年級課時練習）函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則選項中函數(shù)y＝a（x﹣b）2＋c的圖象正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據(jù)y＝ax2+bx+c的圖象得到a、b、c的正負情況，從而得到函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c的圖象的開口方向和頂點坐標所在的位置，分析判斷即可得到正確的函數(shù)圖象．
【詳解】
解：由y＝ax2+bx+c的圖象可得a＜0，b＞0，c＞0，
∵函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c，
∴該函數(shù)的圖象開口向下，頂點坐標為（b，c），且該函數(shù)圖象的頂點在第一象限，
故選：B
【點睛】
本題考查由二次函數(shù)圖象判斷各項系數(shù)的符號，牢記相關知識點是解題關鍵．
2．（2021·全國·九年級專題練習）二次函數(shù)的圖象如下左圖，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)．在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)圖像，確定二次函數(shù)系數(shù)的符號，再確定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的系數(shù)，即可求得．
【詳解】
解：二次函數(shù)圖像開口向上，得到
二次函數(shù)圖像與軸有兩個交點，得到
二次函數(shù)的與軸交點在軸的下方，得到
二次函數(shù)的對稱軸，得到
∴
∴一次函數(shù)圖像經(jīng)過一、二、三象限
反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過二、四象限
故選：C．
【點睛】
此題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
考點三利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑
例題:（2022·全國·九年級課時練習）已知：二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)拋物線的對稱軸上有一動點P，求△PAD周長的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)的坐標，待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求得點的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性可得，當△PAD周長確定最小值時，三點共線，進而根據(jù)勾股定理求兩點坐標距離即可求得最小值．
(1)
在二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象上，
解得
拋物線的解析式為
(2)
對稱軸為
如圖，連接，
關于軸對稱
的周長等于，
當三點共線時，的周長取得最小值，最小值為
由拋物線解析式，
令，即
解得
，
的周長的最小值為
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)拋物線的對稱性求線段和的最小值，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·山東臨沂·一模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線過B、C兩點，連接AC．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點M(3，1)是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為拋物線對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD+PM的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式可求出點B，C的坐標，再代入拋物線解析式進而求解即可；
（2）設點D的坐標為（x，），則點E的坐標為（x，），由坐標得DE＝－（）=，當x＝2時，線段DE的長度最大，此時，點D的坐標為（2，），點C和點M關于對稱軸對稱，連接CD交對稱軸于點P，此時PD＋PM最小，連接CM交直線DE于點F，則∠DFC＝90°，由勾股定理得CD＝，根據(jù)PD＋PM＝PC＋PD＝CD，即可求解．
(1)
解：∵直線過B、C兩點，且B，C分別在x軸和y軸上
當x=0時，y=1
當y=0時，x=4
∴點B（4，0），點C（0，1）
∵拋物線與x軸交于點B，與y軸交于點C，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：．
(2)
解：設點D的坐標為（x，），則點E的坐標為（x，），
∵點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，
∴DE＝－（）=，
∵＜0，
∴當x＝2時，線段DE的長度最大，
此時，點D的坐標為（2，），
∵C（0，1），M（3，1），
∴點C和點M關于對稱軸對稱，
連接CD交對稱軸于點P，此時PD＋PM最小，
連接CM交直線DE于點F，則∠DFC＝90°，點F的坐標為（2，1），
∴CD＝==，
∵PD＋PM＝PC＋PD＝CD，
∴PD＋PM的最小值為．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，解決本題的關鍵是數(shù)形結合思想，熟練掌握二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的對稱性．
2．（2022·天津濱海新·二模）已知：拋物線（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點A（－2，0），C（0，4），點B為拋物線與x軸的另一個交點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當△PBC的面積最大時，求點P的坐標；
(3)設點M，N是該拋物線對稱軸上的兩個動點，且，點M在點N下方，求四邊形AMNC周長的最小值．
【答案】(1)
(2)（3，5）
(3)
【解析】
【分析】
(1)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達式；
(2)首先點B的坐標，再求出直線BC的解析式，過點P作PF⊥x軸于F，交于點Q，設點，,當時，有最大值,即可求出點P的坐標；
（3）由四邊形AMNC的周長，得到當AM+CN最小時，四邊形AMNC的周長最小，得出AM+CN=AM+DM，求出的最小值即可得到結論.
(1)
解：∵拋物線經(jīng)過點A（-2，0），C（0，4），
∴
解得
∴該拋物線的解析式：
(2)
解：∵點B是拋物線與x軸的交點，
∴ ，
∴，
∴點B的坐標為（6，0），
設直線BC的解析式為y=kx+n，
∵點B（6，0），C(0，4)
∴
解得，
∴直線解析式為：，
如圖，過點P作PF⊥x軸于F，交于點Q，
設點，
∴，
∴
∴當時，有最大值，
∴點P的坐標為（3，5）．
(3)
解：∵A（-2，0），C（0，4），
∴，
∵四邊形AMNC的周長，，
∴當AM+CN最小時，四邊形AMNC的周長最小.
將CN向下平移2個單位長度，得到對應線段DM，
∴點C的對應點D的坐標為（0，2），
∴AM+CN=AM+DM，
可知拋物線的對稱軸為直線，
如圖，作點D關于對稱軸的對稱點，可求得（4，2），連接，
則，
過點作⊥x軸于點E，，，
∴的最小值為，
∴四邊形周長的最小值為．
【點睛】
本題為二次函數(shù)中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、最短路線問題等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．
考點四二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應用
例題：（2022·吉林·長春市綠園區(qū)教師進修學校二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸正半軸交于點．以為邊在軸上方作正方形，延長交拋物線于點，再以為邊向上作正方形．則點的坐標是______．
【答案】，
【解析】
【分析】
先將點A（3，0）代入求出關系式，由正方形的性質可知點D的縱坐標是3，即可求出點D的橫坐標，可得答案．
【詳解】
將點A（3，0）代入，得
，
解得，
∴拋物線的關系式為．
∵四邊形OABC是正方形，
∴CO=AO=3，
∴點D的縱坐標是3．
當y=3時，，
解得或（舍），
∴點D的橫坐標是．
∵四邊形EFBD是正方形，
∴，
∴點E的坐標是．
故答案為：．
【點睛】
這是一道二次函數(shù)和正方形的綜合問題，考查了正方形的性質，求二次函數(shù)關系式等．
【變式訓練】
1．（2022·山東煙臺·中考真題）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．
(1)求拋物線的表達式；
(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；
(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4
(2)S最大＝，D（﹣，5）
(3)存在，Q（﹣2，）
【解析】
【分析】
（1）先求得A，C，B三點的坐標，將拋物線設為交點式，進一步求得結果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根據(jù)點D和點E坐標可表示出DE的長，進而表示出三角形ADC的面積，進而表示出S的函數(shù)關系式，進一步求得結果；
（3）根據(jù)菱形性質可得PA＝PC，進而求得點P的坐標，根據(jù)菱形性質，進一步求得點Q坐標．
(1)
解：當x＝0時，y＝4，
∴C （0，4），
當y＝0時，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵對稱軸為直線x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴設拋物線的表達式：y＝a（x﹣1）?（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣1）?（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
(2)
如圖1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝?（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，
∴當m＝﹣時，S最大＝，
當m＝﹣時，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
(3)
設P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝y(tǒng)A+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質，勾股定理，菱形性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握相關二次函數(shù)和菱形性質
2．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第三十五中學三模）如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C．

(1)求拋物線的解析式和對稱軸．
(2)若R為拋物線上一點，滿足，求R的坐標．
(3)若點P在拋物線的對稱軸上，點Q是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點P 使得A、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，對稱軸為直線
(2)（4，-5）
(3)存在，（4，1）或（-2，1）或或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；
（2）過點B作BM⊥BC交CR于點M，過點M作ME⊥x軸于點E，證明△BOC≌△MBE，可得點E（2，-1），然后求出直線CR的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立，即可求解；
（3）設，點Q（m，n），分兩種情況討論：然后分兩種情況討論：當AC為邊時，當AC為對角線時，即可求解．
(1)
解：∵拋物線交x軸于，兩點，
∴，
解得：，
∴該拋物線的解析式為，
∴對稱軸為直線；
(2)
解：當x=0時，，
∴OC=3，
∵點B（-1，0），
∴OB=1，
如圖，過點B作BM⊥BC交CR于點M，過點M作ME⊥x軸于點E，
∵∠BCR=45°，
∴△BCM為等腰直角三角形，∠CBO+∠EBM=90°，
∴BM=BC，
∵∠EBM+∠BME=90°，
∴∠CBO=∠BME，
∵∠BEM=∠BOC=90°，
∴△BOC≌△MBE，
∴EM=BO=1，BE=OC=3，
∴OE=2，
∴點E（2，-1），
設直線CR的解析式為
把點C（0，3），M（2，-1）代入得：
，解得：，
∴直線CR的解析式為，
聯(lián)立得：，解得： 0 或（舍去），
∴點R（4，-5）；
(3)
解：存在．
設，點Q（m，n），
當以AC為邊時，點C向點P（或點Q）平移的方向和距離與點A向點Q（或點P）平移的方向和距離相同，且AP=CQ（或AQ=CP），

∴或，
解得：或，
∴此時點Q的坐標為（4，1）或（-2，1）
如圖，當AC為對角線時，AC=PQ，且PQ與AC的中點重合，如圖，
PQ=AC，
∴，解得：或，
∴此時點Q的坐標為或；
綜上所述，點Q的坐標為（4，1）或（-2，1）或或
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，一次函數(shù)的圖像和性質，矩形的性質，熟練掌握二次函數(shù)的綜合題，一次函數(shù)的圖像和性質，矩形的性質，利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵，是中考的壓軸題．
一、選擇題
1．（2022·湖南株洲·中考真題）已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排除法，由得出拋物線與y軸的交點應該在y軸的負半軸上，排除A選項和D選項，根據(jù)B選項和C選項中對稱軸，得出，拋物線開口向下，排除B選項，即可得出C為正確答案．
【詳解】
解：對于二次函數(shù)，
令，則，
∴拋物線與y軸的交點坐標為
∵，
∴，
∴拋物線與y軸的交點應該在y軸的負半軸上，
∴可以排除A選項和D選項；
B選項和C選項中，拋物線的對稱軸，
∵ ，
∴，
∴拋物線開口向下，可以排除B選項，
故選C．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的圖象的性質，熟練掌握二次函數(shù)圖象與三個系數(shù)之間的關系是解題的關鍵．
2．（2022·湖北鄂州·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖像頂點為P（1，m），經(jīng)過點A（2，1）；有以下結論：①a1時，y隨x的增大而減?。虎輰τ谌我鈱崝?shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】C
【解析】
【分析】
①根據(jù)拋物線的開口方向向下即可判定；②先運用二次函數(shù)圖像的性質確定a、b、c的正負即可解答；③將點A的坐標代入即可解答；④根據(jù)函數(shù)圖像即可解答；⑤運用作差法判定即可．
【詳解】
解：①由拋物線的開口方向向下，則a＜0，故①正確；
②∵拋物線的頂點為P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵拋物線與y軸的交點在正半軸
∴c＞0
∴abc＜0，故②錯誤；
③∵拋物線經(jīng)過點A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正確；
④∵拋物線的頂點為P（1，m），且開口方向向下
∴x>1時，y隨x的增大而減小，即④正確；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，則⑤正確
綜上，正確的共有4個．
故答案為C．
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質，靈活運用二次函數(shù)圖像的性質以及掌握數(shù)形結合思想成為解答本題的關鍵．
3．（2022·全國·九年級課時練習）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與y＝ax＋b的圖象不可能是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質進行判斷即可．
【詳解】
解：當a>0，b>0時，y=ax2+bx的開口上，與x軸的一個交點在x軸的負半軸，y=ax+b經(jīng)過第一、二、三象限，且兩函數(shù)圖象交于x的負半軸，無選項符合；當a>0，b

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