01 模型概述
1.特殊情況的萬有引力定律應(yīng)用：
(1)用萬有引力定律的兩個(gè)推論計(jì)算萬有引力
推論Ⅰ：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F＝0。
推論Ⅱ：如圖所示，在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對它的引力，即。
(2)填補(bǔ)法求解萬有引力
運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題的關(guān)鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補(bǔ)后運(yùn)算，運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題主要體現(xiàn)了等效思想。
2.萬有引力與重力的關(guān)系
(1) 地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果:一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向,
①在赤道上: .
②在兩極上: .
③一般位置: .
式中r為物體到地球轉(zhuǎn)軸的距離。越靠近南、北兩極，向心力越小，g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即.
(2) 星球上空的重力加速度g′
星球上空距離星體中心r＝R＋h處的重力加速度為g′，，得.所以，式中g(shù)為地球表面附近重力加速度.
02 典題攻破
1.特殊情況的萬有引力定律應(yīng)用
【典型題1】（2024·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）如圖1所示，一半徑為R、密度均勻的球體，在與球心O相距2R的P處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，球體對該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為F?，F(xiàn)從球體中挖去“半徑為的小球體（球心在OP連線上，右端位于O點(diǎn)），如圖2所示，則剩余部分對該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)球體的密度為ρ，球體的質(zhì)量為M，可得
則小球體的質(zhì)量
球體對該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小
故挖去小球體后，剩余部分對該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小
解得
故選C。
2. 萬有引力與重力的關(guān)系
【典型題2】（2024·山西·一模）2023年，神舟家族太空接力，“奮斗者”號極限深潛，真正實(shí)現(xiàn)了“可上九天攬?jiān)?，可下五洋捉鱉”！已知“奮斗者”號在馬里亞納海溝的坐底深度為，空間站離地面的高度為。假設(shè)地球質(zhì)量分布均勻，半徑為，不考慮其自轉(zhuǎn)，且質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則深度為處和高度為處的重力加速度之比為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)質(zhì)量為的物體在馬里亞納海溝底處，有
又
質(zhì)量為的物體在空間站上，有
解得馬里亞納海溝底處和空間站所在軌道處的重力加速度之比為
故選A。
03 針對訓(xùn)練
一、單選題(本題共7小題。每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的,不選、多選、錯(cuò)選均不得分)
1．（2022·新疆·一模）上世紀(jì)70年代，前蘇聯(lián)在科拉半島與挪威的交界處進(jìn)行了人類有史以來最大規(guī)模的地底挖掘計(jì)劃。當(dāng)蘇聯(lián)人向地心挖掘深度為d時(shí)，井底一個(gè)質(zhì)量為m的小球與地球之間的萬有引力為F，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，質(zhì)量分布均勻的地球的半徑為R，質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，則F大小等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】將地球分為半徑為（R－d）的球和厚度為d球殼兩部分，球殼對小球的引力為零
則F等于半徑為（R－d）的球?qū)π∏虻囊?，?br>設(shè)半徑為（R－d）球的質(zhì)量為，由密度公式得
所以
解得，F(xiàn)的大小為
B正確，ACD錯(cuò)誤。
故選B。
2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）帝企鵝是南極常見的一種動(dòng)物，如圖所示的是一只處在南極極點(diǎn)的帝企鵝。如果把地球看成一個(gè)均勻的球體，關(guān)于此帝企鵝與重力有關(guān)的問題，下列說法中正確的是（ ）
A．帝企鵝受到的重力的方向一定指向地心
B．帝企鵝受到的重力的方向一定偏離地心
C．帝企鵝對地面的壓力就是其受到的重力
D．帝企鵝受到的重力小于地球?qū)λ奈?br>【答案】A
【詳解】AB．重力的方向豎直向下，由于把地球看成一個(gè)均勻的球體，則帝企鵝受到的重力的方向一定指向地心，故A正確，B錯(cuò)誤；
C．帝企鵝對地面的壓力的受力物體是地球，帝企鵝的重力的受力物體是企鵝，壓力與重力作用在不同物體上，因此，不能夠認(rèn)為帝企鵝對地面的壓力就是其受到的重力，故C錯(cuò)誤；
D．由于帝企鵝處在南極極點(diǎn)，帝企鵝相對于地心處于靜止?fàn)顟B(tài)，并沒有隨地球自轉(zhuǎn)，則帝企鵝受到的重力等于地球?qū)λ奈?，故D錯(cuò)誤。
故選A。
3．（2024·貴州貴陽·三模）亞地球行星GJ367b是一顆超輕、超快的系外行星，該行星的半徑為地球半徑的72%，質(zhì)量為地球質(zhì)量的55%。若取，則該行星的表面重力加速度約為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】在星球表面有
則
該行星的表面重力加速度約為
故選B。
4．（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部物體產(chǎn)生的萬有引力為0。對于某質(zhì)量分布均勻的星球，在距離星球表面不同高度或不同深度處重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到該星球球心的距離，用g表示該位置處的重力加速度大小，忽略星球自轉(zhuǎn)，下列關(guān)于g與x的關(guān)系圖像可能正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】當(dāng)，設(shè)地球的密度為，距地球球心處的物體受到的萬有引力與該處的重力的關(guān)系為
可得
當(dāng)，設(shè)地球的密度為，地球半徑為，距地球球心處的物體受到的萬有引力與該處的重力的關(guān)系為
可得
故選A。
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）半徑為R、質(zhì)量分布均勻且為M的兩個(gè)相同的球固定在水平面上，兩個(gè)球球心之間的距離為4R，它們間的萬有引力大小為 F?，F(xiàn)在兩球心的連線外側(cè)各挖掉一個(gè)直徑為 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如圖所示。則剩余部分之間的萬有引力大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)小球?qū)α硪粋€(gè)大球的萬有引力大小為，大球剩余部分對另一個(gè)大球的萬有引力大小為，小球?qū)π∏虻娜f有引力大小為，小球?qū)α硪粋€(gè)大球剩余部分的萬有引力大小為，大球剩余部分對另一個(gè)大球剩余部分的萬有引力大小為。由題可知，挖掉小球的質(zhì)量
所以
故選D。
6．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）中國將全面推進(jìn)探月工程四期，計(jì)劃2026年前后發(fā)射嫦娥七號。嫦娥七號準(zhǔn)備在月球南極著陸，主要任務(wù)是勘察月球南極月表環(huán)境、月壤水冰和揮發(fā)組分等。嫦娥七號探測器在距離月面的高度等于月球半徑處繞著月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期為；當(dāng)探測器停在月球的南極時(shí)，測得重力加速度的大小為。已知月球自轉(zhuǎn)的周期為，月球視為均勻球體，月球赤道處的重力加速度為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)月球的半徑為，月球的質(zhì)量為，由題意得
綜合以上三式解得月球赤道處的重力加速度
故選A。
7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。現(xiàn)從球體中挖去半徑為的小球體，如圖所示，萬有引力常量為G，則剩余部分對m的萬有引力為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】挖去小球前球與質(zhì)點(diǎn)的萬有引力
挖去的球體的質(zhì)量
被挖部分對質(zhì)點(diǎn)的引力為
則剩余部分對質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力
故選A。
二、多選題(本題共3小題。每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的。全部選對的得全分,選對但不全的得一半分,有選錯(cuò)的得0分)
8．（2023·北京海淀·模擬預(yù)測）某科研小組在某深為d的礦井處測得一單擺的周期為T，先將這同一單擺移到地面測得其周期為T0；再將這一單擺移到某高山頂上測得其周期也是T，假定地球的密度均勻。已知質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，萬有引力常數(shù)為G。則根據(jù)題給已知條件可以求出的物理量正確的是（ ）
A．地球的半徑RB．地球的質(zhì)量M
C．地球表面的重力加速gD．高山的海拔高度h
【答案】AD
【詳解】設(shè)地球密度為,單擺的擺長為，山頂?shù)降厍虮砻娴母叨葹?，在某深為d的礦井處，
此處單擺的周期為
在地球表面處
此處單擺的周期為
在山頂處
此處的周期為
解得
根據(jù)礦井處和山頂處單擺周期相等
即
在已知地球半徑的情況下可求出山頂?shù)降孛娴母叨?，由于不知道地球的密度，所以無法求出地球的質(zhì)量，也無法求得地球表面的重力加速度。
故選AD。
9．（2020·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）地球表面重力加速度的測量在軍事及資源探測中具有重要的戰(zhàn)略意義，已知地球質(zhì)量，地球半徑R，引力常量G，以下說法正確的是（ ）
A．若地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球赤道處重力加速度的大小為
B．若地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球兩極處重力加速度的大小為
C．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點(diǎn)正下方h處的B點(diǎn)為球心，為半徑挖一個(gè)球形的防空洞，則A處重力加速度變化量的大小為
D．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點(diǎn)正下方h處的B點(diǎn)為球心、為半徑挖一個(gè)球形的防空洞，則A處重力加速度變化量的大小為
【答案】ABC
【詳解】AB．在赤道處
得出
在兩極處
得出
選項(xiàng)AB正確；
CD．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點(diǎn)正下方h處的B點(diǎn)為球心為半徑挖一個(gè)球形的防空洞，該球形防空洞挖掉的質(zhì)量
A處重力加速度變化是由該球形防空洞引起的,
選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。
故選ABC。
10．（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）2021 年 5 月 15 日，天問一號火星探測器所攜帶的祝融號火星車及其著陸組合體成功著陸于火星，這標(biāo)志著我國首次火星探測任務(wù)火星車著陸火星取得圓滿成功。假設(shè)火星為質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的 a 倍，火星半徑是地球半徑的 b倍，地球表面的重力加速度為 g，質(zhì)量均勻的球殼對其內(nèi)部物體的引力為零， 則（ ）
A．火星表面重力加速度為
B．火星表面重力加速度為
C．火星表面正下方距表面距離為火星半徑處的重力加速度為
D．火星表面正下方距表面距離為火星半徑處的重力加速度為
【答案】AC
【詳解】AB．在地球表面有
在火星表面有
聯(lián)立解得火星表面重力加速度為
則A正確；B錯(cuò)誤；
CD．設(shè)火星的密度為，火星的半徑為 ，由于質(zhì)量均勻的球殼對其內(nèi)部物體的引力為零，則在火星表面正下方距表面距離為火星半徑處的重力加速度相當(dāng)火星內(nèi)部那部分產(chǎn)生的引力產(chǎn)生的，則火星內(nèi)部那部分質(zhì)量為
火星表面正下方距表面距離為火星半徑處的重力加速度為，則有
聯(lián)立解得
所以C正確；D錯(cuò)誤；
故選AC。
三、計(jì)算題（本題共2小題。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、方程式和重要演算步驟。只寫出最后答案的不能得分。有數(shù)值計(jì)算的題，答案中必須明確寫出數(shù)值和單位）
11．（2023·貴州銅仁·二模）我國航天技術(shù)水平在世界處于領(lǐng)先地位，對于人造衛(wèi)星的發(fā)射，有人提出了利用“地球隧道”發(fā)射人造衛(wèi)星的構(gòu)想：沿地球的一條弦挖一通道，在通道的兩個(gè)出口處分別將等質(zhì)量的待發(fā)射衛(wèi)星部件同時(shí)釋放，部件將在通道中間位置“碰撞組裝”成衛(wèi)星并靜止下來；另在通道的出口處由靜止釋放一個(gè)大質(zhì)量物體，大質(zhì)量物體會(huì)在通道與待發(fā)射的衛(wèi)星碰撞，只要物體質(zhì)量相比衛(wèi)星質(zhì)量足夠大，衛(wèi)星獲得足夠速度就會(huì)從對向通道口射出。（以下計(jì)算中，已知地球的質(zhì)量為，地球半徑為，引力常量為G，可忽略通道AB的內(nèi)徑大小和地球自轉(zhuǎn)影響。）
（1）如圖甲所示，將一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)置于質(zhì)量分布均勻的球形天體內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)離球心O的距離為r。已知天體內(nèi)部半徑在之間的“球殼”部分（如甲示陰影部分）對質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零，求質(zhì)點(diǎn)所受萬有引力的大小。
（2）如圖乙所示，設(shè)想在地球上距地心h處沿弦長方向挖了一條光滑通道AB，一個(gè)質(zhì)量為m。的質(zhì)點(diǎn)在離通道中心的距離為x處，求質(zhì)點(diǎn)所受萬有引力沿弦AB方向的分力；將該質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)靜止釋放，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)通道中心處時(shí)的速度大小。
（3）如圖丙所示，如果質(zhì)量為m的待發(fā)射衛(wèi)星已靜止在通道中心處，由A處靜止釋放另一質(zhì)量為M的物體，物體到達(dá)處與衛(wèi)星發(fā)生彈性正碰，設(shè)M遠(yuǎn)大于m，計(jì)算時(shí)可取。衛(wèi)星從圖丙示通道右側(cè)B處飛出，為使飛出速度達(dá)到地球第一宇宙速度，h應(yīng)為多大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處于離球心O的距離為r時(shí)，內(nèi)含球體質(zhì)量
質(zhì)點(diǎn)所受引力
整理有
（2）引力沿AB方向的分力為
由上述分析可知，該力與x成正比，由動(dòng)能定理有
而
解得
（3）上式可知，質(zhì)量為M的物體到達(dá)處時(shí)，速度大小為，剛碰撞后，質(zhì)量為M的物體速度為V，質(zhì)量為m的物體速度為v，若規(guī)定速度由A向B為正，則
解得
返回過程中由動(dòng)能定理
得
要使衛(wèi)星飛出通道達(dá)到第一宇宙速度，須有
解得

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