5.4 一元一次方程的應(yīng)用
第1課時
一、教材分析
本節(jié)課是冀教版初中數(shù)學(xué)七年級上冊第五章5.4的第1課時，本節(jié)課是在解一元一次方程的基礎(chǔ)上，講述一元一次方程的應(yīng)用，讓學(xué)生通過審題，根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，找出相等關(guān)系，列出有關(guān)一元一次方程，是本節(jié)的重點和難點，同時也是本章節(jié)的重難點.本節(jié)課講述一元一次方程的應(yīng)用題，呈現(xiàn)了經(jīng)典的“雞兔同籠”等情境，讓學(xué)生在解決問題的過程中感受列算式和列方程的區(qū)別，總結(jié)兩種方法各自的特點，體會一元一次方程這一數(shù)學(xué)模型的重要作用.本課通過計算、討論等活動幫助學(xué)生提高分析問題和解決問題的能力，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展模型觀念，同時，對后續(xù)教學(xué)內(nèi)容起到奠基作用.

二、學(xué)情分析
學(xué)生對一元一次方程的解法已經(jīng)比較熟練,在小學(xué)對簡單方程的應(yīng)用也有了一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).但由于學(xué)生的思維能力及習(xí)慣還需繼續(xù)培養(yǎng)和提高，對一些學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生要進(jìn)一步培養(yǎng)，對一些學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生也要進(jìn)一步培養(yǎng)輔導(dǎo)和提高，所以對本節(jié)內(nèi)容還要進(jìn)一步的規(guī)范教學(xué).

三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能從實際問題中抽象出數(shù)量之間的相等關(guān)系,會利用一元一次方程解決和、差、倍、分問題,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識及分析和解決問題的能力,發(fā)展學(xué)生的抽象能力.
2.熟悉和、差、倍、分問題,培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念.
3.了解找出等量關(guān)系、列出方程的關(guān)鍵在于分析已知、未知量之間的關(guān)系及尋找相等關(guān)系,列出一元一次方程解決實際問題.

四、教學(xué)重難點
重點：利用一元一次方程解決和、差、倍、分問題．
難點：學(xué)會分析復(fù)雜問題中數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，列出一元一次方程

五、教學(xué)過程
情境導(dǎo)入
“雞兔同籠” 是中國古代的數(shù)學(xué)名題之一.大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題,在小學(xué)時你用什么方法求解.
問題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？
解法1：假設(shè)都是雞.35×2=70（條），94?70=24（條），
兔：24÷2=12 （只），雞 ：35?12=23（只）.
解法2：假設(shè)都是兔.4×35=140（條），140?94=46（條），
雞： 46÷2=23（只），兔：35-23=12(只).
還有列表法、畫圖法、公式法等等…
教師指導(dǎo)學(xué)生用列方程的方法去做一做：用方程的方法去求解：
解法1：設(shè)雞有x只，則兔有(35?x)只.
根據(jù)題意，得2x+4(35?x)=94.解得x=23.35?x=12.
答：雞有23只，兔有12只.
解法2：設(shè)兔有 x 只，則雞有 (35?x) 只，
根據(jù)題意，得4x+2(35?x)=94，解得x=12, 35?x=23.
答：雞有23只，兔有12只.
師生活動：教師提出問題,學(xué)生思考,小組討論,最后進(jìn)行解答.
設(shè)計意圖：通過問題引導(dǎo)學(xué)生對比、發(fā)現(xiàn), 加深了對方程的理解, 為本節(jié)課的教學(xué)開辟道路,體會到算術(shù)解法和方程解法的不同,初步感悟方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.
問題：比較上述列算式的方法與列方程的方法，說說它們各自的特點.
解：利用列算式的方法求解，要先將每只兔子看成2條腿，與每只雞的腿數(shù)湊齊（或先將每只雞看成4條腿，與每只兔子的腿數(shù)湊齊），然后用腿數(shù)之差求出兔子（或雞）數(shù)量，思考過程和算式的得出都比較曲折，利用列方程的方法，可根據(jù)腿數(shù)之和直接列方程，使得問題的解決比較簡單.
師生活動：學(xué)生討論交流，教師歸納總結(jié).
設(shè)計意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程解法的優(yōu)勢.
應(yīng)用舉例
例1 某學(xué)校七年級同學(xué)參加一次公益活動，其中15%的同學(xué)去作保護(hù)環(huán)境的宣傳，剩下的170名同學(xué)去植樹，七年級共有多少名同學(xué)參加了這次公益活動？
分析：1.問題中涉及哪些量?等量關(guān)系是什么?
2.設(shè)哪個未知量為未知數(shù)?如何用未知數(shù)表示其他未知量呢?
答案：
1.問題中涉及三個量：
作保護(hù)環(huán)境宣傳的人數(shù)，植樹的人數(shù)，參加公益活動的同學(xué)人數(shù).
等量關(guān)系：
作保護(hù)環(huán)境宣傳的人數(shù)+植樹的人數(shù)=參加公益活動的同學(xué)人數(shù).
2.設(shè)參加公益活動的同學(xué)人數(shù)為x,則作保護(hù)環(huán)境宣傳的同學(xué)有15% x名.
解：設(shè)七年級共有x名同學(xué)參加這次公益活動，那么作環(huán)境保護(hù)宣傳的同學(xué)有15%x名．
依題意，得15%x＋170＝x.
解這個方程，得x＝200.
答：七年級共有200名同學(xué)參加了這次公益活動．
思考：列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟有哪些？
師生活動：學(xué)生思考討論交流回答，教師總結(jié).
(1)審：審清題意,找出題中的等量關(guān)系,分清題中的已知量、未知量.
(2)設(shè)：設(shè)未知數(shù),一般采用直接設(shè)法(求什么設(shè)什么),當(dāng)直接設(shè)法列方程有困難
時,可采用間接設(shè)法,
(3)列：根據(jù)題中的等量關(guān)系,列出一元一次方程.
(4)解：解所列出的一元一次方程.
(5)驗：檢驗所得的解是否正確,是否符合實際意義(過程可省略不寫).
(6)答：寫出答案(包括單位名稱).
設(shè)計意圖：加強反思，幫助學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的習(xí)慣.
課堂練習(xí)
練習(xí)：1.一個數(shù)的3倍與這個數(shù)的13的和等于6，求這個數(shù).
思考：和、差、倍、分問題中常見的等量關(guān)系是什么?
和(差)關(guān)系
如：總量=各分量之和,
大數(shù)=小數(shù)+大數(shù)與小數(shù)的差;
倍(分)關(guān)系
如幾倍后的量=基礎(chǔ)量×倍數(shù),
分量=總量×分量對總量所占的分?jǐn)?shù).
解：設(shè)這個數(shù)為x.
根據(jù)題意，得3x+13x=6,解得x= 95.
答：這個數(shù)為95.
2.某倉庫存放的大米運出25%后，還剩37500kg.倉庫原有大米多少千克?
解：設(shè)倉庫原有大米x千克，則運出大米25%x千克.
根據(jù)題意，得x-25%x=37500,
解得x=50000.
答：倉庫原有大米50000千克.
3.一種小麥加工成面粉后，可得到85%的面粉.為得到5100kg的面粉，需要小麥多少千克?
答案：解：設(shè)需要小麥x千克,則得到的面粉85%x千克.
根據(jù)題意，得85%x=5100，
解得x=6000.
答：需要小麥6000千克.
4.如圖(1)，已知高度為60cm的圓柱形玻璃容器內(nèi)水面的高度為20cm，現(xiàn)有體積分別相等的大球、小球若干個.
(1)如圖(2)，已知在容器內(nèi)放入5個小球后，容器內(nèi)水面的高度為25cm，那么在容器內(nèi)放入1個小球，水面會升高_(dá)___cm.
(2)在容器內(nèi)放入1個大球，水面可升高2cm.如果在圖(1)所示的容器內(nèi)放入大球、小球共18個，水面上升到46cm，那么應(yīng)該放入小球多少個？
答案：（1）1；
（2）解：設(shè)放入小球x個，則放入大球(18-x)個.根據(jù)題意,得 20+x+2(18-x)=46.
解這個方程,得x=10.
答：應(yīng)該放入小球10個.
師生活動：教師展示題目，學(xué)生獨立思考，認(rèn)真完成，小組交流思路，教師引導(dǎo)展示思路方法和計算答案.
設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識，加深理解.培養(yǎng)規(guī)范化書寫和建模思想在解決數(shù)學(xué)問題的重要性.會用數(shù)學(xué)思維和語言表達(dá)數(shù)學(xué)實際問題.
課堂檢測
1.長江比黃河長899 km,黃河長度的6倍比長江長度的5倍多969 km,設(shè)長江長度為x km,則下列方程中正確的是( D )
A.5x-6(x-899)=969 B.6x-5(x+899)=969
C.6(x+899)-5x=969 D.6(x-899)-5x=969
分析：題中的等量關(guān)系是什么？
長江的長度=黃河的長度+899；
6×黃河的長度=5×長江的長度+969 .
2.小悅買書需用48元錢,付款時恰好用了1元和5元的紙幣共12張.設(shè)所用的1元紙幣為x張,根據(jù)題意,下面所列方程正確的 ( A )
A.x+5(12-x)=48 B.x+5(x-12)=48
C.x+12(x-5)=48 D.5x+(12-x)=48
分析：題中的等量關(guān)系是什么？
1元紙幣的張數(shù)+5元紙幣的張數(shù)=12；
1×1元紙幣的張數(shù)+5×5元的紙幣張數(shù)=48.
3.動物園的門票售價為：成人票每張50元，兒童票每張30元.某日動物園售出門票700張，共得
29000元.設(shè)兒童票售出x張，依題意可列出程為( A )
A.30x+50(700-x)=29000 B.50x+30(700-x)=29000
C.30x+50(700+x)=29000 D.50x+30(700+x)=29000
分析：題中的等量關(guān)系是什么？
成人票的張數(shù)+兒童票的張數(shù)=700；
50×成人票的張數(shù)+30×兒童票的張數(shù)=29000.
4.學(xué)校文藝部組織部分文藝積極分子看演出，共購得8張甲票，4張乙票，總計用了112元．已知甲票的單價比乙票的單價貴2元，則甲票、乙票的票價分別是( A )
A.甲票10元/張，乙票8元/張
B.甲票8元/張，乙票10元/張
C.甲票12元/張，乙票10元/張
D.甲票10元/張，乙票12元/張
分析：
1.題中的等量關(guān)系是什么？
甲票的單價=乙票的單價+2；8×甲票的單價+4×乙票的單價=112.
2.如何列方程呢？
設(shè)乙票的單價為x元/張，則甲票的單價為(x+2)元/張.
根據(jù)題意，列方程為8(x+2)+4x=112.
5.小剛有中國郵票和外國郵票共165張，中國郵票的張數(shù)比外國郵票的張數(shù)的3倍少55張，則小剛有中國郵票多少張，外國郵票多少張？
分析：
題中的等量關(guān)系是什么？
中國郵票的張數(shù)+外國郵票的張數(shù)=165；
中國郵票的張數(shù)=外國郵票的張數(shù)×3-55.
解：設(shè)小剛有外國郵票x張，則小剛有中國郵票（3x-55）張，
依題意有x+（3x-55）=165，
解得x=55，
所以3x-55=165-55=110．
答：小剛有中國郵票110張，外國郵票55張．
師生活動：生獨立完成，師課堂判，生更正.
設(shè)計意圖：通過練習(xí)性的檢測，檢查學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)成果，并及時進(jìn)行教學(xué)評判，查漏補缺，起到融會貫通的目的.
課堂總結(jié)：
1.利用一元一次方程解決實際問題的步驟是什么？
2.用一元一次方程解決和、差、倍、分問題時常用的等量關(guān)系是什么？
設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括總結(jié)能力.

六、板書設(shè)計

七、教學(xué)反思
本節(jié)課是《一元一次方程的應(yīng)用》第1課時的內(nèi)容，是學(xué)生首次應(yīng)用一元一次方程解決生活中稍復(fù)雜的實際問題，以此幫助學(xué)生建立模型意識、樹立模型觀念、提高學(xué)生的應(yīng)用意識，這對學(xué)生是一種全新的考驗.本課的重點是要根據(jù)題意，尋找積、差、倍、分問題中的等量關(guān)系.難點是尋找問題中的等量關(guān)系，據(jù)此列出一元一次方程.本課先用我國古代著名的《雞兔同籠》問題啟發(fā)學(xué)生用不同方法解題，引導(dǎo)學(xué)生通過對比算術(shù)與方程兩種不同方法體會方程解決實際問題的通用性和有效性.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)方式提高學(xué)生分析、解決問題的能力；在教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納列一元一次方程解決實際問題的解題步驟規(guī)范過程的書寫；通過引導(dǎo)學(xué)生分析總結(jié)總量等于各分量之和，用不同的式子來表示同一個量，從而有效地突出重點、突破難點，很好的實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.

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5.4 一元一次方程的應(yīng)用

版本： 冀教版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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