5.4 一元一次方程的應(yīng)用
第5課時
一、教材分析
本節(jié)課《一元一次方程的應(yīng)用》是冀教版初中數(shù)學(xué)七年級上冊第五章第四節(jié)的內(nèi)容.分段計費問題是生活中的常見問題，具有一定的現(xiàn)實性和開放性．生活中的數(shù)學(xué)問題大多是具有開放性的綜合問題，所以對這類問題的探究是“數(shù)學(xué)回歸生活，服務(wù)于生活”的需要，這類問題的探究目的不僅是解決這個具體問題，而且是通過這個問題的解決過程讓學(xué)生進一步體驗“建模解題”的過程，滲透建模思想，是本節(jié)課的重點也是本章的一個難點.用幾何圖形賦予代數(shù)元素，產(chǎn)生了一類新的問題，解決這類問題通常要用到圖形的性質(zhì)及其幾何量之間的關(guān)系，在教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注幾何圖形中幾何量之間的等量關(guān)系，如長方形的對邊相等、長方體的體積=長×寬×高等.

二、學(xué)情分析
學(xué)生通過之前的學(xué)習(xí)，比較熟悉在一些典型問題中應(yīng)用方程模型，而對于“階梯收費計費問題”這樣的綜合性問題，還缺乏解決問題的經(jīng)驗，容易無所適從或片面理解.對于本節(jié)課的問題，學(xué)生不是完全沒有基礎(chǔ)，只是在思維方式的邏輯性和解決方法的科學(xué)性方面有待清晰的梳理和規(guī)范，所以本節(jié)課針對以上問題，實施以下三個步驟：（1）先由學(xué)生根據(jù)問題情境獨立思考并表述對問題的認識；（2）通過借鑒其他同學(xué)的觀點再次思考、討論，進一步認識和表述；（3）教師在學(xué)生認識的基礎(chǔ)上加以點撥，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)化地解決問題，而后學(xué)生第三次系統(tǒng)認識并解決問題
三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.解決分段計費問題，增強模型觀念.體會分類思想和方程思想，增強應(yīng)用意識和應(yīng)用能力.
2.通過分析幾何圖形的性質(zhì)及其幾何量之間的等量關(guān)系，建立方程解決問題．
3.通過解決實際問題，獲得進一步的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高用方程解決實際問題的能力
四、教學(xué)重難點
重點：利用一元一次方程解決分段計費問題和幾何問題．
難點：尋找分段計費問題中的等量關(guān)系列方程.

五、教學(xué)過程
情境導(dǎo)入
在現(xiàn)實生活中，選擇經(jīng)濟實惠的付費方式成為了我們所關(guān)心而且具有實際意義的問題，分段計費與方案選擇也是我們生活中常見的情境，如交水電費、出租車收費、商場購物等，你還能舉出例子嗎？
師生活動：學(xué)生思考，自由回答.（共享單車收費，停車場的收費等等）
設(shè)計意圖：從生活情境中，提煉分段計費數(shù)學(xué)問題，感受到數(shù)學(xué)源于生活又回歸于生活的本質(zhì)，以此來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，為學(xué)習(xí)新知作好鋪墊．
一起探究
分段計費問題的探究
為鼓勵居民節(jié)約用電，某市實行每月階梯電價收費制度，具體執(zhí)行方案如下：
根據(jù)表格信息計算下列問題：
問題1.如果某月用電量200千瓦·時，應(yīng)繳費多少元？若用電量不超過第一檔時，最多繳費多少元？
答案： 解： 200×0.5=100(元).
240×0.5=120(元).
答：如果某月用電量為200千瓦·時，應(yīng)繳費100元；若用電量不超過第一檔時，最多繳費120元.
問題2. 2.如果某月用電量300千瓦·時，應(yīng)繳費多少元？
追問：分成幾部分算費用？
當(dāng)用電量300千瓦·時，其中240千瓦·時按照第一檔的收費標(biāo)準，0.5元/(千瓦·時)計算，超出的部分(300-240)千瓦·時，按照第二檔0.5元/(千瓦·時)收費.
答案： 解：
240×0.5+(300-240)×0.6=156（元）
答：應(yīng)繳費156元.
問題3.如果某月用電量500千瓦·時，應(yīng)繳費多少元？
師追問：分成幾部分算費用？
當(dāng)用電量500千瓦·時，其中240千瓦·時按照第一檔的收費標(biāo)準，0.5元/(千瓦·時)算，(400-240)千瓦·時，按照第二檔0.5元/(千瓦·時)收費，(500-400)千瓦·時，按照第二檔0.8元/(千瓦·時)收費.
答案：解：
240×0.5+(400-240)×0.6+(500-400)×0.8=296（元）
答：應(yīng)繳費296元.
師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考并小組討論，教師選小組匯報討論結(jié)果.
設(shè)計意圖：教師層層設(shè)問，由淺入深，循序漸進，讓學(xué)生知道理解階梯收費，并會求相應(yīng)的費用.
應(yīng)用舉例
某戶居民6月、7月共用電520千瓦·時，用電費用為268元.已知該用戶7月的用電量大于6月的用電量，且6月、7月的用電量均小于400千瓦·時.那么該用戶6月、7月的用電量分別是多少千瓦·時?
問題1：如何確定6月和7月的用電量在哪個檔?
解：若6月，7月的用電量都在第一檔，240×2=480(千瓦·時).由題意可知6月、7月共用電520千瓦·時， 480＜520，所以6月和7月的用電量不可能都在第一檔；
若6月，7月的用電量都在第二檔，則這兩個月用電的總費用為240×0.5+240×
0.5+40×0.6=264≠268，故6月、7月的用電量也不可能都在第二檔；
又因為7月的用電量大于6月的用電量，且6月、7月的用電量均小于400千瓦·時，所以可以判斷6月份的用電量在第一檔范圍內(nèi)，7月份的用電量在第二檔范圍內(nèi).
問題2：如果設(shè)6月的用電量為x千瓦·時，如何用含x的式子表示6，7月份的費用?
解： 7月份用電量為(520－x) 千瓦·時，
6月份的費用：0.5x元;
7月份的費用： [240×0.5+(520－x－240)×0.6]元.
解：依題意可知，6月、7月的用電量不可能都在第一檔.
若6月，7月的用電量都在第二檔，則這兩個月用電的總費用為240×0.5+240×0.5+40×0.6=264≠268，
故6月、7月的用電量也不可能都在第二檔.
又因為7月的用電量大于6月的，所以6月的用電量應(yīng)在第一檔，
7月的用電量應(yīng)在第二檔.
設(shè)6月的用電量為x千瓦·時，則7月的用電量為(520－x) 千瓦·時.
依題意，得0.5x+240×0.5+(520－x－240)×0.6=268.
解得x=200.
520－200=320.
答：該用戶6月的用電量為200千瓦·時，7月的用電量為320千瓦·時.
師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考并小組討論，教師選小組匯報討論結(jié)果.
設(shè)計意圖：教師層層設(shè)問，由淺入深，循序漸進，引導(dǎo)學(xué)生對問題的逐步探究，最終得到階梯收費問題的解決．進一步深入探究，將同一問題弄透徹，同時給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力．
2.幾何問題的探究
將一張長和寬分別為40 cm，30 cm的長方形薄紙板按圖1中的實線剪開，再按虛線折疊，恰好折疊成如圖2所示的長方體盒子，如果這個盒子的寬∶高=4∶1，那么這個長方體盒子的體積是多少?
問題1：題中的等量關(guān)系是什么？
長方體盒子的高×2+長方體盒子的長=30
長方體盒子的寬×2+長方體盒子的高×2=40
問題2：若設(shè)這個長方體盒子的高為x cm，則這個長方體盒子的長、寬如何表示?
長方體盒子的寬：4x cm
長方體盒子的長：(30-2x )cm
解：設(shè)這個長方體盒子的高為x cm，則這個長方體盒子的寬為4x cm，長為(30-2x )cm.
依題意，得2x+8x=40，解得x=4.
所以長方體盒子的體積為：
4x×(30－2x)x=16×22×4=1408.
答：這個長方體盒子的體積是1408cm3.
師生活動：學(xué)生共同回憶相關(guān)體積公式后獨立完成，以小組形式匯報板展.
設(shè)計意圖：通過學(xué)生參與小組活動，激發(fā)學(xué)生參與課堂教學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，感受用一元一次方程解決實際問題的便捷.
課堂練習(xí)
1.已知每立方厘米鐵的質(zhì)量為7.8g.現(xiàn)有質(zhì)量為46.8kg的一塊廢鐵，把它熔化后鑄成鐵錠.已知鐵錠的外形為長方體形，長和寬分別為15cm和10cm.那么它的高為多少厘米?
解： 46.8kg =46800g.
設(shè)這個長方體的高為x cm，
依題意，得15×10x×7.8=46800
解得x=40.
答：那么這個長方體的高是40cm.
2.某市為鼓勵市民節(jié)約用水，增強節(jié)水意識，決定對居民用水實行“階梯收費”方案.規(guī)定：每戶每月不超過月用水標(biāo)準部分的水價為2.5元/噸：超過月用水標(biāo)準部分的水價為3.5元/噸.該市小明家5月用水量為12噸交水費32元.
(1)請判斷小明家5月用水是否超過標(biāo)準用水量；
(2)該市規(guī)定的每戶月用水標(biāo)準量是多少噸?
分析：（2）本題的等量關(guān)系是什么？
月用水量為標(biāo)準量的水費+超過月用水標(biāo)準部分的水費=32元
答案：解：（1）12×2.5=30 (t) ，30＜32 所以超過標(biāo)準用水量.
(2) 解：該市規(guī)定的每戶月用水標(biāo)準量是x t，
依題意得2.5x+3.5(12-x)=32，解得x=10.
答：該市規(guī)定的每戶每月用水標(biāo)準量是10 t.
師生活動：學(xué)生先獨立思考再作答，教師強調(diào)解題步驟.
設(shè)計意圖：通過課堂練習(xí)鞏固新知，加深對本節(jié)課的理解及應(yīng)用.
課堂檢測
1.小明所在城市的“階梯水價”收費標(biāo)準是：每戶用水不超過5噸，每噸水費x元；超過5噸，超過部分每噸加收2元. 小明家今年5月份用水9噸，共交水費為44元，根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程正確的是（A ）
A．5x + 4(x + 2) = 44
B．5x + 4(x - 2) = 44
C．9(x + 2) = 44
D．9(x + 2) - 4×2 = 44
2.有一位旅客攜帶了30千克行李乘坐某航空公司的飛機，按該航空公司規(guī)定，旅客最多可免費攜帶20千克行李，超重部分每千克按飛機票價的1.5%支付行李托運費用.現(xiàn)該旅客支付了 120 元的托運費用，他的飛機票是多少元?
解：設(shè)該旅客飛機票為x元，根據(jù)題意
可得 (30－20)×1.5%x＝120，解得：x＝800．
答：該旅客飛機票價為 800 元．
3.小華有一張長為32cm，寬為24cm的包裝紙，小華想在四個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面周長為64 cm的沒有蓋的長方體盒子用來裝禮物，請你幫小華設(shè)計一下，截去的小正方形的邊長應(yīng)是多少?
解：設(shè)截去小正方形的邊長是xcm，
依題意，得2[(24-2x)+(32-2x)]=64，
解得x=6.
答：截去的小正方形的邊長應(yīng)是6cm.
師生活動：學(xué)生先獨立完成，教師核對答案，小組討論解決出現(xiàn)的問題.
設(shè)計意圖：檢測學(xué)生對新知的掌握情況，鞏固學(xué)習(xí)成果，提高課堂學(xué)習(xí)效率，通過小結(jié)讓學(xué)生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識.
課堂總結(jié)
1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？
2.回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，看你是否完成了本節(jié)課的任務(wù)？
3.這節(jié)課你還有哪些疑惑？
設(shè)計意圖：讓學(xué)生進行自我反思，總結(jié)自己的收獲、不足和疑惑.

六、板書設(shè)計

七、教學(xué)反思
本節(jié)課主要通過教師層層設(shè)問，由淺入深，循序漸進，引導(dǎo)學(xué)生對問題的逐步探究，最終解決分段計費和幾何問題．首先從熟悉的實際生活入手，切入課題，讓學(xué)生感受生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來源于實踐，也服務(wù)于實踐．本節(jié)教學(xué)要以學(xué)生為主體，以探究為主線，采取合作交流的探究方式進行學(xué)習(xí)，使學(xué)生的知識得到鞏固的同時，生活經(jīng)驗、學(xué)習(xí)方法等也得到提高．
檔次
每戶每月用電量/(千瓦·時)
執(zhí)行電價/[元/(千瓦·時)]
第一檔
小于或等于240
0.5
第二檔
大于240且小于或等于400時，超出240的部分
0.6
第三檔
大于400時，超出400約部分
0.8

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5.4 一元一次方程的應(yīng)用

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