類型三：“鷹嘴”模型
平行線間的拐點問題均過拐點作平行線的平行線，有多少個拐點就作多少條平行線。
一．選擇題
1．（2023?新城區(qū)校級一模）如圖，直線m∥n，含有45°角的三角板的直角頂點O在直線m上，點A在直線n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
2．（2023?海南）如圖，直線m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，點C在直線n上．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
3．（2023秋?渝中區(qū)校級期中）如圖，直線AB∥CD，GE⊥EF于點E．若∠EFD＝32°，則∠BGE的度數(shù)是（ ）
A．62°B．58°C．52°D．48°
4．（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖，已知AB∥CD，BE，DE分別平分∠ABF和∠CDF，且交于點E，則（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
5．（2022秋?榆樹市期末）如圖，AB∥CD，則圖中∠1、∠2、∠3關(guān)系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2
6．（2023秋?湖北月考）將含有30°角的直角三角板在兩條平行線中按如圖所示擺放．若∠1＝120°，則∠2為（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
二．填空題
7．（2023?江油市開學(xué)）如圖，AB∥CD，P為AB，CD之間的一點，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，則∠1＝ ．
8．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，點F在射線BA上，且∠EDF＝125°，則∠DFB的度數(shù)為 ．
9．（2023秋?道里區(qū)校級期中）為增強學(xué)生體質(zhì)，望一觀音湖學(xué)校將“跳繩”引入陽光體育一小時活動．圖1是一位同學(xué)跳繩時的一個瞬間．?dāng)?shù)學(xué)老師把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，則∠AEC＝ ．
10．（2022秋?雅安期末）如圖，AB∥CD，∠DCE的角平分線CG的反向延長線和∠ABE的角平分線BF交于點F，∠E﹣∠F＝60°，則∠E＝ ．
11．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知：如圖，AB∥CD，∠ABG的平分線與∠CDE的平分線交于點M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，則∠G＝ °．
三．解答題
12．（2022秋?寶豐縣期末）已知直線MN、PQ，點A、B為分別在直線MN、PQ上，點C為平面內(nèi)一點，連接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．
（1）求證：MN∥PQ；
（2）如圖2，射線AE、BD分別平分∠MAC和∠CBQ，AE交直線PQ于點E，BD與∠NAC內(nèi)部的一條射線AD交于點D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度數(shù)．
13．（2022秋?莘縣期末）綜合與實踐
如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點E，PN交CD于點F．
（1）當(dāng)所放位置如圖①所示時，∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系是 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）當(dāng)所放位置如圖②所示時，求證：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度數(shù)．
14．（2022秋?洛寧縣期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度數(shù)．
小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
問題遷移：
（1）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．
15．（2023春?鼎城區(qū)期末）已知直線AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點．
問題提出：（1）如圖1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度數(shù)；
問題遷移：（2）如圖2，寫出∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
問題應(yīng)用：（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度數(shù)．
16．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知：如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點G，H，點P為直線EF上的點，連接AP，CP．
（1）如圖1，點P在線段GH上時，請你直接寫出∠BAP，∠DCP，∠APC的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，點P在HG的延長線上時，連接CP交AB于點Q，連接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求證：AC∥EF；
（3）在（2）的條件下，如圖3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK與CK交點K，連接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大?。?br>17．（2023秋?道里區(qū)校級期中）已知：直線AB與直線CD內(nèi)部有一個點P，連接BP．
（1）如圖1，當(dāng)點E在直線CD上，連接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求證：AB∥CD；
（2）如圖2，當(dāng)點E在直線AB與直線CD的內(nèi)部，點H在直線CD上，連接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求證：AB∥CD；
（3）如圖3，在（2）的條件下，BG、EF分別是∠ABP、∠PEH的角平分線，BG和EF相交于點G，EF和直線AB相交于點F，當(dāng)BP⊥PE時，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度數(shù)．

18．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知，過∠ECF內(nèi)一點A作AD∥/EC交CF于點D，作AB∥/CF交CE于點B．
（1）如圖1，求證：∠ABE＝∠ADF；
（2）如圖2，射線BM，射線DN分別平分∠ABE和∠ADF，求證：BM∥DN；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點G，Q在線段DF上，連接AG，AQ，AC，AQ與DN交于點H，反向延長AQ交BM于點P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度數(shù)．
19．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知，射線FG分別交射線AB、DC于點F、G，點E為射線FG上一點．
（1）如圖1，若∠A+∠D＝∠AED，求證：AB∥CD．
（2）如圖2，若AB∥CD，求證：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如圖3，在（2）的條件下，DI交AI于點Ⅰ，交AE于點K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度數(shù)．
20．（2023春?欒城區(qū)校級期中）【問題解決】：
如圖①，AB∥CD，點E是AB，CD內(nèi)部一點，連接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度數(shù)；嘉琪想到了如圖②所示的方法，請你幫她將完整的求解過程補充完整；
解：過點E作EF∥AB
∴∠ABE＝∠BEF（ ）；
∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；
∴EF∥CD（ ）；
∴∠CDE＝（ ）（ ）；
又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（ ）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（ ）；
∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代換）；
【問題遷移】：
請參考嘉琪的解題思路，解答下面的問題：
如圖③，AB∥CD，射線OM與直線AB，CD分別交于點A，C，射線ON與直線AB，CD分別交于點B，D，點P在射線ON上運動，連接AP，CP，設(shè)∠BAP＝α，∠DCP＝β．
（1）如圖③，當(dāng)點P在B，D兩點之間運動時（點P不與點B，D重合），寫出α，和∠APC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)點P在B，D兩點外側(cè)運動時（點P不與點B，D重合），請畫出圖形，并直接寫出α，β和∠APC之間滿足的數(shù)量關(guān)系．

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5.3.1 平行線的性質(zhì)

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級下冊

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