倍速學(xué)習三種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識點1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（重點）
知識點2.二次函數(shù)與軸交點個數(shù)的判斷（重點）
知識點3.利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根（難點）
【方法二】 實例探索法
題型1.用列表法求一元二次方程的近似根
題型2.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
題型3.函數(shù)與方程關(guān)系的綜合應(yīng)用
題型4.閱讀理解題
題型5.探究題
【方法三】 成果評定法
【學(xué)習目標】
掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。
能根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系確定二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標。
能運用二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系判斷二次函數(shù)與軸的交點個數(shù)。
會利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次方程的根的近似值。
重點：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的理解。
難點：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的應(yīng)用。
【倍速學(xué)習四種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識點1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（重點）
求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．
二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．
【例1】．（2023?泰州）二次函數(shù)y＝x2+3x+n的圖象與x軸有一個交點在y軸右側(cè)，則n的值可以是 .（填一個值即可）
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【解答】解：設(shè)二次函數(shù)y＝x2+3x+n的圖象與x軸交點的橫坐標為x1、x2，
即一元二次方程x2+3x+n＝0的根為x1、x2，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝﹣3，x1?x2＝n，
∵二次函數(shù)y＝x2+3x+n的圖象與x軸有一個交點在y軸右側(cè)，
∴x1，x2為異號，
∴n＜0，
故答案為：﹣3（答案不唯一）．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，根與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用．
【變式】．（2023?杜爾伯特縣一模）|x2﹣3|＝a有四個解，則a的取值范圍是 ．
【分析】作函數(shù)y＝|x2﹣3|的圖象，如圖．由圖象知直線y＝a與y＝|x2﹣3|的圖象應(yīng)有四個交點，于是得到結(jié)論．
【解答】解：方程|x2﹣3|﹣a＝0?方程|x2﹣3|＝a，
作函數(shù)y＝|x2﹣3|的圖象，如圖．
由圖象知直線y＝a與y＝|x2﹣3|的圖象應(yīng)有四個交點，
當1＜a＜3時，有4個交點．
故答案為：0＜a＜3．
【點評】此題主要考查了函數(shù)圖象與方程的解，根據(jù)直線與函數(shù)圖象交點的個數(shù)得到方程解的個數(shù)．注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決根的存在性及根的個數(shù)判斷問題．
知識點2.二次函數(shù)與軸交點個數(shù)的判斷（重點）
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；
△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
【例2】．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝ ．
【分析】利用判別式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案為：9．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點知識，明確Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式】．（2023春?江都區(qū)月考）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6及一次函數(shù)y＝﹣2x+m，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)（如圖所示），當直線y＝﹣2x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍是 ．
??
【分析】如圖，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折疊的性質(zhì)求出折疊部分的解析式為y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點A（﹣2，0）時m的值和當直線y＝﹣2x+m與拋物線y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點時m的值，從而得到當直線y＝﹣2x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍．
【解答】解：如圖，當y＝0時，﹣x2+x+6＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝3，
則A（﹣2，0），B（3，0），
將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
當直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點A（﹣2，0）時，4+m＝0，解得m＝﹣4；
當直線y＝﹣2x+m與拋物線y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點時，方程x2﹣x﹣6＝﹣2x+m有相等的實數(shù)解，
解得m＝﹣6，
所以當直線y＝﹣x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍為﹣＜m＜﹣4．
故答案為：﹣＜m＜﹣2．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．
知識點3.利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根（難點）
利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：
（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；
（2）由圖象與y＝h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；
（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
【例3】（2023春?蕭山區(qū)期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，y與x的部分對應(yīng)值為：
關(guān)于此函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（ ）
A．當x＞0時，函數(shù)圖象從左到右上升
B．拋物線開口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一個根在﹣2與﹣1之間
D．當x＝2時，y＝1
【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出頂點坐標，對稱軸，開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A，B，；x＝﹣2時，y＝﹣1；x＝﹣1時，y＝2即可判斷C，D．
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1時的函數(shù)值相同，都是2，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝0，
∴拋物線的頂點為（0，3），
∴y＝3是函數(shù)的最大值，
∴拋物線的開口向下，當x＞0時，y隨x的增大而減小，即當x＞0時，函數(shù)圖象從左到右下降，
所以A錯誤，B錯誤；
∵x＝﹣2時，y＝﹣1；x＝﹣1時，y＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的一個根在﹣2與﹣1之間，
所以C正確，D錯誤．
綜上所述：其中正確的結(jié)論有C．
故選：C．
【點評】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
【方法二】實例探索法
題型1.用列表法求一元二次方程的近似根
3．（2022秋?嘉興期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：
若1＜m＜1.5，則下面敘述正確的是（ ）
A．該函數(shù)圖象開口向上
B．該函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸的下方
C．對稱軸是直線x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正數(shù)解，則2＜x1＜3
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)圖象具有對稱性即可判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵二次函數(shù)過（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴對稱軸為直線x＝＝1，故C錯誤，不合題意；
由表格可得，當x＞1時，y隨x的值增大而減小，
∴該函數(shù)開口向下，故選項A錯誤，不符合題意；
∵圖象過點（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5，
∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1，
∴該函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸的上方，故B錯誤，不合題意；
由表中數(shù)據(jù)可知：y＝0在y＝m﹣2與y＝m﹣0.5之間，
故對應(yīng)的x的值在﹣1與0之間，
故對應(yīng)的x的值在2與3之間，即2＜x1＜3，故D正確，符合題意．
故選：D．
【點評】此題主要考查了圖象法求一元二次方程的近似值，掌握函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點與方程ax2+bx+c＝0的根的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵所在．
題型2.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
6．（2022秋?確山縣期中）某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)；y＝﹣x2+2|x|+3的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整．
（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：
其中，m＝ 3 ．
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中，直接畫出該函數(shù)的圖象．
（3）觀察函數(shù)圖象，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸 ．
（4）已知函數(shù)y＝﹣x+4的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象．直接寫出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）
【分析】（1）把x＝2代入函數(shù)y＝﹣x2+2|x|+3中，求得y值便可；
（2）用光滑的曲線連接所描的點便可；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；
（4）通過觀察函數(shù)圖象，即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入函數(shù)y＝﹣x2+2|x|+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，
∴m＝3，
故答案為：3；
（2）描點，連線得出函數(shù)圖象如圖：
（3）函數(shù)是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸，
故答案為：函數(shù)是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸；
（4）由圖象可知方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解為x1＝0.4，x2＝2.6．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
題型3.函數(shù)與方程關(guān)系的綜合應(yīng)用
6．（2023?黑龍江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點．交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）兩點，代入拋物線y＝ax2+bx+3，解方程組即可得到拋物線的解析式；
（2）分別求得A、B、C的坐標，與BC的解析式y(tǒng)＝﹣3x+3；作PE∥x軸交BC于E，設(shè)點P的橫坐標為t，分別求得P點坐標為（t，﹣t2﹣2t+3）與E點坐標為（，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBC＝S△ABC列方程解答即可．
【解答】解：（1）由拋物線與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，代入拋物線y＝ax2+bx+3得：
，
解得：；
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點C，
令x＝0，則y＝3，
∴C點坐標為（0，3），OC＝3，
∴S△ABC＝AB?OC＝×4×3＝6，
∴S△PBC＝S△ABC＝3；
作PE∥x軸交BC于E，如圖：
設(shè)BC的解析式為：y＝kx+b，將B、C代入得：
，
解得：，
∴BC的解析式為：y＝﹣3x+3；
設(shè)點P的橫坐標為t，則P（t，﹣t2﹣2t+3），
則E的縱坐標為：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝，
∴E（，﹣t2﹣2t+3）；
∴PE＝﹣t＝，
∴S△PBC＝××3＝3，
解得：t＝﹣2或3；
∴P點縱坐標為：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，
∴點P的坐標為（﹣2，3）或（3，﹣12）．
【點評】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，直角三角形的判定等，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．
題型4.閱讀理解題
7．（2023?云南）數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．
同學(xué)們，請你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問題．
在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點．設(shè)函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象為圖象T．
（1）求證：無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；
（2）是否存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）分一次函數(shù)和二次函數(shù)分別證明函數(shù)圖象T與x軸總有交點即可；
（2）當a＝﹣時，不符合題意；當a≠時，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x＝﹣或x＝，即x＝＝2﹣，因a是整數(shù)，故當2a+1是6的因數(shù)時，是整數(shù)，可得2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，分別解方程并檢驗可得a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
【解答】（1）證明：當a＝﹣時，函數(shù)表達式為y＝12x+6，
令y＝0得x＝﹣，
∴此時函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點；
當a≠時，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4為二次函數(shù)，
∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，
∴函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點；
綜上所述，無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；
（2）解：存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點，理由如下：
當a＝﹣時，不符合題意；
當a≠時，
在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，
解得x＝﹣或x＝，
∵x＝＝2﹣，a是整數(shù)，
∴當2a+1是6的因數(shù)時，是整數(shù)，
∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，
解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，
∵a是整數(shù)，
∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，其中還涉及了一次函數(shù)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解整點的意義．
題型5.探究題
4．（2023·山西大同·校聯(lián)考三模）綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標為，連接．

(1)求A，B，C三點的坐標；
(2)當?shù)拿娣e等于的面積的時，求m的值；
(3)在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試探究是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，
(2)3
(3)存在，或或或
【分析】（1）令和求解即可；
（2）過點C作交的延長線于F，首先求出，求出直線BC的函數(shù)表達式為：，得到，，然后根據(jù)列方程求解即可；
（3）首先得到，然后設(shè)，，然后根據(jù)題意分3種情況討論：是平行四邊形的邊，是平行四邊形的邊，是平行四邊形的對角線，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列方程求解即可．
【詳解】（1）由，得．
解，得，．
∴點A，B的坐標分別為，，
由，得．
∴點C的坐標為．
（2）如圖，過點D作軸于E，交BC于G，

過點C作交的延長線于F．
∵點A的坐標為，點C的坐標為．
∴，．
∴．
∴．
∵點B的坐標為，點C的坐標為，
設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為．則．解得
∴直線BC的函數(shù)表達式為：．
∵點D的橫坐標為，
∴點D的坐標為，點G的坐標為：．
∴，，．
∴
∴．
解得：（不合題意舍去），，
∴m的值為3．
（3）將代入
∴，
設(shè)，，
∵，
∴如圖所示，當是平行四邊形的邊時，


∴由平行四邊形的性質(zhì)可得，
，解得或
∴點M的坐標為或；
當是平行四邊形的邊時，

∴由平行四邊形的性質(zhì)可得，
，解得或（不合題意，應(yīng)舍去）
∴點M的坐標為；
如圖所示，當是平行四邊形的對角線時，

∴由平行四邊形的性質(zhì)可得，
，解得或（不合題意，應(yīng)舍去）
∴點M的坐標為；
綜上所述，點M的坐標為或或或．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識，運用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【方法三】 成果評定法
一．選擇題（共10小題）
1．（2022秋?澤州縣期末）如圖，拋物線與直線相交于，兩點，則當時，自變量的取值范圍是
A．B．C．或D．或
【分析】根據(jù)當時，自變量的取值范圍是拋物線圖象在一次函數(shù)圖象上方部分所對應(yīng)的的取值范圍，結(jié)合圖象進行作答即可．
【解答】解：由圖象可知，當時，自變量的取值范圍是，
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)圖象的交點與不等式的解集的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．
2．（2023秋?南開區(qū)期末）已知，二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】先由拋物線開口方向得到，由拋物線的對稱軸位置得到，由拋物線與軸的交點位置得到，則，然后由拋物線與軸有兩個交點得到，于是可判斷點所在象限．
【解答】解：拋物線開口向上，
，
拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，
、異號，
，
拋物線與軸的交點在軸的負半軸，
，
，
拋物線與軸有兩個交點，
，
點在第一象限．
故選：．
【點評】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程；△決定拋物線與軸的交點個數(shù)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
3．（2022秋?上虞區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸的負半軸于點，點是軸正半軸上一點，連結(jié)并延長交拋物線于點，過點作軸的平行線交拋物線于另一點．連結(jié)．若點的橫坐標為1，且，則的長為
A．B．C．4D．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合點的橫坐標為1，求得，解方程得，進而求出點坐標，可求得拋物線解析式為，再計算自變量為1的函數(shù)值得到，接著利用點的縱坐標為4，求出點的橫坐標，然后計算的長．
【解答】解：過點作，則，
點的橫坐標為1，即：，
，
當時，，
解得，，則，
則，
，
，
拋物線解析式為，
當時，，則，
當時，，
解得，，
則，
的長為：．
故選：．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例，勾股定理，拋物線與軸的交點，把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
4．（2022秋?嘉禾縣期末）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸交于點，點在拋物線上，有下列結(jié)論：
①；
②一元二次方程的正實數(shù)根在2和3之間；
③；
④點，在拋物線上，當實數(shù)時，．
其中，正確結(jié)論的個數(shù)是
A．4B．3C．2D．1
【分析】由拋物線開口方向得到，利用拋物線的對稱軸方程得到，則可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與軸的另一個交點坐標在與之間，則根據(jù)拋物線與軸的交點問題可對②進行判斷；把，和代入拋物解析式可對③進行判斷；利用二次函數(shù)的增減性對④進行判斷．
【解答】解：拋物線開口向上，
，
拋物線的對稱軸為直線，
，
，所以結(jié)論①正確；
拋物線的對稱軸為直線，拋物線與軸的一個交點坐標在與之間，
拋物線與軸的另一個交點坐標在與之間，
一元二次方程的正實數(shù)根在2和3之間，所以結(jié)論②正確；
把，代入拋物線得，，
而，
，
，所以結(jié)論③正確；
點，在拋物線上，
當點、都在直線的右側(cè)時，，此時；
當點在直線的左側(cè)，點在直線的右側(cè)時，，此時且，即，
當或時，，所以結(jié)論④錯誤．
故選：．
【點評】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根：利用二次函數(shù)圖象的對稱性確定拋物線與軸的交點坐標，從而得到一元二次方程的根．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
5．（2023秋?杜爾伯特縣期末）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是
A．圖象的對稱軸是直線
B．圖象與軸有兩個交點
C．當時，的值隨值的增大而增大
D．當時，取得最大值，且最大值為3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式得出函數(shù)對稱軸，頂點坐標，開口方向，然后由函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：二次函數(shù)，
拋物線開口向上，頂點坐標為，對稱軸為直線，
當時，隨的增大而增大，當時，有最小值，最小值為3，拋物線與軸沒有交點，
故，，錯誤，正確，
故選：．
【點評】本題考查拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．（2023秋?西豐縣期末）將拋物線與軸的交點坐標為
A．，B．，C．，D．，
【分析】令，解一元二次方程即可求解．
【解答】解：令，
解得：或，
故選：．
【點評】本題考查的是拋物線和軸的交點，正確理解一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋?西山區(qū)校級月考）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是
A．頂點坐標是B．對稱軸是直線
C．拋物線有最高點D．拋物線與軸有兩個交點
【分析】根據(jù)拋物線的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：，
則拋物線的頂點坐標為：，故錯誤，不符合題意；
函數(shù)的對稱軸為執(zhí)行案，故正確，符合題意；
，故拋物線開口向上，函數(shù)有最低點，故錯誤，不符合題意；
由知，拋物線與軸有一個交點，故錯誤，不符合題意，
故選：．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在中，對稱軸為直線，頂點坐標為．
8．（2023秋?明光市期中）下表給出了二次函數(shù)與自變量的部分對應(yīng)值：
則關(guān)于的一元二次方程的解為
A．，B．，C．，D．，
【分析】根據(jù)圖表信息找出該二次函數(shù)圖象的對稱軸即可解答．
【解答】解：從表格知道，當時，所對應(yīng)的值分別為和0，
由二次函數(shù)的對稱性知，該二次函數(shù)圖象的對稱軸；
設(shè)一元二次方程的解分別為和
因為當時，表格所對應(yīng)的的值為1，
所以，
解得，
所以關(guān)于的一元二次方程的解為，
故選：．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱性，掌握二次函數(shù)圖象的對稱軸是解題的關(guān)鍵．
9．（2023秋?明光市期中）拋物線與軸有兩個交點，則的值可能為
A．B．1C．3D．4
【分析】根據(jù)拋物線與軸有兩個交點，即△即可求出．
【解答】解：拋物線與軸有兩個交點，
△，
解得，
選項符合題意．
故選：．
【點評】本題考查拋物線與軸的交點，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．
10．（2023秋?通榆縣期末）如圖，拋物線的對稱軸為，點、點是拋物線與軸的兩個交點，若點的坐標為，則點的坐標為
A．B．C．D．
【分析】拋物線的對稱軸為直線，點，由點、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即可求解．
【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，點，
點、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
故點，
故選：．
【點評】本題考查的是拋物線和軸的交點，熟悉函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共8小題）
11．（2023秋?吉林期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點為，則關(guān)于的方程的解為 或 ．
【分析】根據(jù)拋物線的軸對稱性質(zhì)得到拋物線與軸的另一個交點坐標，由此求得關(guān)于的方程的兩根．
【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點為，
拋物線與軸的另一個交點坐標為，
關(guān)于的方程的解為或，
故答案為：或．
【點評】本題主要考查了拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得拋物線與軸的兩個交點坐標．
12．（2023秋?西城區(qū)校級月考）拋物線與軸交于兩點，分別是是，，則的值為 3 ．
【分析】利用拋物線解析式與一元二次方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得答案即可．
【解答】解：拋物線與軸交于兩點，分別是是，，
令，則，為方程的兩個根，
，
，
故答案為：3．
【點評】本題考查了拋物線與軸的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答即可．
13．（2023秋?西城區(qū)校級月考）若拋物線與軸只有一個交點，則的值為 4 ．
【分析】直接根據(jù)題意得到求解即可．
【解答】解：拋物線與軸只有一個交點，
，
解得，
故答案為：4．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次方程根的判別式，正確得出一元二次方程只有一個實數(shù)解是解題關(guān)鍵．
14．（2023秋?長春期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時，的取值范圍是 或 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出與軸的交點坐標，再由圖象得出答案．
【解答】解：由可得，，，
觀察函數(shù)圖象可知，當或時，函數(shù)值．
故答案為：或．
【點評】本題考查拋物線與軸的交點，正確利用數(shù)形結(jié)合進行解答是解題關(guān)鍵．
15．（2022秋?撫松縣期末）如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)為的圖象相交于，兩點，則不等式的解為 ．
【分析】由圖象可知，與圖象的交點的橫坐標為和3，當時，的圖象在的圖象的下方，即可得答案．
【解答】解：由圖象可知，與圖象的交點的橫坐標為和3，
當時，的圖象在的圖象的下方，
不等式的解為．
故答案為：．
【點評】本題考查二次函數(shù)與不等式（組，能夠利用函數(shù)圖象判斷兩個函數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（2023秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，平面直角坐標系中，，．拋物線經(jīng)過，，三點，直線經(jīng)過，．當時，的取值范圍為 ．
【分析】畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可求解．
【解答】解：觀察函數(shù)圖象，直線經(jīng)過點，，
當時，的取值范圍是，
故答案為：．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
17．（2023?郴州）已知拋物線與軸有且只有一個交點，則 9 ．
【分析】利用判別式△即可得出結(jié)論．
【解答】解：拋物線與軸有且只有一個交點，
方程有唯一解．
即△，
解得：．
故答案為：9．
【點評】本題考查了拋物線與軸的交點知識，明確△決定拋物線與軸的交點個數(shù)是解題的關(guān)鍵．
18．（2022秋?澤州縣期末）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則拋物線與軸交點的個數(shù)為 1 個．
【分析】拋物線與軸的交點的橫坐標，即令所對應(yīng)的一元二次方程的根．
【解答】解：由題意知，拋物線與軸交點的個數(shù)為1個，
故答案為：1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與軸交點與一元二次方程根的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程的根是二次函數(shù)與軸交點的橫坐標．
三．解答題（共6小題）
19．（2023秋?徐匯區(qū)期末）已知拋物線與軸交于點，與軸交于點和點，頂點為．
（1）求此拋物線的表達式及頂點坐標；
（2）聯(lián)結(jié)、，求的余弦值．
【分析】（1）依據(jù)題意，將代入求出進而的表達式，再化成頂點式可得的坐標；
（2）依據(jù)題意，令，可求得的坐標，令，求得的坐標，再分別求出，，的長，由勾股定理逆定理可得，進而求出的值．
【解答】解：（1）由題意，將代入得，，
．
拋物線為．
又，
頂點為．
（2）如圖，
由題意，令，即．
或．
．
又令，
．
．
，
，
．
．
．
．
【點評】本題主要考查了拋物線的圖象與性質(zhì)、解直角三角形，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．
20．（2023秋?日喀則市期末）如圖，頂點為的拋物線，與軸交于，兩點．
（1）求拋物線頂點的坐標．
（2）求直線的解析式．
【分析】（1）由，即可求解；
（2）用待定系數(shù)法即可求解．
【解答】解：（1），
則點，；
（2）令，
解得：或4，
即點，
設(shè)直線的表達式為：，
將點的坐標代入上式得：，
解得：，
則直線的表達式為：．
【點評】本題考查的是拋物線和軸的交點，正確理解一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21．（2023秋?吉林期末）如圖，拋物線與軸交于點、，是拋物線的頂點，的頂點在軸上．
（1）求的值；
（2）若拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好經(jīng)過點，求平移后拋物線的解析式．
【分析】（1）易求拋物線的頂點坐標，在平行四邊形中，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，，，即可求出的值；
（2）先根據(jù)題（1）求出拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線的平移特點，可設(shè)平移后拋物線的解析式為，平移后拋物線經(jīng)過點，將代入解析式，求出即可．
【解答】解：（1）拋物線，
頂點的坐標為
四邊形是平行四邊形，
，，
設(shè)，的橫坐標分別為，，則，
解得，
（2），
，
設(shè)平移后拋物線的解析式為，
把代入得，解得，
平移后拋物線的解析式為，
即．
【點評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，以及平移規(guī)律，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
22．（2023秋?杜爾伯特縣期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題．
（1）寫出方程的兩個根： 1和3 ；
（2）寫出不等式的解集： ；
（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍 ；
（4）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，直接寫出的取值范圍： ．
【分析】（1）根據(jù)圖象可知和3是方程的兩根；
（2）找出函數(shù)值小于0時的取值范圍即可；
（3）首先找出對稱軸，然后根據(jù)圖象寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；
（4）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則必須小于的最大值，據(jù)此求出的取值范圍．
【解答】解：（1）由圖象可知，圖象與軸交于和點，
則方程的兩個根為和，
故答案為：1和3；
（2）由圖象可知當或時，不等式；
故答案為或；
（3）由圖象可知，的圖象的對稱軸為直線，開口向下，
即當時，隨的增大而減?。?br>故答案為：．
（4）由圖象可知，二次函數(shù)有兩個不相等的實數(shù)根，則必須小于的最大值，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式以及拋物線與軸的交點的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的特點，此題難度不大．
23．（2023秋?杜爾伯特縣期末）已知二次函數(shù)的圖象過點，．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）已知二次函數(shù)與直線交于點，，請結(jié)合圖象直接寫出方程的解．
【分析】（1）把，坐標代入解析式求出，即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)與直線交點的橫坐標即為方程的解可得結(jié)論．
【解答】解：（1）把點，代入得：
，
解得，
二次函數(shù)的解析式為；
（2）二次函數(shù)與直線交于點，，
方程的解為或．
【點評】本題考查拋物線與軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
24．（2023秋?綠園區(qū)期末）在平面直角坐標系中，拋物線、是常數(shù)）經(jīng)過點，．點在拋物線上，且點的橫坐標為．
（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式．
（2）求點關(guān)于拋物線、是常數(shù)）的對稱軸對稱的點的坐標（用含的代數(shù)式表示）．
（3）當點在軸上方時，直接寫出的取值范圍．
（4）若此拋物線在點及點左側(cè)部分的最低點的縱坐標為，求的值．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）求得拋物線的對稱軸，設(shè)點的橫坐標為，根據(jù)拋物線的對稱性得，即可得出，從而得出點的坐標；
（3）求出拋物線與軸的交點為，，再由點在軸上方，求的范圍即可；
（4）當時，在點左側(cè)的圖象頂點為最低點，，解得，當時，隨的增大而減小，為最低點，，解得（舍去），．
【解答】解：（1）把，代入，
得，
解得，
拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為；
（2），
拋物線的對稱軸是直線，
設(shè)點的橫坐標為，由題意，得，
，
，
；
（3）令，則，
解得，，
拋物線與軸的交點為，，
點在軸上方，
的取值范圍為或；
（4），
拋物線頂點為，
當時，在點左側(cè)的圖象頂點為最低點，
即，
解得；
當時，隨的增大而減小，
為最低點，
即當時，，
解得（舍去），，
綜上所述，的值為或．
【點評】本題考查拋物線與軸的交點，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
3
2
？
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
4
m
0
﹣5
…
0
1
2
5
6
5
2

相關(guān)試卷

初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級下冊9 弧長及扇形的面積練習題：

這是一份初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級下冊9 弧長及扇形的面積練習題，文件包含北師大版數(shù)學(xué)九下同步講義專題15弧長及扇形的面積2個知識點6種題型原卷版docx、北師大版數(shù)學(xué)九下同步講義專題15弧長及扇形的面積2個知識點6種題型解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共46頁， 歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)8 圓內(nèi)接正多邊形一課一練：

這是一份初中數(shù)學(xué)8 圓內(nèi)接正多邊形一課一練，文件包含北師大版數(shù)學(xué)九下同步講義專題14切線長定理圓內(nèi)接正多邊形2個知識點6種題型原卷版docx、北師大版數(shù)學(xué)九下同步講義專題14切線長定理圓內(nèi)接正多邊形2個知識點6種題型解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共50頁， 歡迎下載使用。

北師大版（2024）九年級下冊第三章 圓2 圓的對稱性鞏固練習：

這是一份北師大版（2024）九年級下冊第三章 圓2 圓的對稱性鞏固練習，文件包含北師大版數(shù)學(xué)九下同步講義專題11圓與圓的對稱性4個知識點7種題1個易錯點原卷版docx、北師大版數(shù)學(xué)九下同步講義專題11圓與圓的對稱性4個知識點7種題1個易錯點解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共42頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

數(shù)學(xué)1 二次函數(shù)復(fù)習練習題

數(shù)學(xué)1 二次函數(shù)復(fù)習練習題
初中數(shù)學(xué)3 正方形的性質(zhì)與判定當堂達標檢測題

初中數(shù)學(xué)3 正方形的性質(zhì)與判定當堂達標檢測題
初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級上冊2 矩形的性質(zhì)與判定課時練習

初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級上冊2 矩形的性質(zhì)與判定課時練習
北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊同步精品講義 第10講 簡單的圖案設(shè)計（原卷版+解析)

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊同步精品講義 第10講 簡單的圖案設(shè)計（原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級下冊電子課本

5 二次函數(shù)與一元二次方程

版本： 北師大版（2024）

年級： 九年級下冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部