專題09 豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型---備戰(zhàn)2024年高考物理模型與方法（新課標(biāo)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10365" 一．一般圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析 PAGEREF _Tc10365 \h 1
\l "_Tc20665" 二．豎直面內(nèi)“繩、桿（單、雙軌道）”模型對(duì)比分析 PAGEREF _Tc20665 \h 1
\l "_Tc24944" 三．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)常見(jiàn)問(wèn)題與二級(jí)結(jié)論 PAGEREF _Tc24944 \h 2
\l "_Tc12472" 三.過(guò)拱凹形橋模型 PAGEREF _Tc12472 \h 29
一．一般圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析
如圖所示，做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，所受合外力與速度成一般夾角時(shí)，可將合外力沿速度和垂直速度分解，則由牛頓第二定律，有：
v
F
Fτ
Fn
，aτ改變速度v的大小
，an改變速度v的方向，
作一般曲線運(yùn)動(dòng)的物體，處理軌跡線上某一點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)時(shí)，可先以該點(diǎn)附近的一小段曲線為圓周的一部分作曲率圓，然后即可按一般圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)處理。
v
F
Fτ
Fn
，aτ改變速度v的大小
，an改變速度v的方向，，ρ為曲率圓半徑。
二．豎直面內(nèi)“繩、桿（單、雙軌道）”模型對(duì)比分析
三．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)常見(jiàn)問(wèn)題與二級(jí)結(jié)論
【問(wèn)題1】一個(gè)小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，軌道的最高點(diǎn)記為A和最低點(diǎn)記為C，與原點(diǎn)等高的位置記為B。圓周的半徑為
要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在最高點(diǎn)A 的向心力恰好等于重力時(shí)，由可得①
對(duì)應(yīng)C點(diǎn)的速度有機(jī)械能守恒
得②
當(dāng)小球在C點(diǎn)時(shí)給小球一個(gè)水平向左的速度若小球恰能到達(dá)與O點(diǎn)等高的D位置則由機(jī)械能守恒
得③
小結(jié)：(1).當(dāng)時(shí)小球能通過(guò)最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)受軌道向內(nèi)的支持力
由牛頓第二定律④
(2).當(dāng)時(shí)小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)受軌道的支持力為0
由牛頓第二定律。⑤
(3).當(dāng)時(shí)小球不能通過(guò)最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運(yùn)動(dòng)離開(kāi)圓周，且v越大離開(kāi)的位置越高，離開(kāi)時(shí)軌道的支持力為0
在DA段射重力與半徑方向的夾角為則、
(4).當(dāng)時(shí)小球不能通過(guò)最高點(diǎn)A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上升的最高點(diǎn)為C永不脫離軌道
【問(wèn)題2】常見(jiàn)幾種情況下物體受軌道的作用力
(1)從最高點(diǎn)A點(diǎn)靜止釋放的小球到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒
在C點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：得⑥
(2)從與O等高的D點(diǎn)（四分之一圓?。┨?kù)o止釋放到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒
在C點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：得⑦
(3)從A點(diǎn)以初速度釋放小球到達(dá)最低點(diǎn)
由機(jī)械能守恒
在C點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：得⑧
【模型演練1】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，兩個(gè)圓弧軌道豎直固定在水平地面上，半徑均為R，a軌道由金屬凹槽制成，b軌道由金屬圓管制成（圓管內(nèi)徑遠(yuǎn)小于R），均可視為光滑軌道。在兩軌道右端的正上方分別將金屬小球A和B（直徑略小于圓管內(nèi)徑）由靜止釋放，小球距離地面的高度分別用和表示，兩小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是（）
A．若，兩小球都能沿軌道運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)
B．若，兩小球沿軌道上升的最大高度均為R
C．適當(dāng)調(diào)整和，均可使兩小球從軌道最高點(diǎn)飛出后，恰好落在軌道右端口處
D．若使小球沿軌道運(yùn)動(dòng)并且從最高點(diǎn)飛出，的最小值為，B小球在的任何高度釋放均可
【答案】BD
【詳解】AD．B軌道是雙軌模型，到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度為零。即若時(shí)，B球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)；若A小球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，則有
解得
可知，若小球A能夠到達(dá)最高點(diǎn)，需要
選項(xiàng)A錯(cuò)誤，D正確；
B．若，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，兩小球沿軌道上升的最大高度均為R，不超過(guò)過(guò)圓心的水平線，選項(xiàng)B正確；
C．B小球從軌道最高點(diǎn)飛出后，恰好落在軌道右端口，則有
對(duì)B球有
解得
對(duì)A球，從最高點(diǎn)射出時(shí)最小速度為此時(shí)根據(jù)
解得
則無(wú)論如何調(diào)節(jié)hA都不可能使A小球從軌道最高點(diǎn)飛出后，恰好落在軌道右端口處，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
故選BD。
【模型演練2】．（2023·河北滄州·滄縣中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一不可伸長(zhǎng)的輕繩上端懸掛于點(diǎn)，另一端系有質(zhì)量為的小球，保持繩繃直將小球拉到繩與豎直方向夾角為的點(diǎn)由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的正下方時(shí)繩斷開(kāi)，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)離地高度為，繩長(zhǎng)為，重力加速度大小為，不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法正確的是（）
A．在繩斷開(kāi)前，小球受重力、繩的拉力和向心力作用
B．在繩斷開(kāi)前瞬間，小球處于失重狀態(tài)
C．在繩斷開(kāi)前瞬間，小球所受繩子的拉力大小為
D．若夾角不變，當(dāng)時(shí)，落點(diǎn)距起點(diǎn)的水平距離最遠(yuǎn)
【答案】CD
【詳解】A．在繩斷開(kāi)前，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球只受重力和繩的拉力作用，故A錯(cuò)誤；
B．在繩斷開(kāi)前瞬間，小球加速度方向豎直向上，處于超重狀態(tài)，故B錯(cuò)誤；
C．在繩斷開(kāi)前瞬間，設(shè)小球受繩子拉力為，根據(jù)牛頓第二定律可得
質(zhì)量為的小球由靜止開(kāi)始，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)正下方過(guò)程中機(jī)械能守恒，則有
聯(lián)立解得
故C正確；
D．繩斷開(kāi)后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有
在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有
聯(lián)立解得
根據(jù)基本不等式可知，當(dāng)
即時(shí)，落點(diǎn)距起點(diǎn)的水平距離最遠(yuǎn)，故D正確。
故選CD。
【模型演練3】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，被鎖定在墻邊的壓縮彈簧右端與質(zhì)量為0.2kg、靜止于A點(diǎn)的滑塊P接觸但不粘連，滑塊P所在光滑水平軌道與半徑為0.8m的光滑半圓軌道平滑連接于B點(diǎn)，壓縮的彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為2.8J，重力加速度取10m/s2，現(xiàn)將彈簧解除鎖定，滑塊P被彈簧彈出，脫離彈簧后沖上半圓軌道的過(guò)程中（）
A．可以到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)D
B．經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道的壓力大小為9N
C．不能到達(dá)最高點(diǎn)D，滑塊P能到達(dá)的最大高度為1.35m
D．可以通過(guò)C點(diǎn)且在CD之間某位置脫離軌道，脫離時(shí)的速度大小為2.2m/s
【答案】BC
【詳解】A．設(shè)滑塊P恰能通過(guò)最高點(diǎn)D，則有
解得
則滑塊P從B點(diǎn)到D點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有
解得滑塊在B點(diǎn)的動(dòng)能為
所以滑塊不能到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)D，故A錯(cuò)誤；
B．滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為vB，根據(jù)功能關(guān)系可得
在B點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律可得
聯(lián)立解得
根據(jù)牛頓第三定律可知對(duì)半圓軌道的壓力大小為9N，故B正確；
CD．滑塊在C點(diǎn)的重力勢(shì)能為
則滑塊可以通過(guò)C點(diǎn)且在CD之間某位置脫離軌道，此時(shí)的速度大小為v
根據(jù)功能關(guān)系可得
根據(jù)牛頓第二定律可得
聯(lián)立解得
，
滑塊離開(kāi)軌道后做斜上拋運(yùn)動(dòng)
根據(jù)功能關(guān)系可得
解得滑塊P能到達(dá)的最大高度為
故C正確，D錯(cuò)誤。
故選BC。
【模型演練4】．（2023·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖甲所示，若有人在某星球上用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（不計(jì)一切阻力），小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度大小為v，繩對(duì)小球的拉力為T，其圖像如圖乙所示，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．輕質(zhì)繩長(zhǎng)為
B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?br>C．當(dāng)時(shí)，輕質(zhì)繩的拉力大小為
D．只要，小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力差均為6a
【答案】BD
【詳解】A．在最高點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球的拉力和重力的合力提供向心力，則有
得
由圖像知，時(shí)，。圖像的斜率
則有
解得繩長(zhǎng)
A錯(cuò)誤；
B．當(dāng)時(shí)，，代入
得
得
B正確；
C．當(dāng)時(shí)，代入
解得
C錯(cuò)誤；
D．由圖知只要，在最高點(diǎn)繩子的拉力大于0，根據(jù)牛頓第二定律知，在最高點(diǎn)有
在最低點(diǎn)有
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
聯(lián)立解得
即小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力差均為，D正確。
故選BD。
【模型演練5】．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球（可看成質(zhì)點(diǎn)），現(xiàn)使小球在最低點(diǎn)獲得的水平初速度，取重力加速度為g，在此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）
A．輕繩第一次剛好松弛時(shí)，輕繩與豎直向上方向夾角的余弦值為
B．輕繩第一次剛好松弛時(shí)，輕繩與豎直向上方向夾角的余弦值為
C．小球第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與O點(diǎn)的高度差為
D．小球第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與O點(diǎn)的高度差為
【答案】BC
【詳解】AB．小球以初速度繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)輕繩第一次剛好松弛時(shí)，繩的拉力為零，設(shè)此時(shí)的速度大小為，輕繩與豎直向上方向夾角為，如圖所示
由徑向合力提供向心力，有
由動(dòng)能定理有
聯(lián)立解得
，
故A錯(cuò)誤，B正確；
CD．繩子松弛后，小球只受重力，以速度做斜上拋運(yùn)動(dòng)，豎直向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度減為零，有
而
則小球第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與O點(diǎn)的高度差為
故C正確，D錯(cuò)誤。
故選BC。
【模型演練6】．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，管道半徑為R，小球直徑略小于管徑（管徑遠(yuǎn)小于R），則下列說(shuō)法正確的是（重力加速度為g）（）
A．小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度
B．小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度vmin＝0
C．小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無(wú)作用力
D．小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力
【答案】BC
【詳解】AB．小球沿管道上升到最高點(diǎn)時(shí)的速度可以為0，故A錯(cuò)誤，B正確；
C．小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由外側(cè)管壁對(duì)小球的作用力FN與小球重力在背離圓心方向的分力F的合力提供向心力，即
因此，外側(cè)管壁一定對(duì)球有作用力，而內(nèi)側(cè)管壁無(wú)作用力，故C正確；
D．小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)只有重力提供向心力時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球無(wú)作用力，故D錯(cuò)誤。
故選BC。
【模型演練7】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，一輕繩系一小球豎直懸掛在O點(diǎn)，現(xiàn)保持繩處于拉直狀態(tài)，將小球拉至與O等高的A點(diǎn)，由靜止自由釋放小球。球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，繩與豎直方向的夾角為，以下判斷正確的是（）
A．小球下擺到最低點(diǎn)的過(guò)程中，重力平均功率為0
B．小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，其加速度大小為
C．小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，輕繩對(duì)小球的拉力大小
D．若小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)重力功率最大，則
【答案】CD
【詳解】A．下落的過(guò)程中，重力做功不等于0，根據(jù)
可知重力的平均功率不為0，A錯(cuò)誤；
B．小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)小球分析可知，其切向有
解得切向加速度大小為
小球做圓周運(yùn)動(dòng)，沿半徑方向還具有向心加速度，因此小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，其加速度大小必定大于，B錯(cuò)誤；
C．設(shè)繩長(zhǎng)為l，根據(jù)機(jī)械能守恒
，
解得
C正確；
D．重力功率最大時(shí)，小球在豎直方向的分速度應(yīng)該達(dá)到最大值，可知此時(shí)豎直方向合力為0，因此
解得
D正確。
故選CD。
【模型演練8】．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，輕繩的上端系于天花板上的O點(diǎn)，下端系有一只小球。將小球拉離平衡位置一個(gè)角度后無(wú)初速釋放。當(dāng)繩擺到豎直位置時(shí)，與釘在O點(diǎn)正下方P的釘子相碰。在繩與釘子相碰瞬間，以下判斷正確的是（）
A．小球的線速度突然增大B．小球的角速度突然增大
C．小球的向心加速度突然減小D．小球所受拉力突然增大
【答案】BD
【詳解】A．繩碰釘瞬間，球受的重力和拉力都在豎直方向，與速度方向垂直，因此不改變速度大小，即線速度不變，故A錯(cuò)誤；
B．該瞬間球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑突然變小，根據(jù)可知，v不變，r變小，則突然增大，故B正確；
C．根據(jù)可知，v不變，r變小，則a突然增大，故C錯(cuò)誤；
D．此時(shí)根據(jù)牛頓第二定律有
可知r變小，則F突然增大，故D正確。
故選BD。
【模型演練9】．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）有一種被稱為“魔力陀螺”的玩具如圖甲所示，陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對(duì)它施加了魔法一樣，它可等效為一質(zhì)點(diǎn)在圓軌道外側(cè)運(yùn)動(dòng)模型，如圖乙所示。在豎直平面內(nèi)固定的強(qiáng)磁性圓軌道半徑為，A、兩點(diǎn)分別為軌道的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)沿軌道外側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，受圓軌道的強(qiáng)磁性引力始終指向圓心且大小恒為，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以速率通過(guò)A點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力為其重力的7倍，不計(jì)摩擦和空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為，重力加速度為，則（）

A．強(qiáng)磁性引力的大小
B．質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)對(duì)軌道的壓力小于在點(diǎn)對(duì)軌道的壓力
C．只要質(zhì)點(diǎn)能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)A、兩點(diǎn)的壓力差恒為
D．若強(qiáng)磁性引力大小為,為確保質(zhì)點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)的最大速率為
【答案】ACD
【詳解】A．在A點(diǎn)，對(duì)質(zhì)點(diǎn)，由牛頓第二定律有
根據(jù)牛頓第三定律有
解得
故A正確；
BCD．質(zhì)點(diǎn)能完成圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律有
根據(jù)牛頓第三定律有
在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有
根據(jù)牛頓第三定律有
從A點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理
解得
若磁性引力大小恒為F，在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律
當(dāng)FB=0，質(zhì)點(diǎn)速度最大
vB=vBm
解得
選項(xiàng)B錯(cuò)誤，CD正確。
故選ACD。
【模型演練10】．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）一半徑為r的小球緊貼豎直放置的圓形管道內(nèi)壁做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)管壁對(duì)小球的作用力大小為，小球的速度大小為v，其圖像如圖乙所示。已知重力加速度為g，規(guī)定豎直向下為正方向，不計(jì)一切阻力。則下列說(shuō)法正確的是（）

A．小球的質(zhì)量為
B．圓形管道內(nèi)側(cè)壁半徑為
C．當(dāng)時(shí)，小球受到外側(cè)壁豎直向上的作用力，大小為
D．小球在最低點(diǎn)的最小速度為
【答案】AB
【詳解】A．規(guī)定豎直向下為正方向，設(shè)圓形管道內(nèi)側(cè)壁半徑為R，小球受到圓形管道的作用力大小為，在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律，當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)，由重力提供向心力有
解得
當(dāng)時(shí)，由牛頓第二定律有
解得
當(dāng)時(shí)，由牛頓第二定律有
解得
故
故小球的質(zhì)量為或，故A正確；
B．當(dāng)時(shí)
解得圓形管內(nèi)側(cè)壁半徑
故B正確；
C．當(dāng)時(shí)，小球受到外側(cè)壁豎直向下的作用力，由牛頓第二定律有
解得
故C錯(cuò)誤；
D．根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)小球在最高點(diǎn)具有最小速度（為零）時(shí)，其在最低點(diǎn)的速度最小，即
故D錯(cuò)誤。
故選AB。
【模型演練11】（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在豎直平面內(nèi)固定一光滑的半圓形軌道，半徑為，小球以一定的初速度從最低點(diǎn)A沖上軌道，圖2是小球在半圓形軌道上從A運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，其速度平方與其對(duì)應(yīng)高度的關(guān)系圖像。已知小球在最高點(diǎn)受到軌道的作用力為，空氣阻力不計(jì)，點(diǎn)為軌道中點(diǎn)，重力加速度取，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．最高點(diǎn)時(shí)小球所受的合外力豎直向下
B．圖2中
C．小球在B點(diǎn)受到軌道作用力為
D．小球質(zhì)量為
【答案】C
【詳解】A．在最高點(diǎn)，小球所受合外力提供向心力，故方向豎直向下，A正確，不符合題意；
D．由圖2可得在最高點(diǎn)，小球的速度，由牛頓第二定律
可解得小球的質(zhì)量
故D正確，不符合題意；
B．小球從A運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律
解得
故B正確，不符合題意；
C．小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律
解得
小球在B點(diǎn)受到軌道作用力為
故C錯(cuò)誤，符合題意。
故選C。
【模型演練12】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（不計(jì)一切阻力），小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)小球的拉力為，小球在最高點(diǎn)的速度大小為，其圖像如圖乙所示，則（）
A．輕質(zhì)繩長(zhǎng)為
B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?br>C．當(dāng)時(shí)，輕質(zhì)繩的拉力大小為
D．只要，小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力差均為
【答案】D
【詳解】A．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)小球受力分析，由牛頓第二定律有
可得
可知圖線斜率為
可得輕質(zhì)繩長(zhǎng)為
故A錯(cuò)誤；
B．由圖像可知縱軸上截距的絕對(duì)值為
則有
故B錯(cuò)誤；
C．由圖像可知
故當(dāng)時(shí)，有
故C錯(cuò)誤；
D．從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒有
在最低點(diǎn)對(duì)小球受力分析，由牛頓第二定律有
聯(lián)立可得小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力差為
故D正確。
故選D。
【模型演練13】．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩拉著質(zhì)量為m的小球保持靜止?，F(xiàn)在給小球一個(gè)水平初速度，使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則下列判斷正確的是（）
A．小球在最高點(diǎn)的速度可以等于0
B．小球獲得的初速度大小為
C．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中僅有一處合力指向圓心
D．小球過(guò)最低點(diǎn)與最高點(diǎn)時(shí)受到繩的拉力大小之差等于6mg
【答案】D
【詳解】A．小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，若小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，則有重力提供向心力，可得
解得
可知小球能通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度是，因此小球在最高點(diǎn)的速度不可以等于0，A錯(cuò)誤；
B．若小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，設(shè)小球獲得的初速度大小為v＇，則在最低點(diǎn)時(shí)由動(dòng)能定理，則有
解得
由以上計(jì)算可知，是小球獲得的初速度大小的最小值，有可能比這個(gè)速度要大，B錯(cuò)誤；
C．小球在豎直面內(nèi)做完整的變速圓周運(yùn)動(dòng)，由以上分析可知，小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)處合力指向圓心，C錯(cuò)誤；
D．設(shè)小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度為v0，在最低點(diǎn)時(shí)的速度為，由動(dòng)能定理可得
小球在最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得
小球在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得
聯(lián)立以上各式解得
D正確。
故選D。
【模型演練14】（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，半徑為R的光滑細(xì)圓管用輕桿固定在豎直平面內(nèi)。某時(shí)刻，質(zhì)量為1kg、直徑略小于細(xì)圓管內(nèi)徑的小球A（可視為質(zhì)點(diǎn)）從細(xì)管最高點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)小球A和細(xì)圓管軌道圓心連線與豎直方向夾角為37°時(shí)，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮椋? ）（）
A．38NB．40NC．42ND．44N
【答案】D
【詳解】以小球?yàn)閷?duì)象，根據(jù)動(dòng)能定理可得
解得
根據(jù)牛頓第二定律可得
解得
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮椤?br>故選D。
【模型演練15】．（2023秋·黑龍江牡丹江·高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，質(zhì)量為M的物體內(nèi)有光滑圓形軌道，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小滑塊沿該圓形軌道的豎直面做圓周運(yùn)動(dòng)，A、C為圓周的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，B、D與圓心O在同一水平線上。小滑塊運(yùn)動(dòng)時(shí)物體M保持靜止，關(guān)于物體M對(duì)地面的壓力N和地面對(duì)物體的摩擦力，下列說(shuō)法正確的是（）
A．滑塊運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，，M與地面無(wú)摩擦力
B．滑塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，，物體所受摩擦力方向向右
C．滑塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，，M與地面無(wú)摩擦力
D．滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，，物體所受摩擦力方向向左
【答案】B
【詳解】A．當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)，整個(gè)裝置處于失重狀態(tài)，所以地面對(duì)整體的
且與地面之間無(wú)摩擦力，A錯(cuò)誤；
B．滑塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，物塊與M之間的作用力在水平方向上，所以N=Mg，且M對(duì)物體的作用力提供了向心力，M對(duì)物體作用力向右，所以物體對(duì)M作用力向左，而M靜止，地面對(duì)M的摩擦力向右，B正確；
C．物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，M對(duì)物塊的作用力豎直向上，與物塊重力的合力一起提供了向心力，處于超重狀態(tài)，所以
N>( M+m) g
水平方向沒(méi)有作用力，可以判斷M與地面無(wú)摩擦力，C錯(cuò)誤；
D．運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，物塊與M之間的作用力在水平方向上，所以N=Mg，且M對(duì)物體的作用力提供了向心力，M對(duì)物體作用力向左，所以物體對(duì)M作用力向右，而M靜止，地面對(duì)M的摩擦力向左，D錯(cuò)誤。
故選B。
【模型演練16】（2023·四川成都·統(tǒng)考三模）某同學(xué)用圖（a）所示裝置探究豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)。固定在同一豎直面的軌道由三部分構(gòu)成，直軌道與圓軌道在端相切，最低點(diǎn)處有壓力傳感器，圓軌道的端與等高且兩端的切線均豎直，，兩圓軌道的半徑相同、圓心等高。將一小球從軌道上不同位置靜止釋放，測(cè)出各次壓力傳感器的示數(shù)，得到與釋放點(diǎn)到點(diǎn)的高度的關(guān)系圖像如圖（b）。小球可視為質(zhì)點(diǎn)且恰好能自由通過(guò)D、E端口，不計(jì)摩擦力和空氣阻力，重力加速度。
（1）求小球的質(zhì)量和兩圓軌道的半徑；
（2）要讓小球沿圓軌道通過(guò)點(diǎn)，求釋放點(diǎn)的高度滿足的條件。

【答案】（1），；（2）
【詳解】（1）從釋放到C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有
在C點(diǎn)，由牛頓第三定律知，支持力大小等于壓力大小，由牛頓第二定律有
兩式聯(lián)立得
結(jié)合題圖（b）的圖像可知
解得
（2）從釋放到G點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有
恰好到達(dá)點(diǎn)的條件是球?qū)壍赖膲毫η榱?，由牛頓第二定律有
代入數(shù)據(jù)解得
故滿足的條件是：。
【模型演練17】（2023·河北·校聯(lián)考三模）如圖所示，半徑為R的光滑圓軌道固定在豎直平面內(nèi)，一小球（可看成質(zhì)點(diǎn)）靜止在軌道的最低點(diǎn)，現(xiàn)使小球在最低點(diǎn)獲得的水平初速度，重力加速度為g，在此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求：
（1）小球剛要脫離圓軌道時(shí)，小球與軌道圓心的連線與豎直向上方向夾角的余弦值；
（2）小球第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與軌道圓心的高度差。

【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）小球剛要脫離圓軌道時(shí)，小球與軌道圓心的連線與豎直方向夾角為，此時(shí)小球的速度大小為，此時(shí)對(duì)小球
對(duì)小球由動(dòng)能定理可得
解得
（2）小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度大小為
對(duì)小球由動(dòng)能定理可得
解得
小球第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與軌道圓心的高度差為
【模型演練18】．（2023·上海·高三專題練習(xí)）如圖所示，AB段是長(zhǎng)s=2.5m 的粗糙水平軌道，BC段是半徑R=0.5m的光滑半圓弧軌道，半圓弧軌道在B處與AB相切，且處于豎直面內(nèi)。質(zhì)量m=0.1kg的小滑塊，受水平恒力F的作用由A點(diǎn)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤去力F。已知小滑塊與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25，設(shè)小滑塊在AB上所受最大靜摩力的大小即為滑動(dòng)摩擦力的大小，g取10m/s2。
（1）為使小滑塊能到達(dá)C點(diǎn)，小滑塊在B點(diǎn)時(shí)的速度至少為多大？
（2）為使小滑塊能做沿圓弧軌道返回的運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)的取值范圍是什么？
（3）第（2）問(wèn)的條件下，小滑塊是否有可能返回到A點(diǎn)？試分析說(shuō)明理由。
【答案】（1）5m/s；（2）0.25N < F ≤ 0.45N；（3）見(jiàn)解析
【詳解】（1）在C點(diǎn)時(shí)由

推得
（2）要使小滑塊在AB軌道上能動(dòng)起來(lái)，必需滿足，即
為使小滑塊能做沿圓弧軌道返回的運(yùn)動(dòng)，小滑塊最高只能到達(dá)與 O 點(diǎn)同高的位置：
對(duì)于小滑塊在AB軌道上的勻加速運(yùn)動(dòng)，有
由
推得
所以
0.25 N < F ≤ 0.45 N
（3）當(dāng) F = 0.45 N 時(shí)
小滑塊從 B 點(diǎn)返回 A 點(diǎn)，克服摩擦力做的功
J
因?yàn)?，所以小滑塊不可能返回 A 點(diǎn)。
當(dāng) F 取其它值時(shí)，小滑塊在 B 點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能更少，更不可能返回到 A 點(diǎn)?？傊?，第（2）問(wèn)的條件下，小滑塊不可能回到 A 點(diǎn)。
【模型演練19】．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的向心力F需由物體運(yùn)動(dòng)情況決定，合力提供的向心力F供由物體受力情況決定。若某時(shí)刻F需＝F供，則物體能做圓周運(yùn)動(dòng)；若F需>F供，物體將做離心運(yùn)動(dòng)；若F需v0，故繩受拉力。根據(jù)牛頓第二定律有
代入數(shù)據(jù)得繩所受拉力
T＝3 N
（3）因?yàn)関2

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