倍速學習四種方法
【方法一】 脈絡梳理法
知識點1.確定圓的條件
知識點2.直線和圓的位置關系（重點）
知識點3.切線的性質(zhì)（重點）
知識點4.圓的切線的判定（難點）
知識點5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心（重點）
【方法二】 實例探索法
題型1.確定已知圓的圓心
題型2.證明多點共圓
題型3.判斷直線與圓的位置關系
題型4.直線和圓的位置關系與平面直角坐標系的綜合應用
題型5.切線的性質(zhì)與判定的綜合應用
題型6.三角形內(nèi)切圓的計算與證明
題型7.探究題
題型8.直線和圓的位置關系與函數(shù)的綜合
【方法三】成果評定法
【學習目標】
掌握確定一個圓的條件，能畫出三角形的外接圓。
會求出特殊三角形的外接圓的半徑。
3.掌握直線和圓的位置關系，能用數(shù)量關系來判斷直線與圓的位置關系。
4.理解切線的性質(zhì)及判定，能運用切線的性質(zhì)解決問題。
【知識導圖】
【倍速學習五種方法】
【方法一】脈絡梳理法
知識點1.確定圓的條件
不在同一直線上的三點確定一個圓．
注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．
【例1】．（2022秋?鹽都區(qū)期中）下列說法正確的是（ ）
A．等弧所對的圓心角相等
B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等
C．過三點可以畫一個圓
D．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧
【變式】．（2022秋?江寧區(qū)校級月考）下列說法：①長度相等的弧是等弧；②相等的圓心角所對的弧相等；③直徑是圓中最長的弦；④經(jīng)過不在同一直線上的三個點A、B、C只能作一個圓．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
知識點2.直線和圓的位置關系（重點）
(1) 相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．
(2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．
(3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉化為直線和點(圓心)的位置關系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．
要點詮釋：
這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關系的判定．
【例2】（2022秋?宜興市期末）已知⊙O的半徑為6cm，點O到直線l的距離為7cm，則直線l與⊙O的位置關系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無法確定
【變式】．（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，圓心O到直線l的距離d＝4，則直線l與⊙O的位置關系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．平行
知識點3.切線的性質(zhì)（重點）
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．
③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的性質(zhì)可總結如下：
如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質(zhì)的運用
由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．
【例3】如圖，圓O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，∠A=25°，過點C作圓O的切線，交AB的延長線于點D，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【變式】．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，連接BC，PA．若∠P＝36°，且PA與⊙O相切，則此時∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
知識點4.圓的切線的判定（難點）
（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（2）在應用判定定理時注意：
①切線必須滿足兩個條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．
②切線的判定定理實際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結論直接得出來的．
③在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．
要點詮釋：
切線的判定定理中強調(diào)兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可.
【例4】．（2023?沛縣模擬）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．
【變式】如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，點E在邊AC上，且滿足ED=EA．
（1）求∠DOA的度數(shù)；
（2）求證：直線ED與⊙O相切．
知識點5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心（重點）
1.三角形的內(nèi)切圓：
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.
2．三角形的內(nèi)心：
三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.
要點詮釋：
(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；
(2) 解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).
(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：
【例5】（2023?泗陽縣一模）《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為八步，股（長直角邊）長為十五步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”此問題中，該內(nèi)切圓的直徑長是（ ）
A．3步B．5步C．6步D．8步
【方法二】實例探索法
題型1.確定已知圓的圓心
1．在平面直角坐標系中有A，B，C三點，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個圓同時經(jīng)過這三點，則圓心坐標為 ．
2．（2022春?射陽縣校級期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為 ．
題型2.證明多點共圓
3.如圖，在中，，，的中點為O．求證：A，B，C，D四點在以O為圓心的圓上．

4．如圖所示，BD，CE是△ABC的高，求證：E，B，C，D四點在同一個圓上．
5．已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點．
(1)線段與有何關系．說明理由；
(2)延長、交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上．說明理由．
題型3.判斷直線與圓的位置關系
6．（2022春·九年級課時練習）如圖，已知⊙O的半徑為5cm，點O到直線l的距離OP為 7cm．
（1）怎樣平移直線l，才能使l與⊙O相切？
（2）要使直線l與⊙O相交，設把直線l向上平移 xcm，求x的取值范圍
7．（2022春·全國·九年級專題練習）已知的半徑為，點到直線的距離為，且直線與相切，若，分別是方程的兩個根，求的值．
題型4.直線和圓的位置關系與平面直角坐標系的綜合應用
8．（2023?建鄴區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標是（4，5），⊙P與x軸相切，點A，B在⊙P上，它們的橫坐標分別是0，9．若⊙P沿著x軸向右作無滑動的滾動，當點B第一次落在x軸上時，此時點A的坐標是（ ）
A．（7+2π，9）B．（7+2.5π，9）C．（7+2π，8）D．（7+2.5π，8）
9．（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）如圖，半徑為10的⊙M經(jīng)過x軸上一點C，與y軸交于A、B點，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．
（1）判斷⊙M與x軸的位置關系，并說明理由；
（2）求AB的長．
題型5.切線的性質(zhì)與判定的綜合應用
10．（2023?邗江區(qū)二模）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O過B、C兩點，且AB是⊙O的切線，連接AO交劣弧BC于點P．
（1）證明：AC是⊙O的切線；
（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半徑．
11．已知AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一個動點，連接OP，CP．
（1）如圖①，△OPC的最大面積是 ；
（2）如圖②，延長PO交⊙O于點D，連接DB，當CP＝DB時，求證：CP是⊙O的切線．
題型6.三角形內(nèi)切圓的計算與證明
12．（2023?靖江市模擬）等腰三角形的底邊長為12，腰長為10，該等腰三角形內(nèi)心和外心的距離為 ．
13．（2023?沭陽縣一模）如圖⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D，E，F(xiàn)，其中AB＝6，BC＝9，AC＝11，若MN與⊙O相切與G點，與AC，BC相交于M，N點，則△CMN的周長等于 ．
題型7.探究題
14．如圖，在梯形中，AD∥BC，，，，，為的直徑，動點從點開始，沿邊向點以的速度運動，點從點開始，沿邊向點以的速度運動，點、分別從點、出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為秒．
（1）當為何值時，四邊形是平行四邊形?
（2）當為何值時，直線與相切?
題型8.直線和圓的位置關系與函數(shù)的綜合
15．（2022春·九年級課時練習）如圖，已知直線y＝x﹣6與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P是以C（0，3）為圓心，3為半徑的圓上一動點，連結PA、PB．
（1）求圓心C到直線AB的距離；
（2）求△PAB面積的最大值．
16．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，P為正比例函數(shù)圖象上的一個動點，⊙P的半徑為3，設點P的坐標為（x、y）．
（1）求⊙P與直線x=2相切時點P的坐標．
（2）請直接寫出⊙P與直線x=2相交、相離時x的取值范圍．
17．（2023·全國·九年級專題練習）新定義：在平面直角坐標系xOy中，若幾何圖形G與⊙A有公共點，則稱幾何圖形G為⊙A的關聯(lián)圖形，特別地，若⊙A的關聯(lián)圖形G為直線，則稱該直線為⊙A的關聯(lián)直線．如圖1，∠M為⊙A的關聯(lián)圖形，直線l為⊙A的關聯(lián)直線．
（1）已知⊙O是以原點為圓心，2為半徑的圓，下列圖形：
①直線y＝2x+2；②直線y＝﹣x+3；③雙曲線y＝，是⊙O的關聯(lián)圖形的是 （請直接寫出正確的序號）．
（2）如圖2，⊙T的圓心為T（1，0），半徑為1，直線l：y＝﹣x+b與x軸交于點N，若直線l是⊙T的關聯(lián)直線，求點N的橫坐標的取值范圍．
（3）如圖3，已知點B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I經(jīng)過點C，⊙I的關聯(lián)直線HB經(jīng)過點B，與⊙I的一個交點為P；⊙I的關聯(lián)直線HD經(jīng)過點D，與⊙I的一個交點為Q；直線HB，HD交于點H，若線段PQ在直線x＝6上且恰為⊙I的直徑，請直接寫出點H橫坐標h的取值范圍．
【方法三】 成果評定法
一．選擇題（共8小題）
1．（2023秋?古冶區(qū)期中）如圖，線段是的直徑，是的弦，過點作的切線交的延長線于點，，則
A．B．C．D．
2．（2023秋?長春期末）已知點是外一點，且的半徑為6，則的長可能為
A．2B．4C．6D．8
3．（2023?江西）如圖，點，，，均在直線上，點在直線外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為
A．3個B．4個C．5個D．6個
4．（2023秋?海曙區(qū)期中）下列說法正確的是
A．平分弦的直徑垂直于弦
B．不在同一直線上的三點確定一個圓
C．直徑是弦，弦是直徑
D．長度相等的弧是等弧
5．（2022秋?谷城縣期末）中，，，，以點為圓心，為半徑作，則正確的是
A．當時，直線與相交B．當時，直線與相離
C．當時，直線與相切D．當時，直線與相切
6．（2023秋?南開區(qū)期末）如圖，的內(nèi)切圓分別與，，相切于點，，，且，，則的周長為
A．16B．14C．12D．10
7．（2023?浠水縣校級模擬）如圖，為的外心，四邊形為正方形．以下結論：①是的外心；②是的外心；③直線與的外接圓相切．其中所有正確結論的序號是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．（2023秋?鹽都區(qū)期中）如圖，直線、相交于點，，半徑為的的圓心在直線上，且位于點左側的距離處．如果以的速度沿由向的方向移動，那么 秒鐘后與直線相切．
A．3B．7C．3或7D．6或14
二．填空題（共8小題）
9．（2023?泗洪縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，點，，都在格點上，過，，三點作一圓弧，則圓心的坐標是 ．
10．（2023秋?舒蘭市期末）若的面積為，在同一平面內(nèi)有一點，若，則點在 （填內(nèi)或上或外）．
11．（2023秋?長春期末）如圖，是的切線，是切點，連結、．若，則的大小為 度．
12．（2023秋?黑龍江期末）若一直角三角形外接圓的半徑為2.5，則這個直角三角形的斜邊長為 ．
13．（2023秋?日喀則市期末）如圖，，是的切線，，點（不與，重合）是上任意一點，則的度數(shù)為 ．
14．（2023秋?郾城區(qū)期中）如圖，，分別與相切于點，，為的直徑，若，則的形狀是 ．
15．（2023秋?青秀區(qū)月考）如圖，在等邊三角形中，，若的半徑為1，為邊上一動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為 ．
16．（2022秋?海珠區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，半徑為2的的圓心從點（點在直線上）出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線運動，設點運動的時間為秒，則當 時，與坐標軸相切．
三．解答題（共5小題）
17．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在中，，點為邊上一點，以點為圓心，長為半徑的圓與邊相交于點，連接，且．
（1）求證：為的切線；
（2）若，，求半徑的長．
18．（2023秋?中山區(qū)校級月考）如圖1，一個圓形噴水池的中央是上下底面均為圓的幾何體，噴水池內(nèi)安裝了豎直的噴水管，頂端的噴水頭距水池底部0.2m，噴出的水柱呈拋物線形，其最高點距水池底部2.6m，與水管的水平距離為2m，水柱的落點恰好在上底面的圓心處．如圖2，以下底面圓的圓心O為原點，下底面圓心O與一個噴水頭的底部B所在直線為x軸，下、上兩圓圓心O，C所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．測得上下底面的高度OC為2m，噴水頭的底部B與下底面圓上點的最近距離BD為2.5m，那么底面圓的半徑OD的長是多少？
19．（2023秋?黑龍江期末）如圖，中，，為邊上一點，以為直徑作，是的切線，過點作交的延長線于點，交于點，連接，．
（1）求證：平分；
（2）求證．
20．（2023秋?潮南區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，⊙O經(jīng)過點A，且與邊BC相切于M點，⊙O過CD邊上的點N，且CM＝CN．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若BE＝2，AE＝6，求BC的長．
21．（2023秋?訥河市期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，∠DCA＝∠B．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若DE⊥AB于點E，DE交AC于點F，且CD＝6，ED＝9，求EF的長．
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點
(1) 到三角形三個頂點的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點
(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

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6 直線與圓的位置關系

版本： 北師大版（2024）

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