01 模型概述
1．等時圓模型
(1)質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到圓環(huán)的最低點(diǎn)所用時間相等，如圖甲所示；
(2)質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上最高點(diǎn)沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖乙所示；
(3)兩個豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿不同的光滑弦從上端由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖丙所示。
2.等時性的證明
設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，加速度為，位移為，所以運(yùn)動時間為
即沿各條弦運(yùn)動具有等時性，運(yùn)動時間與弦的傾角、長短無關(guān)。
02 典題攻破
1. 等時圓基本應(yīng)用
【典型題1】如圖所示，甲圖中質(zhì)點(diǎn)從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上，沿三個不同的光滑弦1、2、3上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點(diǎn)，所用的時間分別為、、；乙圖中質(zhì)點(diǎn)從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上最高點(diǎn)，沿三個不同的光滑弦4、5、6由靜止開始滑到下端所用的時間分別為、、，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【典型題2】（2024·湖北黃石·三模）如圖所示，是一個傾角為的傳送帶，上方離傳送帶表面距離為的處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在與傳送帶間建立一直線光滑管道，使原料無初速度地從處以最短的時間到達(dá)傳送帶上，則最理想管道做好后，原料從處到達(dá)傳送帶的時間為（ ）
A．B．
C．D．
2. 等時圓拓展應(yīng)用
【典型題3】如圖所示有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點(diǎn)，O點(diǎn)恰好是下半圓的頂點(diǎn)，它們處在同一豎直平面內(nèi)?，F(xiàn)有兩條光滑直軌道AOB、COD，軌道與豎直直徑的夾角關(guān)系為，現(xiàn)讓一小物塊先后從這兩條軌道頂端由靜止下滑至底端，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【典型題4】如圖在設(shè)計三角形的屋頂時，使雨水盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動，試分析：在屋頂寬度（2L） 一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時間是多少？
03 針對訓(xùn)練
1．（2024高一·全國·專題練習(xí)）如圖所示，ad、bd、cd是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為圓周的最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個小滑環(huán)，三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速度都為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)滑到d的時間，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如圖所示，在斜面上有四條光滑細(xì)桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個相同的小滑環(huán)（圖中未畫出），四個環(huán)分別從O點(diǎn)由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上，下列說法正確的是（ ）
A．沿OD下滑過程中彈力的沖量最大
B．沿OA下滑過程中重力的沖量最大
C．沿OC下滑過程中重力的沖量最小
D．沿OB下滑過程中彈力的沖量最小
3.（23-24高一上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了兩個光滑軌道a、b，其中軌道a與斜面垂直，兩軌道頂點(diǎn)相同，且頂點(diǎn)在C點(diǎn)的正上方。現(xiàn)分別從兩軌道的頂點(diǎn)釋放一物塊，它們到達(dá)斜面的時間分別為t1、t2.下列說法正確的是（ ）
A．t1t2D．無法確定
4．（2024·江蘇泰州·一模）如圖所示，半球形容器內(nèi)有三塊不同長度的滑板、、，其下端都固定于容器底部點(diǎn)，上端擱在容器側(cè)壁上，已知三塊滑板的長度。若三個滑塊同時從A、B、C處開始由靜止下滑（忽略阻力），則（ ）
A．A處滑塊最先到達(dá)點(diǎn)B．B處滑塊最先到達(dá)點(diǎn)
C．C處滑塊最先到達(dá)點(diǎn)D．三個滑塊同時到達(dá)點(diǎn)
5．（23-24高三上·江蘇淮安·開學(xué)考試）如圖所示，球殼內(nèi)有三條弦OA、OB、OC，O為球內(nèi)的最低點(diǎn)，它們與水平面間的夾角分別為60°、45°、30°。三個光滑的小環(huán)分別從A、B、C處由靜止沿所在弦下滑，運(yùn)動到最低點(diǎn)所用的時間分別為、、，則三者之間大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C． D．
6．如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，該平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中B、C兩點(diǎn)處于同一個圓上，C是圓上任意一點(diǎn)，B、M分別為此圓與y軸、x軸的切點(diǎn)，A點(diǎn)在y軸上且∠AMO=60°，O'為圓心，現(xiàn)將a、b、c三個小球分別從A、B、C點(diǎn)同時由靜止釋放，它們將沿軌道運(yùn)動到M點(diǎn)，所用時間分別為、、，則（ ）
A．

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