01 模型概述
1．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)
(1)豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)一般是變速圓周運(yùn)動(dòng)。
(2)只有重力做功的豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒。
(3)豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，涉及知識(shí)面比較廣，既有臨界問(wèn)題，又有能量守恒的問(wèn)題，要注意物體運(yùn)動(dòng)到圓周最高點(diǎn)時(shí)的速度。
(4)一般情況下，豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的兩種情形。
2.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解題思路
(1)定模型:首先判斷是繩子模型還是輕桿模型.
(2)確定臨界點(diǎn): ,對(duì)繩子模型來(lái)說(shuō)是能否通過(guò)最高點(diǎn)的臨界點(diǎn),而對(duì)輕桿模型來(lái)說(shuō)是FN表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界點(diǎn).
(3)研究狀態(tài):通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況.
(4)受力分析:對(duì)物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析,根據(jù)牛頓第二定律列出方程,F合=F向.
(5)過(guò)程分析:應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)列方程.
3.輕繩模型與輕桿模型
4.斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題：物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可以按以下操作，把問(wèn)題簡(jiǎn)化．
物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)動(dòng)越快，最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn)，恰好滑動(dòng)時(shí)：μmgcs θ－mgsin θ＝mω2R.
02 典題攻破
1.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)
【典型題1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖甲、乙所示為自行車(chē)氣嘴燈，氣嘴燈由接觸式開(kāi)關(guān)控制，其結(jié)構(gòu)如圖丙所示，彈簧一端固定在頂部，另一端與小物塊P連接，當(dāng)車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度達(dá)到一定值時(shí)，P拉伸彈簧后使觸點(diǎn)A、B接觸，從而接通電路使氣嘴燈發(fā)光。觸點(diǎn)B與車(chē)輪圓心距離為R，車(chē)輪靜止且氣嘴燈在最低點(diǎn)時(shí)觸點(diǎn)A、B距離為d，d≤R，已知P與觸點(diǎn)A的總質(zhì)量為m，彈簧勁度系數(shù)為k，重力加速度大小為g，不計(jì)接觸式開(kāi)關(guān)中的一切摩擦，小物塊P和觸點(diǎn)A、B均視為質(zhì)點(diǎn)，則（ ）
A．氣嘴燈在最低點(diǎn)能發(fā)光，其他位置一定能發(fā)光
B．氣嘴燈在最高點(diǎn)能發(fā)光，其他位置一定能發(fā)光
C．要使氣嘴燈能發(fā)光，車(chē)輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度為
D．要使氣嘴燈一直發(fā)光，車(chē)輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度為
【答案】BCD
【詳解】AB．氣嘴燈在最低點(diǎn)能發(fā)光，對(duì)P與觸點(diǎn)A作為整體進(jìn)行分析可知，最小需要提供的向心力為
氣嘴燈在最高點(diǎn)能發(fā)光，對(duì)P與觸點(diǎn)A作為整體進(jìn)行分析可知，最小需要提供的向心力為
明顯
得氣嘴燈在最高點(diǎn)能發(fā)光，其他位置一定能發(fā)光，故A錯(cuò)誤，B正確；
C．當(dāng)氣嘴燈運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)發(fā)光，此時(shí)對(duì)應(yīng)車(chē)輪做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度最小，根據(jù)受力分析，向心力由彈簧的彈力與重力的合力提供，又因?yàn)槌跏紩r(shí)彈簧彈力等于重力，所以在最低點(diǎn)是增大的彈力提供向心力即kd=mω2R
得
故C正確；
D．當(dāng)氣嘴燈運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)能發(fā)光，則
得
故D正確。
故選BCD。
2. 斜面上圓周運(yùn)動(dòng)
【典型題2】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）轉(zhuǎn)盤(pán)游戲深受人們喜愛(ài)，現(xiàn)將其簡(jiǎn)化為如圖所示模型。傾角為的圓盤(pán)繞垂直于盤(pán)面且過(guò)圓心的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，盤(pán)面上距離軸r處有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊與圓盤(pán)始終保持相對(duì)靜止，物塊與盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度為g，圓盤(pán)的角速度為，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則（ ）
A．的最小值為
B．物塊從最低點(diǎn)第一次轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，轉(zhuǎn)盤(pán)對(duì)物塊的沖量大小為
C．物塊運(yùn)動(dòng)到任意關(guān)于轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力的大小分別為、，一定有
D．增大，物塊在最高點(diǎn)受到的摩擦力一定增大
【答案】ACD
【詳解】A．質(zhì)點(diǎn)隨圓盤(pán)在傾斜面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在垂直盤(pán)面方向上始終平衡，有
沿著盤(pán)面的方向，重力的分力為
勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力為
根據(jù)徑向合力提供向心力可知，最低點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)最大，需要的摩擦力最大，此處有最小的動(dòng)摩擦因數(shù)，可得
聯(lián)立解得
故A正確；
B．物塊從最低點(diǎn)第一次轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)量定理可知
則合外力的沖量為，由轉(zhuǎn)盤(pán)對(duì)物塊的力和重力沿斜面的分力的合力構(gòu)成，故轉(zhuǎn)盤(pán)對(duì)物塊的沖量大小不等于，故B錯(cuò)誤；
C．設(shè)物塊在某一位置的方向與斜面方向的夾角為，由余弦定理可知
由對(duì)稱(chēng)性可知
聯(lián)立可得
故C正確；
D．因，則物塊在最高點(diǎn)時(shí)滿足
則隨著的增大，物塊在最高點(diǎn)受到的摩擦力一定增大，故D正確。
故選ACD。
03 針對(duì)訓(xùn)練
一、單選題(本題共7小題。每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的,不選、多選、錯(cuò)選均不得分)
1．（2024·海南·一模）如圖，在?？诎咨抽T(mén)公園內(nèi)，摩天輪和懸掛的座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。是摩天輪的水平直徑。對(duì)于坐在某座艙內(nèi)相對(duì)座艙靜止的游客，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在最高點(diǎn)處于超重狀態(tài)
B．在最低點(diǎn)處于失重狀態(tài)
C．在和位置所受合力均為0
D．在和位置所受合力方向相反
【答案】D
【詳解】A．乘客隨座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)，加速度向下，游客失重，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B．在最低點(diǎn)，加速度向上，游客超重，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
C．在和位置所受合力提供向心力，不為0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D．在和位置所受合力方向均指向圓心，方向相反，選項(xiàng)D正確。
故選D。
2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖半徑為L(zhǎng)的細(xì)圓管軌道豎直放置，管內(nèi)壁光滑，管內(nèi)有一個(gè)質(zhì)量為m的小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，圓管內(nèi)徑遠(yuǎn)小于軌道半徑，小球直徑略小于圓管內(nèi)徑，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)小球可能處于失重狀態(tài)
B．經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)Z時(shí)小球可能處于完全失重狀態(tài)
C．若小球能在圓管軌道做完整圓周運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)Z的速度v最小值為0
D．若經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)Z的速度v增大，小球在Z點(diǎn)對(duì)管壁壓力可能減小
【答案】A
【詳解】A．小球在最低點(diǎn)時(shí)加速度向上，則小球處于超重狀態(tài)，故A錯(cuò)誤，符合題意；
B．小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)Z時(shí)，若對(duì)軌道的壓力為零，則重力完全提供向心力，小球處于完全失重狀態(tài)，故B正確，不符合題意；
C．由于在最高點(diǎn)圓管能支撐小球，所以速度的最小值為零，故C正確，不符合題意；
D．若過(guò)最高點(diǎn)的速度較小，則在Z點(diǎn)，小球在Z點(diǎn)對(duì)管壁壓力向下，軌道對(duì)小球有向上的彈力，根據(jù)牛頓第二定律可得
此時(shí)經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)Z的速度增大，小球在Z點(diǎn)和管壁的作用力減小，故D正確，不符合題意。
故選A。
3．（2024·湖北·二模）某同學(xué)在轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的鉛筆的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在水平面內(nèi)繞筆中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度超過(guò)20rad/s時(shí)，位于鉛筆一端的橡皮將滑出，已知他使用的鉛筆長(zhǎng)，假設(shè)橡皮受到的最大靜摩擦力為定值，且橡皮的大小可忽略，取，則要保證橡皮擦不滑出，這支鉛筆在豎直面內(nèi)繞其中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】在水平面內(nèi)繞筆中心轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，令最大靜摩擦力為，則有
在豎直面內(nèi)繞其中心轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，若要保證橡皮擦不滑出，由于在最低點(diǎn)由豎直向上的摩擦力與重力的合力提供向心力，則在橡皮擦能夠順利通過(guò)最低點(diǎn)，則有
解得
故選B。
4．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的不可伸長(zhǎng)的輕繩一端固定在傾角為的固定斜面體上的O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊。在最低點(diǎn)A點(diǎn)給滑塊沿斜面且垂直繩的初速度，滑塊轉(zhuǎn)動(dòng)并恰能通過(guò)最高點(diǎn)B點(diǎn)。已知滑塊與斜面體間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度大小為g，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．滑塊恰好通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為
B．滑塊從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)克服摩擦力做的功為
C．滑塊在A點(diǎn)的初動(dòng)能為
D．滑塊在A點(diǎn)時(shí)輕繩的拉力大小為
【答案】C
【詳解】A．滑塊轉(zhuǎn)動(dòng)并恰能通過(guò)最高點(diǎn)B點(diǎn)，表明在最高點(diǎn)由重力沿斜面的分力提供向心力，則有
解得
故A錯(cuò)誤；
B．滑塊所受滑動(dòng)摩擦力大小始終為
摩擦力方向始終與線速度方向相反，則滑塊從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)克服摩擦力做的功為
解得
故B錯(cuò)誤；
C．塊從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有
結(jié)合上述解得
故C正確；
D．滑塊在A點(diǎn)時(shí)，對(duì)滑塊進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律有
其中
解得輕繩的拉力大小為
故D錯(cuò)誤。
故選C。
5．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，輕桿的一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，另一端固定一小球，輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，位置A與O等高，不計(jì)空氣阻力，關(guān)于桿對(duì)球的作用力F，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)方向豎直向上B．小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)大于小球重力
C．小球運(yùn)動(dòng)到位置A時(shí)，F(xiàn)方向指向圓心D．小球運(yùn)動(dòng)到位置A時(shí)，F(xiàn)小于小球重力
【答案】B
【詳解】A．設(shè)小球轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為R，則小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律
若速度大于，則F方向豎直向下，若速度小于，則F方向豎直向上，若速度等于，則F為零，故A錯(cuò)誤；
B．小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有
所以
故B正確；
C．小球運(yùn)動(dòng)到位置A時(shí)，則有
向心力方向指向圓心，F(xiàn)指向斜上方，故C錯(cuò)誤；
D．小球運(yùn)動(dòng)到位置A時(shí)，F(xiàn)大于小球的重力，故D錯(cuò)誤。
故選B。
6．（2024·北京西城·一模）如圖1所示，長(zhǎng)為R且不可伸長(zhǎng)的輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。由于阻力的影響，小球每次通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)速度大小不同。測(cè)量小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)速度的大小v、繩子拉力的大小F，作出F與的關(guān)系圖線如圖2所示。下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．根據(jù)圖線可以得出小球的質(zhì)量
B．根據(jù)圖線可以得出重力加速度
C．繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量更小的球做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線斜率更大
D．用更長(zhǎng)的繩做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線與橫軸交點(diǎn)的位置不變
【答案】A
【詳解】AB. 根據(jù)牛頓第二定律可知
解得
由圖像可知
可得小球的質(zhì)量
由
可得重力加速度
選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；
C. 圖像的斜率為
則繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量更小的球做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線斜率更小，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D. 圖線與橫軸交點(diǎn)的位置
可得
則用更長(zhǎng)的繩做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線與橫軸交點(diǎn)的位置距離原點(diǎn)的的距離變大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
故選A。
7．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖為一小朋友在一個(gè)空心水泥管里玩“踢球”游戲，將該過(guò)程簡(jiǎn)化為豎直面內(nèi)半徑為r的固定圓環(huán)，在圓環(huán)的最低點(diǎn)有一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v．小球沿圓環(huán)內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，不計(jì)小球與圓環(huán)間的摩擦。下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，小球可以通過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)
B．若，小球在最低點(diǎn)對(duì)圓環(huán)壓力大小為4mg
C．若，小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為
D．若，小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為
【答案】D
【詳解】A．小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)滿足
根據(jù)動(dòng)能定理有
解得
若，小球不能通過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B．根據(jù)牛頓第二定律有
解得
故B錯(cuò)誤；
CD．若，設(shè)小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為，則有
根據(jù)動(dòng)能定理有
解得
故C錯(cuò)誤，D正確；
故選D。
二、多選題(本題共3小題。每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的。全部選對(duì)的得全分,選對(duì)但不全的得一半分,有選錯(cuò)的得0分)
8．（2024·河北·三模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB是長(zhǎng)度為R的水平軌道，BCDE是圓心為O、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)。一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從A點(diǎn)以某速度（大小未知）水平向左運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，小球剛好過(guò)最高點(diǎn)D點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，小球不會(huì)脫離圓弧軌道
C．若小球能通過(guò)E點(diǎn)，則越大，小球在B點(diǎn)與E點(diǎn)所受的彈力之差越大
D．小球從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的最長(zhǎng)時(shí)間為
【答案】AD
【詳解】A．由題知，小球剛好過(guò)最高點(diǎn)D點(diǎn)，則由圓周運(yùn)動(dòng)知
在A到D過(guò)程中，由動(dòng)能定理可知
聯(lián)立解得
A正確；
B．當(dāng)時(shí)，設(shè)上升高度為，假設(shè)小球不會(huì)脫離圓弧軌道，則必須滿足，由動(dòng)能定理知
代入得
假設(shè)不成立，故當(dāng)時(shí)，小球會(huì)脫離圓弧軌道，B錯(cuò)誤；
C．B到E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)能定理知
在B點(diǎn)時(shí)，小球所受彈力為
在E點(diǎn)時(shí)，小球所受彈力為
則小球在B點(diǎn)與E點(diǎn)所受的彈力之差為
故小球在B點(diǎn)與E點(diǎn)所受的彈力之差不變，C錯(cuò)誤；
D．在D到E過(guò)程中，由動(dòng)能定理知
代入得
從E到A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球做豎直下拋運(yùn)動(dòng)，則
代入得
D正確；
故選AD。
9．（2024·河南漯河·三模）如圖所示，質(zhì)量為、半徑為、內(nèi)壁光滑的圓形軌道豎直放置在水平地面上，軌道圓心為，、是軌道上與圓心等高的兩點(diǎn)。一質(zhì)量為的小球沿軌道做圓周運(yùn)動(dòng)且剛好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中軌道始終保持靜止?fàn)顟B(tài)。已知重力加速度為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．小球經(jīng)過(guò)軌道最低點(diǎn)時(shí)，速度為
B．小球經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為
C．小球經(jīng)過(guò)軌道最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力最小
D．小球經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的摩擦力沿水平面向右
【答案】BD
【詳解】A．由題意可知，小球恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)，則有小球的重力恰好提供向心力，設(shè)小球在最高點(diǎn)的速度為，則有
解得
小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為，由機(jī)械能守恒定律可得
解得
A錯(cuò)誤；
B．小球經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，圓軌道的彈力提供向心力，小球處于完全失重狀態(tài)，由平衡條件可知，地面對(duì)軌道的支持力大小等于軌道的重力，由牛頓第三定律可知，則軌道對(duì)地面的壓力大小為，B正確；
C．小球經(jīng)過(guò)軌道最高點(diǎn)時(shí)，則有小球的重力恰好提供向心力，此時(shí)小球處于完全失重狀態(tài)，則軌道對(duì)地面的壓力大小為，小球在下半軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球?qū)壍赖膲毫τ胸Q直向下的分力，則軌道對(duì)地面的壓力大于軌道重力，小球在上半軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，（除最高點(diǎn)外）小球?qū)壍赖膲毫τ胸Q直向上的分力，則軌道對(duì)地面的壓力小于軌道重力，因此小球經(jīng)過(guò)軌道最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力不是最小，C錯(cuò)誤；
D．小球經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球向左的彈力提供向心力，由牛頓第三定律可知，小球?qū)壍烙邢蛴业膹椓?，即軌道有向右的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，則地面對(duì)軌道有向左的靜摩擦力，則軌道對(duì)地面的摩擦力沿水平面向右，D正確。
故選BD。
10．（2024·安徽·二模）如圖所示為蛤蟆夯，工作時(shí)鐵砣轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)夯跳起向前移動(dòng)砸實(shí)地基。因工作方式像蛙跳而得名。其結(jié)構(gòu)可等效為如圖乙所示的示意圖，質(zhì)量為的夯架，夯架上O點(diǎn)有一水平轉(zhuǎn)軸，一質(zhì)量為m的鐵砣通過(guò)一半徑為R的輕桿連接在轉(zhuǎn)軸上，鐵砣可以繞轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。在一次檢測(cè)夯性能時(shí)桿在豎直方向上，鐵砣靜止于最低點(diǎn)A，現(xiàn)給鐵砣一個(gè)水平方向的初速度，之后鐵砣在豎直平面內(nèi)做逆時(shí)針?lè)较虻膱A周運(yùn)動(dòng)，支架相對(duì)地面始終保持靜止。已知鐵砣可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g，不計(jì)轉(zhuǎn)軸處的摩擦和轉(zhuǎn)軸重力，不計(jì)空氣阻力，則在鐵砣運(yùn)動(dòng)過(guò)程中以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．鐵砣運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)對(duì)桿的彈力最小
B．支架對(duì)地面的最小壓力為
C．支架對(duì)地面的最大摩擦力為
D．支架對(duì)地面的最大壓力為
【答案】AB
【詳解】A．通過(guò)定性分析可得桿受到鐵砣最小彈力的位置應(yīng)該在小球運(yùn)動(dòng)到圓心О點(diǎn)以上，如圖所示
設(shè)此位置與О點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為θ，此點(diǎn)的速度為，從A點(diǎn)到此點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得
設(shè)桿對(duì)鐵砣的彈力為，在此點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)有
兩式聯(lián)立解得
根據(jù)牛頓第三定律，桿對(duì)鐵砣的彈力為
所以當(dāng)時(shí)，即鐵砣運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)，此時(shí)有最大值，桿對(duì)鐵砣的彈力有最小值為
故A正確；
B．通過(guò)定性分析可得支架對(duì)地面壓力最小的位置應(yīng)該在小球運(yùn)動(dòng)到圓心О點(diǎn)以上，以支架為研究對(duì)象，設(shè)地面對(duì)支架的支持力為，根據(jù)平衡條件，豎直方向上有
聯(lián)立解得
即是關(guān)于的二次函數(shù)，函數(shù)圖像為開(kāi)口向上的拋物線，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)
時(shí)，有最小值，將代入得地面對(duì)支架的最小支持力為
根據(jù)牛頓第三定律可知，支架對(duì)地面的最小壓力也為，故B正確；
D．鐵砣運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)時(shí)，支架對(duì)地面的壓力最大。鐵砣在軌道最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得
解得
由牛頓第三定律得，鐵砣對(duì)支架的向下的拉力
地面對(duì)支架的支持力
由牛頓第三定律得，支架對(duì)地面的壓力
支架對(duì)地面的最大壓力為。故D錯(cuò)誤；
C．通過(guò)定性分析可知支架對(duì)地面的最大摩擦力的位置應(yīng)該在鐵砣運(yùn)動(dòng)到圓心點(diǎn)以下，如圖所示
設(shè)此位置與點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為，此點(diǎn)的速度為，從A點(diǎn)到此點(diǎn)過(guò)程根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得
設(shè)輕桿對(duì)鐵砣的彈力為，在此點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為
兩式聯(lián)立解得
根據(jù)牛頓第三定律鐵砣對(duì)支架的彈力為
以支架為研究對(duì)象，設(shè)地面對(duì)支架的摩擦力為，轉(zhuǎn)軸對(duì)支架的力為
根據(jù)平衡條件，水平方向上有
當(dāng)，
而摩擦力的最大值不在的位置。摩擦力對(duì)求導(dǎo)得
當(dāng)時(shí)，即
時(shí)摩擦力有最大值。故C錯(cuò)誤。
故選AB。
三、計(jì)算題（本題共2小題。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、方程式和重要演算步驟。只寫(xiě)出最后答案的不能得分。有數(shù)值計(jì)算的題，答案中必須明確寫(xiě)出數(shù)值和單位）
11．（2024·北京海淀·二模）如圖所示，不可伸長(zhǎng)的輕繩一端固定在距離水平地面高為h的O點(diǎn)，另一端系有質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，將小球拉至O點(diǎn)正上方的A點(diǎn)，給其一水平方向的初速度，使其恰好通過(guò)A點(diǎn)后，在豎直平面內(nèi)以O(shè)點(diǎn)為圓心做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)，繩恰好被拉斷，小球水平飛出。不計(jì)空氣阻力及繩斷時(shí)的能量損失，重力加速度為g。求：
（1）小球初速度的大小。
（2）繩能承受拉力的最大值。
（3）小球落地時(shí)的速度大小v。
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）小球剛好通過(guò)A點(diǎn)，繩子拉力為零，僅重力提供向心力
解得
（2）從A點(diǎn)到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理
解得
在B點(diǎn)，由繩子拉力和小球重力共同提供向心力
解得
再由牛頓第三定律可得
（3）小球從B點(diǎn)到落地的過(guò)程中，只有重力做功，由動(dòng)能定理
解得
12．（2024·新疆烏魯木齊·二模）如圖所示為一電動(dòng)打夯機(jī)的原理圖，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)軸上固定一輕桿，輕桿的另一端固定一鐵球。工作時(shí)電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)桿上的鐵球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若調(diào)整轉(zhuǎn)速使打夯機(jī)恰好不離開(kāi)地面，且勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一段時(shí)間后，切斷電力，鐵球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)。整個(gè)過(guò)程中打夯機(jī)的底座始終與地面相對(duì)靜止。已知打夯機(jī)（包括鐵球）的總質(zhì)量為，重力加速度為g，鐵球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一切阻力。
（1）求切斷電力前，打夯機(jī)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)對(duì)地面產(chǎn)生的最大壓力；
（2）若切斷電力后，打夯機(jī)對(duì)地面產(chǎn)生的最大壓力為，求鐵球的最小質(zhì)量m。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）設(shè)小球質(zhì)量為，切斷電力前，最高點(diǎn)打夯機(jī)對(duì)小球的作用力為，最低點(diǎn)最高點(diǎn)打夯機(jī)對(duì)小球的作用力為，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為。在最高點(diǎn)，對(duì)小球由牛頓第二定律得
由牛頓第三定律得，小球在最高點(diǎn)對(duì)打夯機(jī)的反作用力大小
打夯機(jī)恰好不離開(kāi)地面，則
得
即
小球在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得
得
切斷電力前，打夯機(jī)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，地面對(duì)打夯機(jī)的最大支持力
由牛頓第三定律得打夯機(jī)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)對(duì)地面產(chǎn)生的最大壓力大小
（2））若切斷電力后，鐵球的最小質(zhì)量m，最高點(diǎn)小球速度為零，最低點(diǎn)速度為，最低點(diǎn)打夯機(jī)對(duì)小球的力為，則小球從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
得
最低點(diǎn)，對(duì)小球由牛頓第二定律得
得
小球?qū)Υ蚝粰C(jī)的作用力的大小
地面對(duì)打夯機(jī)的最大支持力
由牛頓第三定律得，打夯機(jī)對(duì)地面產(chǎn)生的最大壓力
解得
繩模型
桿模型
實(shí)例
球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的“過(guò)山車(chē)”等
球與桿連接、球在光滑管道中運(yùn)動(dòng)等
常見(jiàn)
類(lèi)型
均是沒(méi)有支撐的小球
均是有支撐的小球
受力
示意圖
F彈向下或等于零
F彈向下、等于零或向上
力學(xué)
方程
過(guò)最高
點(diǎn)的臨
界條件
即
討論
分析
①過(guò)最高點(diǎn)時(shí), ,,繩、圓軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力
②不能過(guò)最高點(diǎn)時(shí), ,在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道
①當(dāng)時(shí), ,為支持力,沿半徑背離圓心
②當(dāng)時(shí), ,背離圓心,隨v的增大而減小
③當(dāng)時(shí),
④當(dāng)時(shí), ,指向圓心并隨的增大而增大

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