數(shù)學(xué)第五章相交線與平行線5.1 相交線5.1.2 垂線習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點01 垂直的定義
垂直的定義：
兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。若直線a與直線b垂直，表示為。
由鄰補角與對頂角的性質(zhì)可知，若相交線形成的角中有一個角是直角，則四個角均是直角。
【即學(xué)即練1】
1．（2023?封丘縣二模）如圖，直線AB、CD相交于點O，過點O作OE⊥OD，若∠AOD＝4∠AOC，則∠AOE的度數(shù)為（）
A．48°B．54°C．64°D．72°
【分析】先根據(jù)對頂角相等可得∠AOD＝4∠BOD，再根據(jù)平角定義可得∠AOD+∠BOD＝180°，從而可得∠BOD＝36°，然后根據(jù)垂直定義可得∠EOD＝90°，從而利用平角定義進(jìn)行計算，即可解答．
【解答】解：∵∠AOD＝4∠AOC，∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD＝4∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝×180°＝36°，
∵OE⊥OD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠BOD＝54°，
故選：B．
知識點02 垂線的畫法
利用三角板過已知點作直線的垂線的具體步驟：
三直角三角板的一半與已知直線重合。
沿已知直線平移直角三角形邊，使另一邊經(jīng)過已知點。
沿與已知直線不重合的邊畫直線，這條直線即為已知直線的垂線。
【即學(xué)即練1】
2．（2023春?梁平區(qū)期末）下列選項中，過點P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線做法及三角板的特征直接可得．
【解答】解：∵三角板有一個角是直角．
∴三角板的一條直角邊與直線AB重合．
∵過點P作直線AB的垂線．
∴三角板的另一條直角邊過點P．
∴符合上述條件的圖形只有選項C．
故選：C．
知識點03 垂線的性質(zhì)
性質(zhì)1：
在同一平面內(nèi)，過一點作已知直線的垂線，有且只有1 條直線與已知直線垂直。
有且只有：存在且唯一。
性質(zhì)2：
過直線外一點作已知直線的垂線，點到垂足之間的部分叫做垂線段。直線外一點連接直線上所有點的連線中，垂線段最短。
注意：若不是直線外一點，則不存在垂線段。
【即學(xué)即練1】
3．（2023春?裕華區(qū)期中）如圖，在直線l外任取一點Q，過點Q畫直線l的垂線，可畫出的垂線有（）
A．0條B．1條C．2條D．無數(shù)條
【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，即可選出答案．
【解答】解：在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
故選：B．
【即學(xué)即練2】
4．（2023春?博羅縣期末）春節(jié)過后，某村計劃挖一條水渠將不遠(yuǎn)處的河水引到農(nóng)田（記作點O），以便對農(nóng)田的小麥進(jìn)行灌溉，現(xiàn)設(shè)計了四條路段OA，OB，OC，OD，如圖所示，其中最短的一條路線是（）
A．OAB．OBC．OCD．OD
【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，可得答案．
【解答】解：由垂線段最短，得
四條路段OA，OB，OC，OD，如圖所示，其中最短的一條路線是OB，
故選：B．
知識點04 點到直線的距離
點到直線的距離：
直線外一點到這條直線的垂線段的長度是直線外一點到該直線的距離。
【即學(xué)即練1】
5．（2023春?寶坻區(qū)校級月考）P為直線m外一點，A，B，C為直線m上三點，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，則點P到直線m的距離（）
A．等于5cmB．等于4cmC．小于4cmD．不大于4cm
【分析】根據(jù)垂線段最短和點到直線的距離的定義得出即可．
【解答】解：根據(jù)垂線段最短得出點P到直線m的距離是不大于4cm，
故選D．
題型01 與垂直有關(guān)的計算
【典例1】
（2022秋?新都區(qū)期末）如圖，OC⊥AB，垂足為O，直線DE經(jīng)過點O，∠COD＝50°，則∠BOE＝（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】利用對頂角相等的性質(zhì)、垂線的定義計算．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∵∠COD＝50°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOE＝∠AOD＝40°，
故選：B．
【變式1】
（2023春?呼和浩特期末）如圖，三條直線AB，CD，EF相交于點O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度數(shù)為（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】根據(jù)對頂角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得∠GOF，進(jìn)而根據(jù)∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF計算即可．
【解答】解：∵三條直線AB，CD，EF相交于點O，∠AOE＝70°，
∴∠BOF＝∠AOE＝70°，
∵CD⊥EF，
∴∠DOF＝90°，
∵OG平分∠BOF，
∴，
∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°，
故選：B．
【變式2】
（2023春?自貢期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O．若∠EOB＝50°，求∠AOD和∠AOC的度數(shù)．
【分析】根據(jù)EO⊥CD，求得∠BOD度數(shù)，然后由對頂角相等的性質(zhì)，鄰補角定義分別求∠AOC，∠AOD的度數(shù)．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠EOB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣40°＝140°．
【變式3】
（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，OD平分∠AOF，EO⊥OD，∠EOA＝55°，求∠BOF的度數(shù)．
【分析】由EO⊥OD，求出∠AOD，再由OD平分∠AOF，求出∠AOF，最后由∠BOF+∠AOF＝180°，即可求出∠BOF．
【解答】解：∵EO⊥OD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠EOA＝55°，
∴∠AOD＝∠EOD﹣∠EOA＝90°﹣55°＝35°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠AOF＝2∠AOD＝70°，
∵∠BOF+∠AOF＝180°，
∴∠BOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣70°＝110°．
題型02 垂線段最短的應(yīng)用
【典例1】
（2023春?棲霞市期末）如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（）
A．兩點之間，線段最短
B．垂線段最短
C．兩點確定一條直線
D．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
【分析】由點到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則作出分析和判斷．
【解答】解：如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是垂線段最短．
故選：B．
【變式1】
（2023春?東明縣期中）如圖，小李計劃把河中的水引到水池C進(jìn)行蓄水，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沿線段CD挖渠，能使水渠最短，其中蘊含的數(shù)學(xué)原理是（）
A．過兩點有且僅有一條直線
B．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線
C．垂線段最短
D．兩點之間，線段最短
【分析】由垂線段最短，即可得到答案．
【解答】解：沿線段CD挖渠，能使水渠最短，其中蘊含的數(shù)學(xué)原理是垂線段最短．
故選：C．
【變式2】
（2023?青秀區(qū)校級模擬）如圖，有三個快遞員都從位于點P的快遞站取到快遞后，同時以相同的速度把取到的快遞分別送到位于筆直公路l旁的三個快遞點A、B、C、結(jié)果送到B快遞點的快遞員先到．理由是（）
A．垂線段最短
B．兩點之間線段最短
C．兩點確定一條直線
D．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線
【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．
【解答】解：由題意可知送到B快遞點的快遞員先到的理由是：垂線段最短；
故選：A．
【變式3】
（2022秋?榆樹市期末）如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路AB、AC、AD可走，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是（）
A．兩點之間，線段最短
B．兩點之間，直線最短
C．兩點確定一條直線
D．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短
【分析】根據(jù)垂線段最短即可求解．
【解答】解：將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路可走AB、AC、AD，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是垂線段最短．
故選：D．
題型03 點到直線的距離
【典例1】
（2023秋?讓胡路區(qū)校級期中）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點D，則點C到直線AB的距離是（）
A．線段AC的長度B．線段CB的長度
C．線段AD的長度D．線段CD的長度
【分析】根據(jù)點到直線的距離的概念：直線外一點到這條直線的垂線段的長度即為該點到這條直線的距離作答．
【解答】解：點C到AB的距離是線段CD的長度．
故選：D．
【變式1】
（2023春?新羅區(qū)期末）如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，那么點C到直線AD的距離是指（）
A．線段AC的長B．線段AD的長
C．線段DB的長D．線段CD的長
【分析】根據(jù)點到直線的距離是指垂線段的長度，根據(jù)AD⊥BC，得出點C到直線AD的距離為CD．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴點C到直線AD的距離是指CD的長度．
故選：D．
【變式2】
（2023春?天元區(qū)校級期末）如圖，筆直小路DE的一側(cè)栽種有兩棵小樹BM，CN，小明測得AB＝4m，AC＝6m，則點A到DE的距離可能為（）
A．6mB．5mC．4mD．3m
【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義和垂線段最短即可得到結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)垂線段最短得，點A到DE的距離＜AB，
故選：D．
【變式3】
（2023春?澄邁縣期末）已知P是直線l外一點，A是直線l上一點，若PA＝2cm，則點P到直線l的距離（）
A．小于2cmB．不大于2cmC．等于2cmD．大于2cm
【分析】根據(jù)直線外一點到直線的距離即為垂線段的長度和垂線段最短的性質(zhì)進(jìn)行求解．
【解答】解：∵直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，
∴點P到直線l的距離≤PA，
即點P到直線l的距離不大于2cm．
故選：B．
1．（2023春?孟村縣期末）已知，如圖所示，AB⊥CD，垂足為O，EF為過O點的一條直線，則∠α與∠β的關(guān)系一定成立的是（）
A．相等B．互余
C．互補D．互為對頂角
【分析】根據(jù)圖形可看出，∠β的對頂角∠COE與∠α互余，那么∠α與∠β就互余．
【解答】解：圖中，∠β＝∠COE（對頂角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠α+∠COE＝90°，
∴∠α+∠β＝90°，
∴兩角互余．
故選：B．
2．（2023?游仙區(qū)開學(xué)）過點P作AB的垂線CD，下列選項中，三角板的放法正確的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)垂線的定義，即可解答．
【解答】解：過點P作AB的垂線CD，下列選項中，三角板的放法正確的是
故選：C．
3．（2023?貴州模擬）如圖，工程隊準(zhǔn)備將一段筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，讓游客飽覽山間風(fēng)光．這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）
A．兩點確定一條直線
B．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線
C．兩點之間，線段最短
D．垂線段最短
【分析】由線段的性質(zhì)：兩點之間，線段最短，即可判斷．
【解答】解：將一段筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是：兩點之間，線段最短．
故選：C．
4．（2023春?臨沂期中）如圖，在同一平面內(nèi)，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是（）
A．兩點確定一條直線
B．垂線段最短
C．同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．已知直線的垂線只有一條
【分析】直接利用垂線的性質(zhì)：在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，進(jìn)而判斷得出答案．
【解答】解：在同一平面內(nèi)，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是：同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
故選：C．
5．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（AB⊥CD），開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做的依據(jù)是（）
A．兩點之間線段最短B．點到直線的距離
C．垂線段最短D．兩點確定一條直線
【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短進(jìn)行解答．
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（AB⊥CD），開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做的依據(jù)是：垂線段最短，
故選：C．
6．（2023春?巴南區(qū)期末）如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，則∠BOD等于（）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)垂線的定義得出∠COD＝90°，從而求出∠BOD的度數(shù)．
【解答】解：∵∠AOC＝125°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣125°＝55°，
∵OC⊥OD．
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣55°＝35°，
故選：C．
7．（2023春?泰來縣校級期末）如圖，直線BO⊥AO于點O，OB平分∠COD，∠AOC＝70°，則∠DOA的度數(shù)是（）
A．110°B．120°C．125°D．130°
【分析】根據(jù)垂直定義可得∠AOB＝90°，從而可得∠BOC＝20°，然后利用角平分線的定義可得∠DOB＝∠BOC＝20°，從而利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：∵BO⊥AO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝20°，
∵OB平分∠COD，
∴∠DOB＝∠BOC＝20°，
∴∠DOA＝∠DOB+∠AOB＝110°，
故選：A．
8．（2023春?千山區(qū)期中）如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°，則下列結(jié)論中正確的是（）
①線段BP的長度是點P到直線l的距離；②線段AP是A點到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長度是點P到直線l的距離
A．①②③B．③④C．①③D．①②③④
【分析】根據(jù)“從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短”，“從直線外一點到這條線段的垂線段的長度，叫做點到直線的距離”進(jìn)行判斷，即可得解．
【解答】解：∵PB⊥l于點B，
∴線段BP的長度是點P到直線l的距離，故①正確，④錯誤；
∵∠APC＝90°，
∴線段AP的長度是A點到直線PC的距離，故②錯誤；
根據(jù)垂線段最短，在PA，PB，PC三條線段中，PB最短，故③正確；
故選C．
9．（2023春?殷都區(qū)期末）點O是直線l外一點，點A，B，C為直線l上三點，且OA＝2cm，OB＝5cm，OC＝3cm，則點O到直線l的距離（）
A．小于2cmB．等于2cmC．不大于2cmD．等于3cm
【分析】根據(jù)“直線外一點到直線上各點的所有線段中，垂線段最短”進(jìn)行解答．
【解答】解：∵直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，
∴點P到直線l的距離OA≤PC，
即點O到直線l的距離不大于2cm．
故選：C．
10．（2023春?渠縣校級期末）如圖，直線AB、CD相交于O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為（）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】先利用角平分線的定義可得∠AOM＝∠COM＝35°，再根據(jù)垂直定義可得∠MON＝90°，然后利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：∵射線OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠COM＝35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON﹣∠COM＝55°，
故選：C．
11．（2023春?涵江區(qū)期中）如圖：李明同學(xué)參加跳遠(yuǎn)比賽，要測量他的跳遠(yuǎn)成績，只要測量PA的長度，其依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是：垂線段最短 .
【分析】由垂線段最短，即可得到答案．
【解答】解：李明同學(xué)參加跳遠(yuǎn)比賽，要測量他的跳遠(yuǎn)成績，只要測量PA的長度，其依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是：垂線段最短．
故答案為：垂線段最短．
12．（2023春?通道縣期末）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，則點C到AB的距離為 4.8 ．
【分析】設(shè)點C到AB的距離為h，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．
【解答】解：設(shè)點C到AB的距離為h，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴10h＝6×8，
∴h＝＝4.8．
故答案為：4.8．
13．（2023春?濱州期末）如圖，已知直線l上，點P為直線l外一點，點B為直線l上的動點，PB≥4cm，則點P到直線l的距離是 4cm ．
【分析】直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，由此即可得到答案．
【解答】解：點B為直線l上的動點，PB≥4cm，則點P到直線l的距離是4cm．
故答案為：4cm．
14．（2023春?西寧期末）在直線AB上任取一點O，過點O作射線OC、OD，使OC⊥OD，當(dāng)∠AOC＝30°時，∠BOD的度數(shù)是 60°或120° ．
【分析】先根據(jù)題意可得OC分在AB同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，并畫出圖，然后根據(jù)OC⊥OD與∠AOC＝30°，計算∠BOD的度數(shù)．
【解答】解：當(dāng)OC、OD在直線AB同側(cè)時，如圖：
∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；
∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣30°＝60°；
當(dāng)OC、OD在直線AB異側(cè)時，如圖：
∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（∠DOC﹣∠AOC）＝180°﹣（90°﹣30°）＝120°．
故答案為：60°或120°．
15．（2023秋?讓胡路區(qū)校級期中）已知∠AOB和∠BOC互為鄰補角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射線OE在∠AOB內(nèi)部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，則∠MOE＝ 110°或70° ．
【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依據(jù)已知條件求得∠BOE的度數(shù)，再根據(jù)∠MOB＝90°，即可得到∠MOE的度數(shù)．
【解答】解：分兩種情況進(jìn)行討論：
①如圖1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
設(shè)∠BOE＝α，則∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC為平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+70°+70°﹣α＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；
②如圖2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；
綜上所述，∠MOE的度數(shù)為110°或70°．
故答案為：110°或70°．
16．（2023春?館陶縣期中）如圖，將一塊直角三角板COD的直角頂點O放在直線AB上．
（1）若線段OC的長是點C到直線AB的距離，則點D在直線AB 上（填“上”或“外”）．
（2）比較CD與OD的大小，并說明理由．
【分析】（1）由線段OC的長是點C到直線AB的距離，可得OC⊥OB，結(jié)合CO⊥OD，從而可得答案；
（2）由垂線段最短可得答案．
【解答】解：（1）∵線段OC的長是點C到直線AB的距離，
∴OC⊥OB，
∵CO⊥OD，
∴OB，OD重合，
∴則點D在直線AB上．
（2）DC＞DO，理由如下：
∵OD⊥OC，
∴D與OC上各點的連線段中，垂線段OD最短．
∴DC＞DO．
17．（2023春?金安區(qū)校級期末）如圖，直線AB與EF交于點O，已知OC和OD位于AB的兩側(cè)，且OC⊥OD，OF平分∠BOC，若∠BOD＝20°，求∠AOE的度數(shù)．
【分析】根據(jù)OC⊥OD，得∠COD＝90°，所以∠BOC＝70°，再根據(jù)OF平分∠BOC，得∠BOF＝∠BOC＝35°，根據(jù)對頂角的性質(zhì)得∠AOE＝∠BOF＝35°．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠BOC＝70°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF＝∠BOC＝35°，
∴∠AOE＝∠BOF＝35°．
18．（2023春?青山區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB，垂足為O．
（1）直接寫出∠AOC的對頂角和鄰補角；
（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，求∠AOD的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義，即可解答；
（2）根據(jù)垂直定義可得∠AOE＝90°，從而求出∠AOC，利用鄰補角進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：（1）∠AOC的對頂角是∠BOD，∠AOC的鄰補角是∠BOC和∠AOD；
（2）∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC：∠COE＝3：1，
∴∠AOC＝∠AOE＝×90°＝67.5°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝112.5°．
18．（2023春?大足區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB．
（1）若∠BOF＝∠DOE，求證：OF⊥CD；
（2）在（1）的條件下，若∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，求∠COE的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)OE⊥AB，得∠BOE＝90°，即∠DOE+∠BOD＝90°，再根據(jù)∠BOF＝∠DOE，所以∠BOF+∠BOD＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOF＝90°+∠AOC，得180°﹣∠AOC﹣90°﹣∠AOC＝∠AOC，所以∠AOC＝30°，即可求出答案．
【解答】（1）證明：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝∠AOE＝90°，
∴∠DOE+∠BOD＝90°，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴∠BOF+∠BOD＝90°，
∴∠DOF＝90°，
∴OF⊥CD；
（2）解：∵∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，
又∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOF＝90°+∠AOC，
∴180°﹣∠AOC﹣90°﹣∠AOC＝∠AOC，
∴∠AOC＝30°，
∵∠COE＝30°+90°＝120°．
20．（2023?南崗區(qū)校級開學(xué)）如圖1，O是直線AB上的一點，OC⊥OD，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOD＝35°，求∠BOE的度數(shù)；
（2）將圖1中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由；
②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，∠BOE內(nèi)部有一條射線OM，且3∠AOD﹣∠AOF+2∠MOE＝13∠COE+∠AOF，試確定∠FOM與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由．

【分析】（1）由垂線的定義得∠COD＝90°，從而得到∠AOC＝90°﹣∠AOD＝55°，由鄰補角的定義計算可得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝125°，最后由角平分線的性質(zhì)即可得到答案；
（2）①先分別表示出∠DOE和∠AOC再找出其中的關(guān)系即可；
②根據(jù)題意得出∠AOD＝90°+2∠COE，∠AOF＝180°﹣2∠COE﹣∠COF代入3∠AOD﹣∠AOF+2∠MOE＝3∠COE+∠AOF，得到2∠COF+2∠MOE﹣90°＝3∠∠COE再將∠FOM＝∠COF+∠COE+∠MOE，∠DOE＝90°﹣∠COE代入進(jìn)行計算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝35°，OC⊥OD，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣55°＝125°．
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝×125°＝62.5°．
（2）①∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠AOC．
又∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOE．
②∠FOM與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系：2∠FOM+5∠DOE＝540°．
理由如下：由圖可知：∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠AOC，
∵∠COD＝90°，∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOD＝360°﹣90°﹣2∠DOE＝270°﹣2∠DOE，
∵3∠AOD﹣∠AOF+2∠MOE＝13∠COE+∠AOF，
∴3（270°﹣2∠DOE）﹣∠AOF+2∠MOE＝13∠COE+∠AOF，
∴810°﹣6∠DOE＝2∠AOF+13∠COE﹣2∠MOE，
∵OE平分∠BOC．∠AOF＝180°﹣∠BOF，∠MOE＝∠COM﹣∠COE，
∴∠COE＝∠BOC，
∠MOE＝∠COM﹣∠BOC，
∴810°﹣6∠DOE＝2（180°﹣∠BOF）+13×∠BOC﹣2（∠COM﹣∠BOC），
∴810°﹣6∠DOE＝360°﹣2∠BOF+∠BOC﹣2∠COM+∠BOC，
∴450°﹣6∠DOE＝﹣2∠BOF+∠BOC﹣2∠COM，
∴450°﹣6∠DOE＝﹣2（∠BOF+∠COM）+∠BOC，
∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2∠DOE，
∠BOF+∠COM＝∠BOM+∠MOF+∠COM＝∠BOC+∠MOF
∴450°﹣6∠DOE＝﹣2（∠BOC+∠MOF）+∠BOC＝∠BOC﹣2∠MOF，
∴450°﹣6∠DOE＝（180°﹣2∠DOE）﹣2∠MOF，
整理可得：2∠FOM+5∠DOE＝540°．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①垂直的定義
②垂直的畫法
③垂線的性質(zhì)
④點到直線的距離
掌握垂線的定義及其表示。
能夠利用三角板或兩角器畫垂線。
掌握垂線的性質(zhì)并且能夠運用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計算。

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