知識點01 平行線的定義
平行線的定義：
在同一平面內， 永不相交 的兩條直線叫做平行線。
若直線平行于直線，則記作 ，讀作 平行于 。
注意：一定要在同一平面內；且一定要是直線且永不相交。 在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系有兩種，相交與平行。
【即學即練1】
1．在同一平面內，兩條直線的位置關系可能是（ ）
A．相交或垂直B．垂直或平行
C．平行或相交D．相交或垂直或平行
【分析】根據(jù)兩條直線有一個交點的直線是相交線，沒有交點的直線是平行線，可得答案．
【解答】解：在同一平面內，兩條直線有一個交點，兩條直線相交；在同一平面內，兩條直線沒有交點，兩條直線平行，故C正確；
故選：C．
知識點02 平行線的畫法
過已知點作已知直線的平行線的畫法的具體步驟：
一落：把三角板的一邊落在已知直線上。
二靠：緊靠三角板的另一邊放一直尺。
三移：沿直尺移動三角板，使原來落在已知直線上的邊經過已知點。
四畫：沿原來落在已知直線上的邊畫直線。即為已知直線的平行線。
【即學即練1】
2．如圖所示，在∠AOB內有一點P．
（1）過P畫l1∥OA；
（2）過P畫l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣關系？
【分析】用兩個三角板，根據(jù)同位角相等，兩直線平行來畫平行線，然后用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的關系為：相等或互補．
【解答】解：（1）（2）如圖所示，
（3）l1與l2夾角有兩個：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夾角與∠O相等或互補．
知識點03 平行公理及其推論
平行公理：
經過直線外一點， 有且只有1 條直線與這條直線平行。
強調：①這一點必須在直線外，不能再直線上。②有且只有即為存在且唯一。
平行公理的推論：
如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。即若，則 ∥ 。
拓展：如果兩條直線都與第三條直線垂直，這這兩條直線相互平行。即垂直于同一直線的兩直線平行。
【即學即練1】
3．下列說法正確的是（ ）
A．在同一平面內，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a∥c
B．在同一平面內，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c
C．在同一平面內，a，b，c是直線，且a∥b，b⊥c，則a∥c
D．在同一平面內，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a⊥c
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，從而可做出判斷．
【解答】解：先根據(jù)要求畫出圖形，圖形如圖所示：
根據(jù)所畫圖形可知：A正確．
故選：A．
題型01 兩直線的位置關系
【典例1】在同一平面內，不重合的兩條直線只有相交和 平行 兩種位置關系．
【分析】根據(jù)兩直線的位置關系解答即可．
【解答】解：在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系是平行和相交，
故答案為：平行．
【變式1】在同一平面內，兩條直線的位置關系可能是（ ）
A．相交或平行B．相交或垂直
C．平行或垂直D．不能確定
【分析】利用同一個平面內，兩條直線的位置關系解答．
【解答】解：在同一個平面內，兩條直線只有兩種位置關系，即平行或相交．
故選：A．
【變式2】如圖，將一張長方形紙對折兩次，產生的折痕與折痕之間的位置關系是（ ）
A．平行B．垂直
C．平行或垂直D．無法確定
【分析】根據(jù)平行公理解答即可．
【解答】解：觀察圖形可知，將一張長方形紙對折兩次，產生的折痕與折痕之間的位置關系是平行．
故選：A．
題型02 判斷正方體長方體中平行的棱
【典例1】如圖，在正方體ABCD﹣EFGH中，下列各棱與棱AB平行的是（ ）
A．BCB．CGC．EHD．HG
【分析】在同一平面內，不相交的兩直線平行，根據(jù)平行線的定義，結合圖形直接判斷即可．
【解答】解：結合圖形可知，與棱AB平行的棱有CD，EF，GH．
故選：D．
【變式1】如圖，在正方體中，與線段AB平行的線段有 條．
【分析】與線段AB平行的線段的種類為：①直接與AB平行，②與平行于AB的線段平行．
【解答】解：與AB平行的線段是：DC、EF；
與CD平行的線段是：HG，
所以與AB線段平行的線段有：EF、HG、DC．
故答案為：EF、HG、DC．
【變式2】在如圖的長方體中，既與平面A1B1C1D1平行，又與平面AA1D1D平行的棱是 BC ．
【分析】根據(jù)平行線的定義以及長方體的特點解決此題．
【解答】解：由題意得，既與平面A1B1C1D1平行，又與平面AA1D1D平行的棱是BC．
故答案為：BC．
題型03 畫平行線
【典例1】在下面的方格紙中經過點C畫與線段AB互相平行的直線l1，再經過點B畫一條與線段AB垂直的直線l2．
【分析】點C畫與線段AB互相平行的直線l1，再經過點B畫一條與線段AB垂直的直線l2即可．
【解答】解：如圖所示，
【變式1】作圖題：（只保留作圖痕跡）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC．利用方格紙完成以下操作：
（1）過點A作BC的平行線；
（2）過點C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點D；
（3）過點B作AB的垂線．
【分析】（1）A所在的橫線就是滿足條件的直線；
（2）在直線AD上到A得等于BC的點D，則直線CD即為所求；
（3）取AE上D右邊的點F，過B，F(xiàn)的直線即為所求．
【解答】解：如圖，
（1）A所在的橫線就是滿足條件的直線，即AE就是所求；
（2）在直線AE上，到A距離是5個格長的點就是D，則CD就是所求與AB平行的直線；
（3）取AE上D右邊的點F，過B，F(xiàn)作直線，就是所求．
題型04 平行公理理解
【典例1】下列說法正確的是（ ）
A．經過一點有一條直線與已知直線平行
B．經過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行
C．經過一點有且只有一條直線與已知直線平行
D．經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】平行線公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
【解答】解：根據(jù)平行線公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，可判斷只有D選項正確．
故選：D．
【變式1】過直線l外一點A作l的平行線，可以作（ ）條．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)平行公理作答．
【解答】解：因為平行公理：過已知直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．故選：A．
【變式2】已知，P是任意一點，過點P畫一條直線與BC平行，則這樣的直線（ ）
A．有些只有一條B．有兩條
C．不存在D．有一條或不存在
【分析】分點P在BC上和不在BC上兩種情況，根據(jù)平行公理解答即可．
【解答】解：①若點P在直線BC上，則不能畫出與BC平行的直線，
②若點P不在直線BC上，則過點P有且只有一條直線與BC平行，
所以，這樣的直線有一條或不存在．
故選：D．
題型05 平行公理的推論
【典例1】若直線a，b，c，d有下列關系，則推理正確的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥dB．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥cD．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
【分析】根據(jù)平行公理及推論，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合題意；
B、∵a∥c，b∥d，∴c與d不一定平行，故B不符合題意；
C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合題意；
D、∵a∥b，c∥d，∴a與c不一定平行，故D不符合題意；
故選：C．
【變式1】已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，則直線a和c應滿足的位置關系是（ ）
A．在同一個平面內B．不相交
C．平行或重合D．不在同一個平面內
【分析】根據(jù)平行推論：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，可得答案．
【解答】解：當a∥c時，a∥b，c∥d，得b∥d；
當a、c重合時，a∥b，c∥d，得b∥d，
故C正確；
故選：C．
【變式2】a、b、c是直線，下列說法正確的是（ ）
A．若a⊥b，b∥c，則a∥cB．若a⊥b，b⊥c，則a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，則b∥cD．若a∥b，b∥c，則a∥c
【分析】根據(jù)平行公理以及平行線的性質判斷即可．
【解答】解：A、在同一平面內，若a⊥b，b∥c，則a⊥c，原說法錯誤，不符合題意；
B、在同一平面內，若a⊥b，b⊥c，則a∥c，原說法錯誤，不符合題意；
C、在同一平面內，若a∥b，b⊥c，則a⊥c，原說法錯誤，不符合題意；
D、若a∥b，b∥c，則a∥c，正確，符合題意．
故選：D．
【變式3】同一平面內有四條直線a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，則c、d的位置關系為（ ）
A．互相垂直B．互相平行
C．相交D．沒有確定關系
【分析】作出圖形，根據(jù)平行公理的推論解答．
【解答】解：如圖，∵a∥b，a⊥c，
∴c⊥b，
又∵b⊥d，
∴c∥d．
故選：B．
1．在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系是（ ）
A．平行B．相交
C．平行或相交D．以上都不對
【分析】根據(jù)直線的位置關系解答．
【解答】解：在同一平面內，不重合的兩條直線只有兩種位置關系，是平行或相交，
所以在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系是：平行或相交．
故選：C．
2．下列說法正確的是（ ）
A．兩點之間，直線最短
B．不相交的兩條直線叫做平行線
C．平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離
【分析】分別根據(jù)線段的性質，平行線的定義，垂線、點到直線的距離的定義判斷即可．
【解答】解：A．兩點之間，線段最短，故A不符合題意．
B．在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，故B不符合題意．
C．平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故C符合題意．
D．直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，故D不符合題意．
故選：C．
3．下列說法正確的是（ ）
A．不相交的兩條直線叫做平行線
B．同一平面內，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直
C．平角是一條直線
D．過同一平面內三點中任意兩點，只能畫出3條直線
【分析】根據(jù)平行線、垂線的性質，角和直線的概念逐一判斷可求解．
【解答】解：A．應強調在同一平面內，錯誤；
B．同一平面內，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直，正確；
C．直線與角是不同的兩個概念，錯誤；
D．過同一平面內三點中任意兩點，能畫出3條直線或1條直線，故錯誤．
故選：B．
4．在同一個平面內，直線a、b相交于點P，a∥c，b與c的位置關系是（ ）
A．平行B．相交
C．重合D．平行或相交
【分析】根據(jù)過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線得出即可．
【解答】解：∵在同一個平面內，直線a、b相交于點P，a∥c，
∴b與c的位置關系是相交，
故選：B．
5．在長方體中，對任意一條棱，與它平行的棱共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【分析】根據(jù)長方體得出結論即可．
【解答】解：由題意知，在長方體中，對任意一條棱，與它平行的棱共有3條，
故選：C．
6．觀察如圖所示的長方體，與棱AB平行的棱有幾條（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根據(jù)長方體即平行線的性質解答．
【解答】解：圖中與AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3條．
故選：B．
7．如圖，同一平面內經過直線l外一點O的四條直線中，與直線l相交的直線至少有（ ）
A．1條B．2條C．3D．4條
【分析】由平行公理，即可判斷．
【解答】解：∵過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，
∴過直線l外一點O的四條直線中，最多只有一條直線與l平行，
∴與直線l相交的直線至少有3條，
故選：C．
8．下列說法正確的是（ ）
A．過直線上一點有且只有一條直線與已知直線平行
B．不相交的兩條直線叫做平行線
C．直線外一點到該直線的所有線段中垂線最短
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】根據(jù)平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線；平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；垂線段的性質可得答案．
【解答】解：A、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原題說法錯誤；
B、同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，故原題說法錯誤；
C、直線外一點與該直線上所有點的連線中垂線最短，故原題說法錯誤；
D、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原題說法正確；
故選：D．
9．下列說法不正確的是（ ）
A．過馬路的斑馬線是平行線
B．100米跑道的跑道線是平行線
C．若a∥b，b∥d，則a⊥d
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】根據(jù)平行線定義“同一平面內不相交的兩條直線互相平行”知A，B均正確，根據(jù)平行公理及推論，可得C錯誤，D正確．
【解答】解：A、B、由平行線的定義可知，斑馬線是平行線，100米跑道的跑道線是平行線，A、B正確；
C、根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可知，C錯誤；
D、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，這是平行公理，正確．
故選：C．
10．下列說法正確的是（ ）
A．a、b、c是直線，若a⊥b，b∥c，則a∥c
B．a、b、c是直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c
C．a、b、c是直線，若a∥b，b⊥c，則a∥c
D．a、b、c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c
【分析】根據(jù)平行線的性質和判定逐個判斷即可．
【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，
∴a⊥c，故本選項錯誤；
B、在同一平面內，當a⊥b，b⊥c時，a∥c，故本選項錯誤；
C、當a∥b，b⊥c時，a⊥c，故本選項錯誤；
D、當a∥b，b∥c時，a∥c，故選項正確；
故選：D．
11．平行用符號 ∥ 表示，垂直符號用 ⊥ 表示，直線AB與CD平行，可以記作為 AB∥CD ．
【分析】根據(jù)平行和垂直符號以及平行線的表示方法求解即可．
【解答】解：平行用符號∥表示，垂直符號用⊥示，直線AB與CD平行，可以記作為AB∥CD，
故答案為：∥，⊥，AB∥CD．
12．在同一平面內，直線a、b、c中，若a⊥b，b∥c，則a、c的位置關系是 c⊥a ．
【分析】根據(jù)b∥c，則得到同旁內角互補，然后利用a⊥b即可得到a與c的夾角為90度，則可判斷a⊥c．
【解答】解：∵c∥b，a⊥b，
∴c⊥a．
故答案為c⊥a
13．如圖，已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 ．
【分析】利用平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，進而得出答案．
【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
故答案為：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
14．如果a∥c，a與b相交，b∥d，那么d與c的關系為 相交 ．
【分析】根據(jù)同一平面內直線的位置關系得到第三條直線與另兩平行直線相交，根據(jù)圖形即可直接解答．
【解答】解：d和c的關系是：相交．
故答案為：相交．
15．下列四種說法：
①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
②在同一平面內，兩條不相交的線段是平行線段；
③相等的角是對頂角；
④在同一平面內，若直線AB∥CD，直線AB與EF相交，則CD與EF相交．
其中，錯誤的是 ①②③ （填序號）．
【分析】根據(jù)平行公理、對頂角定義、平行線逐個判斷即可．
【解答】解：∵過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，∴①錯誤；
∵在同一平面內，兩條不相交的線段可能在一條直線上，說兩線段是平行線段不對，∴②錯誤；
∵相等的角不一定是對頂角，∴③錯誤；
∵在同一平面內，若直線AB∥CD，直線AB與EF相交，則CD與EF相交，正確，∴④正確；
故答案為：①②③．
16．讀下列語句，并畫出圖形．
點P是直線AB外一點，直線CD經過點P，且與直線AB平行，直線EF也經過點P且與直線AB垂直．
【分析】先畫直線AB和點P，過P作AB的平行線CD，過P作直線EF⊥AB，即可得出答案．
【解答】解：如圖所示：
．
17．已知直線a∥b，b∥c，c∥d，則a與d的關系是什么，為什么？
【分析】由平行線的傳遞性容易得出結論．
【解答】解：a與d平行，理由如下：
因為a∥b，b∥c，
所以a∥c，
因為c∥d，
所以a∥d，
即平行具有傳遞性．
18．（1）補全如圖的圖形，使之成為長方體ABCD﹣EFGH的直觀圖；
（2）與棱AB平行的棱是 CD和EF和GH ．
（3）若這個長方體框架的長、寬、高分別是4分米、3分米和5分米，則需要多少分米的鐵絲才能搭成這樣的框架？（接縫處忽略不計）
【分析】（1）根據(jù)長方體的特征畫出圖形即可求解；
（2）根據(jù)長方體的特征即可求解；
（3）根據(jù)長方體棱長總和公式可求需要多少分米的鐵絲才能搭成這樣的框架．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）與棱AB平行的棱是CD和EF和GH．
故答案為：CD和EF和GH．
（3）（4+3+5）×4
＝12×4
＝48（分米）．
答：需要48分米的鐵絲才能搭成這樣的框架．
19．一副透明的直角三角尺，按如圖所示的位置擺放．如果把三角尺的每條邊看成線段，請根據(jù)圖形解答下列問題：
（1）找出圖中一對互相平行的線段，并用符號表示出來；
（2）找出圖中一對互相垂直的線段，并用符號表示出來；
（3）找出圖中的一個鈍角、一個直角和一個銳角，用符號把它們表示出來，并求出它們的度數(shù)．（不包括直角尺自身所成的角）
【分析】（1）直線DE∥BC，故直線DE上的線段都與BC平行．
（2）根據(jù)∠CDE和∠ACB都是直角，即可找出互相垂直的線段．
（3）根據(jù)角的概念進行解答．
【解答】解：此題答案不唯一，只要答案正確即可得分．
（1）如：DE∥CB，DF∥CB，F(xiàn)E∥CB．
（2）如：ED⊥AC，F(xiàn)D⊥AC，F(xiàn)D⊥AD．
（3）如：鈍角：∠GFD＝135°，∠CGB＝∠FGE＝105°．
直角有：∠ADE＝90°．
如：銳角∠GCB＝30°，∠AFD＝45°，∠CGF＝75°．
20．探索與發(fā)現(xiàn)：
（1）若直線a1⊥a2，a2∥a3，則直線a1與a3的位置關系是 a1⊥a3 ，請說明理由．
（2）若直線a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，則直線a1與a4的位置關系是 a1∥a4 （直接填結論，不需要證明）
（3）現(xiàn)在有2011條直線a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，請你探索直線a1與a2011的位置關系．
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等得出相等的角，再根據(jù)垂直的定義解答；
（2）根據(jù)（1）中結論即可判定垂直；
（3）根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，與腳碼是偶數(shù)的直線互相平行，與腳碼是奇數(shù)的直線互相垂直，根據(jù)此規(guī)律即可判斷．
【解答】解：（1）a1⊥a3．
理由如下：如圖1，∵a1⊥a2，
∴∠1＝90°，
∵a2∥a3，
∴∠2＝∠1＝90°，
∴a1⊥a3；
（2）同（1）的解法，如圖2，直線a1與a4的位置關系是：a1∥a4；
（3）直線a1與a3的位置關系是：a1⊥a2⊥a3，
直線a1與a4的位置關系是：a1∥a4∥a5，
以四次為一個循環(huán)，⊥，⊥，∥，∥以此類推，a1∥a2009，a1⊥a2010，所以直線a1與a2011的位置關系是：a1⊥a2011．
課程標準
學習目標
①平行線的定義
②平行線的畫法
③平行公理及其推論
掌握平行線的定義并能夠判斷平行線。
掌握平行線的畫法能夠畫已知直線的平行線。
掌握平行公理及其推論，并能夠熟練運用。

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初中數(shù)學人教版（2024）七年級下冊電子課本 舊教材

5.2.1 平行線

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級下冊

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