倍速學(xué)習(xí)四種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識點(diǎn)1.二次函數(shù)的概念（重點(diǎn)）
知識點(diǎn)2.列函數(shù)關(guān)系式（難點(diǎn)）
【方法二】 實(shí)例探索法
題型1.已知一個變量求它的函數(shù)值
題型2.建立函數(shù)模型
題型3.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合
題型4.二次函數(shù)與動點(diǎn)的關(guān)系
【方法三】差異對比法
易錯點(diǎn)：忽略了二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況
【方法四】 成果評定法
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
理解二次函數(shù)的概念。
掌握二次函數(shù)的一般形式。
會根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)的表達(dá)式。
重點(diǎn)：二次函數(shù)的概念的理解。
難點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)的表達(dá)式。
【倍速學(xué)習(xí)五種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識點(diǎn)1.二次函數(shù)的概念（重點(diǎn)）
1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．
判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．
2.二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對實(shí)際問題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問題有意義．
要點(diǎn)詮釋：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a(chǎn) 的絕對值越大，拋物線的開口越小.
【例1】．（2023秋?安慶期中）下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是
A．B．
C．D．
【變式】．（2023秋?武威期中）已知函數(shù)是二次函數(shù)，則等于
A．B．2C．D．6
知識點(diǎn)2.列函數(shù)關(guān)系式（難點(diǎn)）
根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．
①描點(diǎn)猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．
②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識建立量與量的等式．
【例2】（2022秋?無為市月考）據(jù)安徽省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，初步核算2021年安徽省生產(chǎn)總值為42959.2億元，若設(shè)2023年安徽省生產(chǎn)總值為y億元，平均年增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
A．y＝42959.2（1+2x）B．y＝42959.2（1﹣x）2
C．y＝42959.2x2D．y＝42959.2（1+x）2
【變式1】（2022秋?杜集區(qū)校級月考）進(jìn)入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續(xù)進(jìn)行兩次降價．若設(shè)平均每次降價的百分率是x，降價后的價格為y元，原價為a元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A．y＝2a（x﹣1）B．y＝2a（1﹣x）C．y＝a（1﹣x2）D．y＝a（1﹣x）2
【變式2】已知平行四邊形的高與底邊的比是，用表達(dá)式表示平行四邊形的面積S與它的底邊a的關(guān)系，并從圖象觀察平行四邊形的面積隨其底邊的變化而變化的情況．
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.已知一個變量求它的函數(shù)值
1．圓的半徑是，假設(shè)半徑增加時，圓的面積增加．
（1）寫出y與x之間的關(guān)系式；
（2）當(dāng)圓的半徑分別增加時，圓的面積各增加多少？
題型2.建立函數(shù)模型
2.（2022?大觀區(qū)校級開學(xué)）某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為40米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）
題型3.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合
3．已知函數(shù)y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值；
（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求m的取值范圍.
題型4.二次函數(shù)與動點(diǎn)的關(guān)系
4.（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，動點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動的時間是ts，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF．
(1)若四邊形AEFD為菱形，則t值為多少？
(2)在點(diǎn)D、E的運(yùn)動過程中，設(shè)四邊形ADFE的面積為y，請求出y與t的函數(shù)關(guān)系式？
5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)P是AB邊上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的垂線交AC邊與點(diǎn)D，以PD為邊作∠DPE=60°，PE交BC邊與點(diǎn)E.
（1）當(dāng)點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)時，求BE的長；
（2）當(dāng)PD=PE時，求AP的長；
（3）設(shè)AP 的長為，四邊形CDPE的面積為，請直接寫出與的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍.
6.如圖，在中，，，，現(xiàn)有一個動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為ts，的面積為S，求：
（1）S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）當(dāng)時，求線段PQ的長；
（3）當(dāng)t為何值時，？
【方法三】差異對比法
易錯點(diǎn)：忽略了二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況
7.（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
【方法四】 成果評定法
一、單選題
1．（2023上·陜西咸陽·九年級校考階段練習(xí)）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是( )
A．B． C．D．
2．（2023上·山西大同·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一個正方體的邊長為，它的表面積為，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（ ）

A．B．C．D．
3．（2024下·九年級課時練習(xí)）若是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．0C．2D．
4．（2023上·北京朝陽·九年級?？计谥校┱襟w的棱長為x，表面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·九年級課時練習(xí)）某商店購進(jìn)某種商品的價格是7.5元/件，在一段時間里，單價是13.5元，銷售量是500件，而單價每降低1元就可多售出200件，當(dāng)銷售價為元/件（）時，獲取利潤元，則與的函數(shù)關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．以上答案都不對
6．（2023上·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2023年第一季度總值約為2.6千億元人民幣，若我市第三季度總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023上·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某種產(chǎn)品的成本價為30元/千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關(guān)系：．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）正方形的邊長為3，若邊長增加，則面積增加，與的關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023上·河南周口·九年級?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象是拋物線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．且
10．（2023上·北京·九年級北京八中?？计谥校┤鐖D，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿運(yùn)動至點(diǎn)．設(shè)，，四邊形的面積為，在運(yùn)動過程中，下列說法正確的是（ ）
A．y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且S存在最大值
B．y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且S存在最小值
C．y與x滿足反比例函數(shù)關(guān)系，S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且S存在最大值
D．y與x滿足反比例函數(shù)關(guān)系，S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且S存在最小值
二、填空題
11．（2011上·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）下列函數(shù)①；②；③；④；⑤．其中是二次函數(shù)的是 ．
12．（2023上·甘肅定西·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，則 ．
13．（2022上·北京朝陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形綠地的長和寬分別為和．若將該綠地的長、寬各增加，擴(kuò)充后的綠地的面積為，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系是 ．（填“正比例函數(shù)關(guān)系”、“一次函數(shù)關(guān)系”或“二次函數(shù)關(guān)系”）
14．（2023上·四川南充·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）二次函數(shù)的二次項(xiàng)是 ，一次項(xiàng)系數(shù)是 ，常數(shù)項(xiàng)是 ．
15．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用長為30米的柵欄圍成一個矩形花壇，其中一邊長為x米，面積為y平方米，則y與x的函數(shù)關(guān)系為 （不要求寫自變量取值范圍）．
16．（2023上·遼寧·九年級統(tǒng)考期中）某工廠本年度的產(chǎn)值為100萬元，若在今后兩年里產(chǎn)值的年增長率均為x，兩年后的產(chǎn)值為y萬元．那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是 ．
17．（2023上·山西太原·九年級山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）相框邊的寬窄影響可放入相片的大小．如圖，相框長，寬，相框邊的寬為，相框內(nèi)的面積是，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 ．
18．（2023上·廣東廣州·九年級廣州四十七中校考階段練習(xí)）正方形邊長，若邊長增加，增加后正方形的面積為，與的函數(shù)關(guān)系式為 ．
三、解答題
19．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）當(dāng)為何值時，函數(shù)是二次函數(shù)．
20．（2023上·山東棗莊·九年級滕州育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時，求的值：
(2)當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時，求的值．
21．（2023上·北京石景山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，射線于點(diǎn)C，E是線段上一點(diǎn)，F(xiàn)是射線上一點(diǎn)，且滿足．

(1)若，求的長；
(2)設(shè)，，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
22．（2023上·山東日照·九年級統(tǒng)考期中）已知方程（m為常數(shù)）．
(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
(2)，是原方程的兩根，且，求m的值．
(3)若函數(shù)（m為常數(shù)）不論m為何值，該函數(shù)的圖像都會經(jīng)過一個定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)．
23．（2023上·福建泉州·九年級?？计谥校┮ㄈ鐖D所示兩個長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，雞場的一邊靠著原有的一條墻長，另外的邊用竹籬笆圍成，已知籬笆總長為，且在邊上開一扇長為的門，在邊上開一扇長為的門，若設(shè)雞場的長為．
(1)的長為_____________（用含的代數(shù)式表示）
(2)若兩個雞場的總面積為，求S與的函數(shù)關(guān)系式
(3)能否圍成總面積為的兩個長方形養(yǎng)雞場？若能，求出的長；若不能，請說明理由．
24．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級?？计谥校┤鐖D，利用一面墻（墻的長度為），用長的籬笆圍成兩個雞場，中間用一道籬笆隔開，每個雞場均留一道寬的門，設(shè)的長為．
(1)若兩個雞場的面積和為，求關(guān)于的關(guān)系式；
(2)兩個雞場面積和可以等于（）嗎？如果可以，求出此時的值．

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