初中北師大版（2024）第二章二次函數(shù)4 二次函數(shù)的應(yīng)用課后測評-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

倍速學(xué)習(xí)四種方法
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識點(diǎn)1.最大面積問題（重點(diǎn)）
知識點(diǎn)2.最大利潤問題（難點(diǎn)）
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.運(yùn)動中的二次函數(shù)問題
題型2.二次函數(shù)與建筑問題
題型3.分段函數(shù)問題
題型4.動點(diǎn)問題
【方法三】差異對比法
易錯點(diǎn)：混淆銷售利潤各量之間的關(guān)系而導(dǎo)致錯誤
【方法四】成果評定法
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
能運(yùn)用二次函數(shù)解決最大面積（高度）問題
能建立二次函數(shù)模型解決最大利潤問題。
能從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)，并能運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題。
重點(diǎn)：利用二次函數(shù)解決最大面積，最大高度、最大利潤問題。
難點(diǎn)：二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
【倍速學(xué)習(xí)四種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識點(diǎn)1.最大面積問題（重點(diǎn)）
求解二次函數(shù)與面積結(jié)合的問題時(shí)，基本方法上與利潤最大化是相同的，也是通過配方的方式求解相關(guān)面積的最值，當(dāng)然也需要注意自變量的取值范圍．
而與利潤最大化問題不同的是，面積問題中可能會涉及到三角形、四邊形或者圓等圖形，也可能會出現(xiàn)動點(diǎn)與面積相結(jié)合的類型，變化較多．
【例1】．（2023秋?南開區(qū)期末）如圖1，有長為的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為，圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃．設(shè)花圃的寬為（寬不大于長，面積為．
（Ⅰ）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（Ⅱ）請求出花圃能圍成的最大面積，并寫出此時(shí)的值；
（Ⅲ）如圖2，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在上用其他材料做了寬均為的兩扇小門，能否使圍成的花圃面積為？如果能，請直接寫出花圃寬和長的值；如果不能，請說明理由．
【變式1】．（2022秋?龍巖期末）如圖，現(xiàn)打算用的籬笆圍成一個“日”字形菜園（含隔離欄，菜園的一面靠墻，墻可利用的長度為．（籬笆的寬度忽略不計(jì)）
（1）菜園面積可能為嗎？若可能，求邊長的長，若不可能，說明理由．
（2）因場地限制，菜園的寬度不能超過，求該菜園面積的最大值．
【變式2】．（2023?淮陰區(qū)一模）如圖，中，，，為中點(diǎn)，、是邊、上的動點(diǎn)，從出發(fā)向運(yùn)動，同時(shí)以相同的速度從出發(fā)向運(yùn)動，運(yùn)動到停止，當(dāng)為時(shí)，的面積最大．
知識點(diǎn)2.最大利潤問題（難點(diǎn)）
求解二次函數(shù)與利潤最大化的問題，主要是根據(jù)題意列出相關(guān)的二次函數(shù)解析式，再通過配方的方式求解最大值．
這是一種實(shí)際應(yīng)用的題型，需根據(jù)自變量的實(shí)際意義確定函數(shù)的定義域，在求解最大值時(shí)，也需注意自變量的取值范圍．
【例2】．（2023秋?鼓樓區(qū)校級月考）一人一盔安全守規(guī)，一人一戴平安常在，某電動自行車配件店經(jīng)市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)進(jìn)價(jià)為40元的新款頭盔每月的銷售量（件與售價(jià)（元成一次函數(shù)關(guān)系．
（1）若物價(jià)局規(guī)定，該頭盔最高售價(jià)不得超過100元，當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，利潤達(dá)到5600元；
（2）若獲利不得高于進(jìn)價(jià)的，那么售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少元？
【變式】．（2023?宿遷）某商場銷售、兩種商品，每件進(jìn)價(jià)均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元．
（1）求、兩種商品的銷售單價(jià)；
（2）經(jīng)市場調(diào)研，種商品按原售價(jià)銷售，可售出40件，原售價(jià)每降價(jià)1元，銷售量可增加10件；種商品的售價(jià)不變，種商品售價(jià)不低于種商品售價(jià)．設(shè)種商品降價(jià)元，如果、兩種商品銷售量相同，求取何值時(shí)，商場銷售、兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.運(yùn)動中的二次函數(shù)問題
1．（2022?連云港）如圖，一位籃球運(yùn)動員投籃，球沿拋物線y＝﹣0.2x2+x+2.25運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m，則他距籃筐中心的水平距離OH是 m．
2．（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝ m．
題型2.二次函數(shù)與建筑問題
3．（2022秋?姜堰區(qū)期末）蘇北里下河水鄉(xiāng)溱潼鎮(zhèn)，過去有著“出門就過河”的歷史，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，橋梁逐漸增多，其中以新讀書址大橋最為壯觀．現(xiàn)測得其中一鋼架跨徑為，拱高，每隔有一根立柱．
（1）該鋼架可以看作一個二次函數(shù)的圖象，如圖2所示，請建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并寫出這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求制作圖2中這七根立柱共需要多長的不銹鋼管．
4．（2023秋?新城區(qū)校級期中）一座拱橋的示意圖如圖2所示，當(dāng)水面寬為16米時(shí)，橋洞頂部離水面4米．已知橋洞的拱橋是拋物線，請嘗試解決以下問題：
（1）建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的表達(dá)式；
（2）由于暴雨導(dǎo)致水位上漲了2米，求此時(shí)水面的寬度；
（3）已知一艘貨船的高為2.6米，寬為3.2米，其截面如圖3所示．為保證這艘貨船可以安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎(chǔ)上最多能上升多少米？（結(jié)果精確到
題型3.分段函數(shù)問題
5．（2023秋?西山區(qū)校級月考）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，它的對稱軸為直線，對稱軸與軸交于點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)．
（1）求，的值；
（2）若點(diǎn)為拋物線上不與，重合的點(diǎn)，且，求證：，，三點(diǎn)共線；
（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，并且滿足，求的值．
題型4.動點(diǎn)問題
6．（2023?靖江市模擬）我們將拋物線，且與拋物線稱之為“輪換拋物線”．例如：拋物線與拋物線就是一組輪換拋物線．已知拋物線，其輪換拋物線記作．
（1）若與交于軸上的同一點(diǎn)，求的值；
（2）在（1）的條件下且，拋物線與其輪換拋物線的另一個交點(diǎn)記作點(diǎn)，若將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線的圖象上，求出此時(shí)的值；
（3）小明同學(xué)閱讀了《蘇科版（數(shù)學(xué)）》課本九年級下冊頁《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室》介紹的用幾何畫板畫二次函數(shù)圖象內(nèi)容后，自己動手畫了拋物線及其輪換拋物線的圖象，與與軸的交點(diǎn)分別記作、、兩點(diǎn)不重合）．小明發(fā)現(xiàn)，不論、為何值時(shí)，兩拋物線始終有一交點(diǎn)點(diǎn)在與軸垂直的某一固定直線上運(yùn)動．若，記，求的最大值．
7．（2023?姜堰區(qū)一模）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】如圖，拋物線與軸分別交于、兩點(diǎn)、分別在原點(diǎn)左右兩側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，過點(diǎn)、點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)、點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，連接、、，試探究、、、之間的數(shù)量關(guān)系．為探究該問題，擬采用研究問題的一般路徑一一由特殊到一般的研究方式：
（1）設(shè)，，．
①若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，計(jì)算：，；
比較大小：（填“”、“ ”或“” ．
②若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，上述、之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
小明在研究該問題時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、時(shí)，將拋物線解析式變形為，研究此問題更加方便．
請借助小明的發(fā)現(xiàn)驗(yàn)證你的猜想．
（2）請利用上述解決問題的經(jīng)驗(yàn)，解決項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中的問題；
（3）若，直接寫出的取值范圍．
8．（2023?武進(jìn)區(qū)一模）已知：如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若為拋物線上一點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是位于、兩點(diǎn)之間的拋物線上一點(diǎn)，，，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
9．（2023?梁溪區(qū)一模）如圖，將二次函數(shù)的圖象沿軸翻折，然后向右平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到二次函數(shù)的圖象．函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，和軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）從，，三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)和點(diǎn)構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，是三邊上的動點(diǎn)，是否存在以為斜邊的，使的面積為面積的？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
【方法三】差異對比法
易錯點(diǎn)：混淆銷售利潤各量之間的關(guān)系而導(dǎo)致錯誤
10．（2023?洪澤區(qū)二模）某商店購入一批產(chǎn)品進(jìn)行銷售，進(jìn)價(jià)為10元件，計(jì)劃采取線上和線下兩種方式進(jìn)行銷售．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線下的月銷售量件與售價(jià)元件滿足一次函數(shù)的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若線上售價(jià)保持比線下每件少2元，且線上的月銷量都是700件．當(dāng)線下售價(jià)為多少時(shí)，線上與線下的月總利潤最大？最大利潤是多少？
【方法四】成果評定法
一．選擇題（共9小題）
1．（2023秋?渾江區(qū)期末）一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度（單位：與水平距離（單位：之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是．
A．8B．9C．10D．11
2．（2022秋?高碑店市期末）用總長為米的材料做成如圖1所示的矩形窗框，設(shè)窗框的寬為米，窗框的面積為平方米，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2，則的值是
A．16B．12C．8D．4
3．（2022秋?東明縣期末）將進(jìn)貨價(jià)格為35元的商品按單價(jià)40元售出時(shí)，能賣出200個．已知該商品單價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少5個．設(shè)這種商品的售價(jià)上漲元時(shí)，獲得的利潤為元，則下列關(guān)系式正確的是
A．B．
C．D．
4．（2023秋?瓊山區(qū)校級期中）運(yùn)動會上，某運(yùn)動員擲鉛球時(shí)，所擲的鉛球的高與水平的距離之間的函數(shù)關(guān)系式為，則該運(yùn)動員的成績是
A．B．C．D．
5．（2023秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，小球的飛行高度（單位：與飛行時(shí)間（單位：具有的函數(shù)關(guān)系，下列解釋正確的是
A．小球的飛行高度為時(shí)，小球飛行的時(shí)間是
B．小球飛行時(shí)飛行高度為，并將繼續(xù)上升
C．小球從飛出到落地要用
D．小球的飛行高度可以達(dá)到
6．（2023秋?西山區(qū)校級期中）某種禮炮的升空高度與飛行時(shí)間的關(guān)系式是．若這種禮炮在點(diǎn)火升空到最高點(diǎn)引爆，則從點(diǎn)火升空到引爆需要的時(shí)間為
A．B．C．D．
7．（2023秋?南開區(qū)期末）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：與小球運(yùn)動時(shí)間（單位：之間的函數(shù)關(guān)系為，其中．有下列結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，小球運(yùn)動到最大高度；
②當(dāng)小球的運(yùn)動高度為時(shí)，運(yùn)動時(shí)間為或；
③小球運(yùn)動中的最大高度為；
④小球從拋出到落地需要．
其中正確的結(jié)論有
A．1個B．2個C．3個D．4個
8．（2023秋?朝陽區(qū)校級期中）如表記錄了二次函數(shù)中兩個變量與的5組對應(yīng)值，其中．
若當(dāng)時(shí)，直線與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍是
A．B．C．D．
9．（2023秋?廬陽區(qū)校級月考）如圖，一座拱橋的輪廓是拋物線型，拱高8米，跨度24米，相鄰兩支柱間的距離均為6米，則支柱的長度為
A．6米B．5米C．4.5米D．4米
二．填空題（共6小題）
10．（2022秋?新化縣期末）某商店從廠家以每件30元的價(jià)格購回一批商品，該商店可自行定價(jià)．若每件商品售價(jià)為元，則可賣出件，但物價(jià)部門限定每件商品加價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的，如果要使商店獲得利潤最多，每件商品定價(jià)應(yīng)為元．
11．（2023?沭陽縣模擬）小敏在今年的校運(yùn)動會跳高比賽中跳出了滿意一跳，函數(shù)的單位：，的單位：可以描述他跳躍時(shí)重心高度的變化，則他起跳后到重心最高時(shí)所用的時(shí)間是．
12．（2023秋?大東區(qū)期末）如圖，有一矩形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻（墻足夠長），另三邊用16米的長籬笆圍成，則矩形面積的最大值是．
13．（2023?谷城縣模擬）飛機(jī)著陸后滑行的距離（單位：關(guān)于滑行的時(shí)間（單位：的函數(shù)解析式是，飛機(jī)著陸后滑行米才能停下來．
14．（2023秋?宣化區(qū)期中）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面時(shí)，水面寬，水面上升，水面寬度減少．
15．（2023秋?長春期末）雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的研究對象一一拋物線．在如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，傘柄在軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)為傘骨、的交點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上，、關(guān)于軸對稱．分米，點(diǎn)到軸的距離是0.6分米，、兩點(diǎn)之間的距離是4分米．分別延長、交拋物線于點(diǎn)、，則雨傘撐開時(shí)的最大直徑的長為分米．
三．解答題（共4小題）
16．（2023秋?雙峰縣期末）某店只銷售某種進(jìn)價(jià)為40元的產(chǎn)品，已知該店按60元出售時(shí)，每天可售出，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，則每天的銷售量可增加．
（1）若該店銷售這種產(chǎn)品計(jì)劃每天獲利2240元，單價(jià)應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）當(dāng)單價(jià)降低多少元時(shí)，該店每天的利潤最大，最大利潤是多少元？
17．（2022秋?丹江口市期末）疫情期間，按照防疫要求，學(xué)生在進(jìn)校時(shí)必須排隊(duì)接受體溫檢測．實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組統(tǒng)計(jì)了學(xué)生早晨到校情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生到校的累計(jì)人數(shù)y（單位：人）隨時(shí)間x（單位：分鐘）的變化y可看作是x的二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（351225），其中0≤x≤35．校門口有一個體溫檢測棚，每分鐘可檢測48人．
（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）校門口排隊(duì)等待體溫檢測的學(xué)生人數(shù)最多時(shí)有多少人？
（3）檢測體溫到第2分鐘時(shí)，為減少排隊(duì)等候時(shí)間，學(xué)校在校門口臨時(shí)增設(shè)一個人工體溫檢測點(diǎn)．已知人工每分鐘可檢測12人，人工檢測多長時(shí)間后，校門口不再出現(xiàn)排隊(duì)等待的情況（直接寫出結(jié)果）．
18．（2023秋?紅橋區(qū)期末）小紅和小琪在玩沙包游戲，某同學(xué)借此情境編制了一道數(shù)學(xué)題，請解答這道題．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個單位長度代表長．小紅在點(diǎn)處將沙包（看作點(diǎn)）拋出，其運(yùn)動的路線為拋物線為常數(shù)，的一部分，小琪恰在點(diǎn)處接住沙包，然后跳起在點(diǎn)處將沙包回傳，其運(yùn)動的路線為拋物線為常數(shù)）的一部分．
（Ⅰ）寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求出，的值；
（Ⅱ）若小紅在軸右側(cè)、距離軸的位置上，且與點(diǎn)的垂直距離小于的范圍內(nèi)可以接到回傳的沙包，求的整數(shù)值；
（Ⅲ）若小紅在軸上方、距離軸的高度上，且與點(diǎn)的水平距離不超過的范圍內(nèi)可以接到回傳的沙包，求的整數(shù)值（直接寫出結(jié)果即可）．
19．（2023秋?長春期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為．以為對角線作矩形，軸．
（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而減小時(shí)，的取值范圍為．
（3）設(shè)拋物線在矩形內(nèi)部的圖象（包括邊界）的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）設(shè)這條拋物線的頂點(diǎn)為，的面積為．當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．
（元件）
10
11
12
13
14
（件
900
850
800
750
700
5
0
0

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