01 模型概述
1.對(duì)l、g的理解
1)公式中l(wèi)是擺長，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離。
①普通單擺，擺長，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：(a)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動(dòng)起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsin α，其周期。(b)圖中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，等效擺長等于丙擺的擺長。
2)等效重力加速度
①公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
②等效重力加速度：一般情況下，公式中g(shù)的值等于擺球靜止在平衡位置時(shí)，擺線的拉力與擺球質(zhì)量的比值。
如圖中等效重力為，其周期
2.幾種類單擺模型
1）一切在豎直放置的光滑圓弧形內(nèi)軌道上的小幅度振動(dòng)(運(yùn)動(dòng)范圍遠(yuǎn)小于圓弧半徑)都可以等效成單擺模型，其等效擺長l即為圓弧半徑R，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為
2) 非慣性參考系中的單擺
周期公式適合于慣性系中單擺在豎直平面內(nèi)做小幅振動(dòng)的情況，如果單擺處于做勻變速運(yùn)動(dòng)的非慣性參考系中，仍可類比豎直平面內(nèi)的單擺，通過求解平衡位置（相對(duì)參考系靜止的位置）時(shí)細(xì)線拉力的平衡力而得到等效重力加速度。
①參考系具有豎直方向的加速度時(shí)
如：在一升降機(jī)中有一擺長為L的單擺，當(dāng)升降機(jī)以加速度a豎直向上勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示,平衡位置仍在懸點(diǎn)正下方,根據(jù)牛頓第二定律易知擺球靜止在平衡位置時(shí)，擺線拉力FT的平衡力F=mg+ma，等效重力加速度，故其振動(dòng)周期
同理知，當(dāng)升降機(jī)以加速度a減速上升時(shí)單擺振動(dòng)周期。
②參考系具有水平方向加速度時(shí)
如：在沿水平路面向左勻加速行駛的車廂內(nèi)有一單擺，當(dāng)它做小幅振動(dòng)時(shí)，平衡位置（相對(duì)車廂靜止的位置）不在懸點(diǎn)正下方，根據(jù)受力分析知擺球靜止在平衡位置時(shí)，擺線拉力的平衡力，F(xiàn)產(chǎn)生的等效重力加速度，故此單擺的振動(dòng)周期。
3）復(fù)合場(chǎng)中的單擺
①在重力場(chǎng)和電場(chǎng)中的單擺
如：單擺處于豎直向下的科強(qiáng)電場(chǎng)中，擺球的平衡位置在懸點(diǎn)的正下方，帶正電的擺球靜止在平衡位置時(shí)，擺線拉力FT的平衡力，所以等效重力加速度，振動(dòng)周期。
如圖所示，單擺處于水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，擺球平衡位置與懸點(diǎn)的連線偏離豎直方向θ角（），當(dāng)擺球在平衡位置處于靜止時(shí)，擺線拉力FT的平衡力：，所以等效重力加速度，故其振動(dòng)周期：。
如：庫倫力始終沿著擺線方向，產(chǎn)生的等效重力加速度仍為g ，故周期仍為。
②在磁場(chǎng)與重力場(chǎng)中的單擺
如：勻強(qiáng)磁場(chǎng)與單擺擺動(dòng)平面垂直，擺球的平衡位置仍在懸點(diǎn)正下方，當(dāng)擺球在平衡位置靜止時(shí)，擺線拉力與重力平衡，F(xiàn)=mg,擺動(dòng)時(shí)受到洛倫茲力始終與速度方向垂直沿著擺線，產(chǎn)生的等效重力加速度仍為g ，故周期仍為。
02 典題攻破
1.等效擺長問題
【典型題1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，用兩根完全相同、不可伸長的輕繩將小沙包（大小可忽略）對(duì)稱地吊在空中，輕推小沙包，測(cè)得其在垂直紙面平面內(nèi)做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期為（已知在一根豎直繩懸掛下做簡諧運(yùn)動(dòng)的小物體的周期為，l為繩長，g為重力加速度），已知每根輕繩的長度為L，小沙包的質(zhì)量為m，則小沙包靜止時(shí)，每根繩子張力為（ ）
A．B．C．D．
2.等效重力加速度問題
【典型題2】（2024·湖南長沙·一模）如圖所示，小球懸掛在箱子頂端的拉力傳感器上，球心到懸掛點(diǎn)的距離為L，當(dāng)箱子沿豎直方向做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，傳感器的示數(shù)會(huì)變大或者變小，當(dāng)箱子的加速度向上為a時(shí)，可認(rèn)為重力加速度由g變?yōu)?，?dāng)箱子的加速度向下為a時(shí)，可認(rèn)為重力加速度由g變?yōu)?，小球好像處在一個(gè)重力加速度為的環(huán)境里，可把這個(gè)稱為等效重力加速度。下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)箱子向上做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，等效重力加速度大于重力加速度g
B．當(dāng)箱子向上的加速度等于3g時(shí)，且小球做單擺運(yùn)動(dòng)（最大擺角小于5°），則小球的運(yùn)動(dòng)周期為
C．當(dāng)箱子向上的加速度等于3g時(shí)，同時(shí)小球在箱子中做單擺運(yùn)動(dòng)（最大擺角小于5°），則運(yùn)動(dòng)過程小球的機(jī)械能守恒
D．拉力傳感器的示數(shù)F與小球的重力的合力與小球的質(zhì)量m之比等于等效重力加速度
【典型題3】（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）在光滑水平面上的O點(diǎn)系一長為L的絕緣細(xì)線，線的另一端系一質(zhì)量為m、帶電量為q的小球。當(dāng)沿細(xì)線方向加上場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)后，小球處于平衡狀態(tài)，如圖所示?，F(xiàn)給小球一垂直于細(xì)線的初速度，使小球在水平面上開始運(yùn)動(dòng)。若很小，則小球第一次回到平衡位置所需時(shí)間為（ ）
A．B．C．D．
3.類單擺問題
【典型題4】（2024·浙江湖州·二模）如圖甲，小球在光滑球面上的A、B之間來回運(yùn)動(dòng)。t=0時(shí)刻將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，球面對(duì)小球的支持力大小F隨時(shí)間t變化的曲線如圖乙，若弧長AB遠(yuǎn)小于半徑，則（ ）

A．小球運(yùn)動(dòng)的周期為0.2πsB．光滑球面的半徑為0.1m
C．小球的質(zhì)量為0.05kgD．小球的最大速度約為0.10m/s
03 針對(duì)訓(xùn)練
1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，小球在半徑為R的光滑圓弧軌道上A、B間來回運(yùn)動(dòng)，軌道弧長遠(yuǎn)小于R，則（ ）
A．弧長AB變小，周期不變B．弧長AB變小，周期變大
C．小球質(zhì)量變小，周期變小D．小球質(zhì)量變小，周期變大
2．（2021·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示為相同的小球（可看作質(zhì)點(diǎn)）構(gòu)成的單擺，所有的繩子長度都相同，在不同的條件下的周期分別，關(guān)于周期大小關(guān)系的判斷，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）一單擺在豎直平面內(nèi)做小角度擺動(dòng)。擺球從左側(cè)最高點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，擺線被懸點(diǎn)O（未畫出）正下方的釘子P擋住，之后球運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最高點(diǎn)B，該過程中的頻閃照片如圖所示，已知閃光的時(shí)間間隔相等，PC=l。則O、P兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江蘇南京·二模）如圖所示，一帶正電的小球用絕緣細(xì)繩懸于O點(diǎn)，將小球拉開較小角度后靜止釋放，其運(yùn)動(dòng)可視為簡諧運(yùn)動(dòng)，下列操作能使周期變小的是（ ）

A．增大擺長
B．初始拉開的角度更小一點(diǎn)
C．在懸點(diǎn)O處放置一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷
D．在此空間加一豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)
5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，有直角三角形光滑軌道框架，其中AB豎直。，光滑圓弧軌道CB為的外接圓上的一部分。小球1、2分別沿軌道AB、AC從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，到B、C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為、，小球3沿軌道CB從C點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)的時(shí)間為；小球4在圓弧軌道CB上某一點(diǎn)（對(duì)應(yīng)的圓心角很?。┯伸o止開始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)的時(shí)間為。則下列時(shí)間的關(guān)系正確的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2024·湖北·二模）如圖所示，水平面上固定一半圓形凹槽，凹槽的質(zhì)量為，半圓弧的圓心為點(diǎn)，最低點(diǎn)為點(diǎn)，半徑為?，F(xiàn)將一質(zhì)量為的光滑小球從圓弧上的點(diǎn)釋放，已知與的夾角為，重力加速度為，小球大小可以忽略不計(jì)。從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，小球?qū)Π疾鄣膹椓Φ臎_量大小為（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·江蘇蘇州·三模）如圖所示，單擺在光滑斜面上做簡諧運(yùn)動(dòng)，若要使其做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期變大，可以（ ）
A．使斜面傾角變大 B．使單擺擺長變長 C．使擺球質(zhì)量變大 D．使單擺振幅變大
8．（2024·河北張家口·三模）“桿線擺”結(jié)構(gòu)如圖所示，輕桿一端通過活動(dòng)絞鏈與立柱垂直連接，另一端安裝質(zhì)量為m的擺球，細(xì)線一端拉住擺球，另一端系在立柱上的A點(diǎn)，給擺球一垂直于紙面的較小速度，使輕桿垂直于立柱來回?cái)[動(dòng)，擺動(dòng)角度小于5°，擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡被約束在一個(gè)傾斜的平面內(nèi)。已知立柱與豎直方向的夾角及細(xì)線與輕桿的夾角均為，重力加速度為g。下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)[球在擺動(dòng)過程中細(xì)線上的拉力大小為
B．?dāng)[球靜止在平衡位置時(shí)輕桿對(duì)擺球作用力大小為
C．?dāng)[球向平衡位置運(yùn)動(dòng)過程中輕桿對(duì)球作用力增大
D．若增大細(xì)線長度使A點(diǎn)上移則擺球運(yùn)動(dòng)周期增大
9．（2024·貴州黔西·一模）（多選）如圖所示，一小球（質(zhì)量為m、電荷量為q）用長為L的絕緣輕質(zhì)細(xì)線懸掛于天花板上做單擺運(yùn)動(dòng)，此單擺可以視為簡諧運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為最低點(diǎn)，周期為T。現(xiàn)給空間加上豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，此時(shí)單擺的最大擺角不變，周期為2T。已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．電場(chǎng)方向豎直向下B．電場(chǎng)強(qiáng)度大小為
C．單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期與振幅無關(guān)D．單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期與振幅有關(guān)
10．（2024·江西·一模）（多選）如圖所示為某演示機(jī)械能守恒的實(shí)驗(yàn)示意圖。細(xì)繩的一端固定于O點(diǎn)，另一端系一個(gè)小球，擺長為l。在O點(diǎn)的正下方釘一個(gè)釘子A，已知，擺球質(zhì)量為m，小球從一定高度位置P擺下，擺角θ小于5°，向右擺到最高點(diǎn)Q，擺角也小于5°，不計(jì)阻力，重力加速度為g。下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)[球受到繩子最大拉力為
B．?dāng)[球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，繩子拉力的功率為
C．?dāng)[球擺動(dòng)的周期為
D．?dāng)[球從P到M和從Q到M過程中重力做功的平均功率相等
11．（2024·云南曲靖·一模）（多選）惠更斯發(fā)現(xiàn)“單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期與重力加速度的二次方根成反比”。為了通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證這一結(jié)論，某同學(xué)創(chuàng)設(shè)了“重力加速度”可以人為調(diào)節(jié)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境。如圖1所示，在水平地面上固定一傾角可調(diào)的光滑斜面，把擺線固定于斜面上的點(diǎn)，使擺線平行于斜面。拉開擺球至A點(diǎn)，靜止釋放后，擺球在之間做簡諧運(yùn)動(dòng)，擺角為。擺球自然懸垂時(shí)，通過力傳感器（圖中未畫出）測(cè)得擺線的拉力為，擺球擺動(dòng)過程中，力傳感器測(cè)出擺線的拉力隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖2所示，其中、、均已知。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?。下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．多次改變圖1中角的大小，即可獲得不同的等效重力加速度
B．單擺次全振動(dòng)的時(shí)間為
C．多次改變擺角，只要得出就可以驗(yàn)證該結(jié)論成立
D．在圖2的測(cè)量過程中，滿足的關(guān)系
12．（2024·重慶·一模）如圖，光滑圓槽的半徑L遠(yuǎn)大于小球運(yùn)動(dòng)的弧長。甲、乙、丙三小球（均可視為質(zhì)點(diǎn)）同時(shí)由靜止釋放，開始時(shí)乙球的位置B低于甲球位置A，甲球與圓心連線和豎直方向夾角為θ，丙球釋放位置C為圓槽的圓心，Q為圓槽最低點(diǎn)；重力加速度為g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：
（1）求甲球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)速度大?。?br>（2）通過計(jì)算分析，甲乙丙三球誰先第一次到達(dá)O點(diǎn)；
（3）若單獨(dú)釋放甲球從釋放到第15次經(jīng)過O點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間。
13．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，光滑絕緣水平面上，長度為l的絕緣細(xì)線一端系著帶電荷量為+q（q＞0），另一端固定在O'點(diǎn)，空間中存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)保持細(xì)線伸直，將小球拉開一個(gè)很小的角度（小于5°），小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)的速度大小為v。已知小球的質(zhì)量為m，重力加速度大小為g，則小球由釋放到第一次運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過程中，求：
（1）電場(chǎng)力對(duì)小球做的功；
（2）電場(chǎng)力對(duì)小球的沖量的大小。

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