5.4 一元一次方程的應(yīng)用
第2課時(shí)

一、教材分析
本節(jié)課《一元一次方程的應(yīng)用》是冀教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊第五章第四節(jié)的內(nèi)容.本節(jié)課的兩個(gè)示例仍然是針對“各分量之和=總量”這個(gè)基本等量關(guān)系而設(shè)計(jì)的,目的是進(jìn)一步體現(xiàn)這個(gè)等量關(guān)系的普遍適用性.引例為學(xué)生自主探究提供了活動(dòng)內(nèi)容與線索,所以,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生自主完成后,再進(jìn)行小組交流.關(guān)注解決問題的思維和概括的完整性:從問題出發(fā), ;借助線段圖理解題意，找出等量關(guān)系,用代數(shù)式表示出題中的未知的量;列方程;解方程.例題是一個(gè)工程問題,這里不再把問題分為行程問題、工程問題等逐一分類展示,而是圍繞著和與差的基本等量關(guān)系以及獲得方程過程中的數(shù)學(xué)思考展開,所以,教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)對等量關(guān)系的認(rèn)識(shí).

二、學(xué)情分析
學(xué)生對行程問題已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，對解決過的問題有了一定的分類認(rèn)知，解決問題習(xí)慣于算術(shù)解法，對問題中的隱含條件在閱讀中理解起來有困難，找不準(zhǔn)題中的等量關(guān)系，列不出方程.學(xué)生的形象直觀思維已經(jīng)比較成熟，具有好動(dòng)，注意力分散，抽象思維能力，歸納能力比較薄弱.學(xué)習(xí)中不善于積累，類比歸納的習(xí)慣還沒有養(yǎng)成.本課立足于學(xué)生的“學(xué)”，要求學(xué)生多觀察，感受生活情境中的數(shù)學(xué)，從而可以幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)來源于生活，有應(yīng)用于生活的理念，培養(yǎng)“三會(huì)”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此課堂采用自主探究和合作交流的方法組織教學(xué)，使每位學(xué)生都參與到課堂當(dāng)中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的樂趣!

三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握相遇問題、工程問題中的基本等量關(guān)系；
2.學(xué)會(huì)利用線段圖分析相遇問題及工程問題，找出等量關(guān)系，準(zhǔn)確列出方程；
3.進(jìn)一步體會(huì)方程這一數(shù)學(xué)模型的重要作用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展模型觀念.

四、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：掌握相遇問題、工程問題中的基本等量關(guān)系．
難點(diǎn)：學(xué)會(huì)利用線段圖分析相遇問題及工程問題，分清有關(guān)數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系，準(zhǔn)確列出方程.

五、教學(xué)過程
情境導(dǎo)入
小明家與學(xué)校的距離是2900米，今天早晨小明7：45分從家出發(fā)，他先走了一段路，發(fā)現(xiàn)時(shí)間不夠用了他又跑了一段，小明在8點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)學(xué)校.若他跑步的平均速度是250米/分，步行的平均速度是80米/分，算一算他跑步用了多長時(shí)間?
問題：1.時(shí)間、路程、速度之間的關(guān)系式是什么？路程＝速度×?xí)r間
2.你能用線段圖表示題中的數(shù)量關(guān)系嗎?
3.設(shè)小明跑步的時(shí)間是x分，能用含x的式子表示小明走路和跑步的路程呢？
解：設(shè)小明跑步的時(shí)間是x分鐘.
根據(jù)題意，得80（15-x）+250x=2900.
解這個(gè)方程，得x=10.
答：小明跑步的時(shí)間是10分鐘．
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生，逐步完成問題，指定學(xué)生回答.
設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生熟悉的生活場景，引出本節(jié)課研究的路程問題，為后面點(diǎn)學(xué)習(xí)做好鋪墊.
一起探究
用一元一次方程解決“相遇問題”
甲、乙兩地間的路程為375km.一輛轎車和一輛公共汽車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)沿公路相向而行.轎車的平均速度為90km/h，公共汽車的平均速度為60km/h.它們出發(fā)后多少小時(shí)在途中相遇？
問題1：找出本題中的等量關(guān)系.(動(dòng)畫演示運(yùn)動(dòng)過程)
答：轎車行駛的路程+公共汽車行駛的路程=甲乙兩地間的路程.
問題2：1.設(shè)兩車出發(fā)后x h相遇，你能用含x的代數(shù)式表示轎車和公共汽車行駛的路程嗎？
答：它們出發(fā)后x小時(shí)在途中相遇， 此時(shí)轎車行駛的路程為90xkm， 公共汽車行駛的路程為
60xkm.
問題2：如何列出方程并求解呢？
根據(jù)題意，得90x+60x=375.
解這個(gè)方程，得x=2.5.
答：它們出發(fā)后2.5小時(shí)相遇．
總結(jié)歸納：相遇問題中常見的等量關(guān)系:
路程＝速度和×相遇時(shí)間
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之間的距離
注意：相向而行的始發(fā)時(shí)間和相遇地點(diǎn)
師生活動(dòng)：老師提問學(xué)生舉手回答問題．
設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生參與小組活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生參與課堂教學(xué)的熱情，使學(xué)生進(jìn)入問題情境，引出解決相遇問題的思路.通過實(shí)例引出線段圖，讓學(xué)生試著解釋，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，感受一元一次方程在相遇問題中的應(yīng)用.
用一元一次方程解決“工程問題”
應(yīng)用舉例
例題 一項(xiàng)工作，小李單獨(dú)做需要6h完成，小王單獨(dú)做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由兩人合做，那么還需幾小時(shí)才能完成？
問題1：類比相遇問題的分析方法，找出本題的等量關(guān)系.
小李單獨(dú)做2h的工作量十小王、小李合做完成的工作量=工作總量
問題2：工作總量是多少？小李和小王的工作效率分別是多少？
解：設(shè)工作總量是1，小李的工作效率是16 ，小王的工作效率是19.
問題3：如果設(shè)還需兩人合做xh才能完成,你能用含x的式子表示出小王和小李合作完成的工作量嗎？
解：設(shè)還需兩人合做xh才能完成,依題意，得 16×2+（16+19）x=1，
解得 x=125.
答：還需兩人合做125h才能完成．
總結(jié)：解決工程問題的解題思路
1.三個(gè)基本量：
工程問題中的三個(gè)基本量：工作總量、工作效率、工作時(shí)間，
它們之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間.
若把工作量看作1，則工作效率=1÷工作時(shí)間.
2.相等關(guān)系：
(1)按工作時(shí)間:各時(shí)間段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者:若一項(xiàng)工作有甲、乙兩人參與，則甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.
師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考再作答.
設(shè)計(jì)意圖：通過具體的生活問題，幫助學(xué)生體會(huì)一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生一起感受一元一次方程解決工程問題的解題思路，增加考察難度.
課堂練習(xí)
1.甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從相距14km的兩地相向而行，甲的速度為12km/h，乙的速度為16km/h，他們出發(fā)后多長時(shí)間相遇？
答案：
解: 設(shè)他們出發(fā)xh后相遇，根據(jù)題意得12x+16x=14.
解這個(gè)方程，得x=0.5.
答：他們出發(fā)后0.5h相遇．
2.為使福利院的孩子們度過一個(gè)快樂的兒童節(jié)，某玩具廠決定贈(zèng)送他們一批玩具.這批玩具甲組獨(dú)立生產(chǎn)需10天完成，乙組獨(dú)立生產(chǎn)要6天完成，甲組獨(dú)立生產(chǎn)2天后，乙組開始參與生產(chǎn).兩組合做多少天可以完成批玩具的生產(chǎn)任務(wù)？
分析：設(shè)兩組合做x天可以完成這批玩具的生產(chǎn)任務(wù)，請畫出線段分析圖.
解:設(shè)兩組合做x天可以完成這批玩具的生產(chǎn)任務(wù)，根據(jù)題意得：110×2+110+16x=1，
解得x = 3.
答：兩組合做3天可以完成這批玩具的生產(chǎn)任務(wù)．
師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考再作答.
設(shè)計(jì)意圖：這些問題是這節(jié)課的主要知識(shí)，教師要清楚地向?qū)W生說明，并且要注意語言的準(zhǔn)確與規(guī)范，要舍得花時(shí)間讓學(xué)生充分發(fā)表想法，使學(xué)生對解決實(shí)際問題中的相遇問題和工程問題有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí).使學(xué)生學(xué)會(huì)用一元一次方程解決生活中的問題，深入理解一元一次方程的使用意義.課堂檢測
1.甲、乙兩人騎摩托車同時(shí)從相距170千米的A，B兩地相向而行，2小時(shí)相遇，如果甲比乙每小時(shí)多行5千米，則乙每小時(shí)行( )
A．30千米 B．40千米 C．50千米 D．45千米
答案：B
2.甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，他們同時(shí)同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，則他們首次相遇時(shí)，兩人都跑了( )
A．40秒 B．50秒 C．60秒 D．70秒
答案：A
3.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要9天完成，乙單獨(dú)做需要12天完成.甲、乙兩人合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下的工程由乙單獨(dú)完成.那么，乙還需要幾天才能完成全部工程？
解：設(shè)乙還需要x天才能完成全部工程.
根據(jù)題意，得39+3+x12=1，
解得x=5 .
答：乙還需要5天才能完成全部工程.
師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成,教師核對答案 .
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂檢測鞏固新知，加深對本節(jié)課的理解及應(yīng)用.
課堂總結(jié)
1.如何應(yīng)用一元一次方程解決相遇問題？
2.如何應(yīng)用一元一次方程解決工程問題？
師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.
設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).

六、板書設(shè)計(jì)

七、教學(xué)反思
通過行程問題和工程問題的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生建立模型思想，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，利用幾何直觀，幫助學(xué)生直觀的理解數(shù)學(xué)，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).有的問題由于比較復(fù)雜,各個(gè)量之間的關(guān)系不是很容易被理解,這個(gè)時(shí)候,借助于簡單的線段圖,可以使問題中的各種量直觀化和明晰化,從而使問題迎刃而解.

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5.4 一元一次方程的應(yīng)用

版本： 冀教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊（2024）

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