5.4 一元一次方程的應用
第3課時

一、教材分析
本節(jié)課是冀教版初中數學七年級上冊第五章第四節(jié)第3課時的內容,主要揭示依據“同一個量的不同表示”列方程解決實際問題.兩個示例都是求兩個未知量,一般會有兩個等量關系,需要注意的是只需設出一個未知量,然后根據一個等量關系表示出另一個未知量,根據另一個等量關系列出方程即可,體現方程模型在解決實際問題時的靈活性和應用價值.引例通過“觀察與思考”,為學生提供了探究的內容,教學中應先指導學生自主觀察、思考,再進行比較、分析,最后歸納、總結,注意設的未知量不同,列出的方程也不同.例題的教學應重點強調了根據題中的不變量列方程,分析過程可由教師示范,解答過程可由學生自己完成.

二、學情分析
七年級學生正處于數學思維的快速發(fā)展階段，他們已經具備了一定的代數基礎，包括變量、常數、運算符以及一元一次方程的基本解法.然而，在將實際問題轉化為數學模型的過程中，學生普遍面臨以下挑戰(zhàn)：抽象能力不足；難以從實際情境中抽象出數學問題；邏輯推理不嚴；在列方程時容易遺漏關鍵條件或關系；解題技巧欠缺；對如何靈活運用方程解決實際問題缺乏經驗；學習風格差異；不同學生對知識的理解和接受方式存在差異，需要個性化教學.

三、學習目標
1.能根據題意找到“同一個量的不同表示”，并以此來列方程，解決實際問題.
2. 經歷分析追及、盈余不足問題中的數量關系、列方程的過程，提高學生運用新知識解決實際問題的能力，體會“建?！彼枷?
3.經歷不同的生活情境，體會數學與生活的緊密聯系，培養(yǎng)學生分析和解決實際問題的能力.

四、教學重難點
重點：掌握用“同一個量的不同表示”來列方程，根據實際問題中等量關系列出方程進而解決實際問題.
難點：經歷分析追及、盈余不足問題中的數量關系、列方程的過程，提高學生運用新知識解決實際問題的能力，體會“建?！彼枷?

五、教學過程
情境導入
某學校七年級師生進行了一次徒步活動.帶隊教師和學生以4 km/h的速度從學校出發(fā),20 min后,小王騎自行車前往追趕.如果小王以12 km/h的速度騎行,那么小王要用多少時間才能追上隊伍?此時,隊伍已行走了多遠?
分析：追及問題：路程差= 速度差×追及時間 .
追問：如果用算式要怎么求呢？
答案：
20min=13h.4×13÷(12-4)= 16(h).
12×16=2(km)
答：小王用16 h可追上隊伍,此時,隊伍已行走了2 km.
追問：如果用方程解，要怎么做呢？
師生活動：師引導學生復習追及問題常用的公式，學生獨立用算式來求，進而導入本節(jié)課，如何利用一元一次方程求追及問題.
設計意圖：通過復習追及問題，為后面學習一元一次方程求追及問題作好鋪墊，感悟方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.
一起探究
問題：某學校七年級師生進行了一次徒步活動.帶隊教師和學生以4 km/h的速度從學校出發(fā),20 min后,小王騎自行車前往追趕.如果小王以12 km/h的速度騎行,那么小王要用多少時間才能追上隊伍?此時,隊伍已行走了多遠?
分析：
問題1：題中的等量關系是什么？
小王騎車行駛的路程=師生行走的路程.
小王騎車行駛的時間＋20min=教師和學生行走的時間。
問題2：如何設未知數呢? 設小王要用x h才能追上隊伍; 設此時隊伍行走的路程為y km，
問題3：1. 設小王要用x h才能追上隊伍,如何列方程呢？
12x=413+x
問題4：2.如果設此時隊伍行走的路程為y km，如何列方程呢？
y12=y4－ 13.
答案：解法1：
解:設小王要用x h才能追上隊伍,此時隊伍行走的時間為(13+x)h.
由題意,得12x=413+x,解得 x=16.
所以 12×16=2（km）
答:小王用16 h可追上隊伍,此時,隊伍已行走了2 km.
解法2：
解:設此時隊伍行走的路程為y km.
由題意，得y12=y4－ 13，解得y=2. y12= 16.
答:小王用16 h可追上隊伍,此時,隊伍已行走了2 km.
問題：在列方程解決這類問題時應注意什么？
根據設的未知數尋找等量關系.
求兩個未知量，一般會有兩個等量關系,需要注意的是只需設出一個未知量,然后根據一個等量關系表示出另一個未知量,根據另一個等量關系列出方程即可.
總結：追及問題中的等量關系:快者走的路程-慢者走的路程=追及路程；
若同時出發(fā)，快者追上慢者時，快者用的時間=慢著的時間.
師生活動：學生獨立思考后小組討論以上問題，以小組匯報形式進行展示.
設計意圖：嘗試兩種不同解題過程，讓學生體會同一個問題因所設未知數不同，找出不同的等量關系，列出不同方程，并解決問題，開闊學生的解題思路.
應用舉例
例：某農場要對一塊麥田施底肥，現有化肥若干千克.若每公頃施肥400kg，則余下化肥800kg；若每公頃施肥500 kg，則缺少化肥300kg.那么，這塊麥田的面積是多少公頃？現有化肥多少千克？
對上述情景進行探究：
問題1：設這塊麥田為x公頃，如何用含x的式子表示化肥質量呢？
由“若每公頃施肥400kg，那么余下化肥800 kg”，可得表示化肥質量的式子：
（400x+800） kg
由“若每公頃施肥500kg，那么缺少化肥300kg”，可得表示化肥質量的式子：（500x－300）kg
問題3：這兩個代數式應有怎樣的關系？
答：化肥質量是相同的，所以有400x+800=500x－300.
解：設這塊麥田的面積是x公頃.
由題意,得400x+800=500x－300.
解得x=11.
現有化肥為400x+800=5200.
答:這塊麥田的面積是11公頃,現有化肥5200千克.
方法二：此題是否還有其他解法？
問題1.設現有化肥y千克，如何用含y的式子表示麥田的面積呢？
由“若每公頃施肥400kg,那么余下化肥800kg”，則表示麥田面積的式子：y?800400 kg.
由“若每公頃施肥500 kg，則缺少化肥300kg”，則表示麥田面積的式子： y+300500 kg.
問題3.兩個代數式有什么樣的關系呢?
答：y?800400 =y+300500
解：設現有化肥數為y千克，
由題意，得y?800400=y+300500.解得y=5200.
y?800400=11.
答：這塊麥田的面積是11公頃，現有化肥5200千克.
總結：利用方程解決盈虧問題的思路:
1.找到不變的量；
2.從不同的角度用代數式表示這個量；
3.用同一個量的不同表示形式，得到方程.
師生活動：老師提問學生舉手回答問題.
設計意圖：通過設計階梯式問題，激發(fā)學生參與課堂教學的熱情，使學生進入問題情境，找出等量關系，列出方程，并解決問題.
課堂練習
1.小李家和小剛家相距 900 m，兩人同時從家出發(fā)，相向而行.
(1)如果小李每分鐘走60m，小剛每分鐘走90m，那么兩人幾分鐘后相遇?
(2)如果小李每分鐘走60m，5min后兩人相遇，那么小剛每分鐘走多少米?
2.一塊長為200cm、寬為100cm、厚為1cm的鋼板經鍛壓后寬度不變，長度增加到320cm.那么，鍛壓后的鋼板厚度是多少厘米?
分析：題中的等量關系是什么？
鍛壓前鋼板的體積=鍛壓后鋼板的體積
3.甲、乙兩名同學從學校出發(fā)去縣城.甲步行，每小時走4km，甲出發(fā)1.5h后，乙騎自行車追趕，半小時后追上了甲，求乙的速度.
答案:
1.解:(1)設兩人x分鐘后相遇.
由題意,得（60+90）x=900
解得x=6.
答:兩人6分鐘后相遇.
(2)設小剛每分鐘走x米.
由題意,得 5（60+x）=900,
解得x=120.
答:小剛每分鐘走120米.
2.解:設鍛壓后的鋼板厚度是x厘米
由題意,得 100×320×x=200×100×1
解得x=0.625.
答:鍛壓后的鋼板厚度是0.625厘米.
3.解:設乙的速度是x km/h.
由題意,得4×(1.5+0.5)=0.5x .
解得x=16.
答:乙的速度是16 km/h.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生展示過程并解答.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節(jié)課的理解及應用.
課堂檢測
1.甲、乙兩人相距6 km，二人同時出發(fā).同向而行，甲3小時可追上乙；相向而行，1小時后相遇.二人的速度各是多少？
2.我國元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里 . 駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”意思是：“跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”
3.一艘客船從A地出發(fā)到B地順流行駛,用了2.5時;從B地返回A地逆流行駛,用了3.5時,已知水流的速度是4千米/時,求客船在靜水中的速度.
答案：
1.解：設甲的速度是xkm/h，則乙的速度是(6－x)km/h.
由題意，得3x=3(6－x)+6，解得x=4. 6－x=2.
答：甲、乙的速度分別是4km/h，2km/h.
2.解：設快馬x天可以追上慢馬.
由題意，可得150(x+12)=240x，解得x=20.
答：快馬20天可以追上慢馬.
3.解：設客船在靜水中的速度為x千米/時,
根據題意，列方程得2.5(x+4)=3.5(x-4)，解得x=24.
答:客船在靜水中的速度為24千米/時.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生展示過程并解答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，找到等量關系列出方程并解決實際問題.
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節(jié)課所講的內容.
本節(jié)課你學到了什么？
如何利用方程解盈虧問題的關鍵是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學的知識.

六、板書設計
追及問題
盈虧問題

七、教學反思
本節(jié)課主要利用分析追擊、盈余不足問題中的數量關系，根據題意設取不同的未知數列方程解決實際問題，提高學生運用新知識解決實際問題的能力，體會“建模”思想.本節(jié)問題的背景和表達都比較貼近實際，因為其中的有些數量關系比較隱蔽，所以在探究過程中正確建立方程是難點，教師要恰當的引導，讓學生弄清問題背景，分析清楚有關數量關系，找出可作為方程依據的主要相等關系，但教師不要代替學生的思考，要鼓勵學生自主探究，根據設的未知數不同，尋找等量關系，體現一題多解的靈活性．

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5.4 一元一次方程的應用

版本： 冀教版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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