體會(huì)二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；掌握用圖象法求方程的近似根；理解二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，及何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，兩個(gè)相等的實(shí)根和沒有實(shí)根；理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)y=h（h是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
學(xué)習(xí)重點(diǎn):
本節(jié)重點(diǎn)把握二次函數(shù)圖象與x軸（或y=h）交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系．掌握此點(diǎn)，關(guān)鍵是理解二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c圖象與x軸交點(diǎn)，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，從而轉(zhuǎn)化為方程的根，再應(yīng)用根的判別式，求根公式判斷，求解即可，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是二次函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，在其考查中也有重要的地位．
學(xué)習(xí)難點(diǎn):
應(yīng)用一元二次方程根的判別式，及求根公式，來對(duì)二次函數(shù)及其圖象進(jìn)行進(jìn)一步的理解．此點(diǎn)一定要結(jié)合二次函數(shù)的圖象加以記憶．
學(xué)習(xí)過程:
一、實(shí)例講解：
我們已經(jīng)知道,豎直上拋物體的高度h(m)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)的關(guān)系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是拋出時(shí)的高度,v0(m/s)是拋出時(shí)的速度.一個(gè)小球從地面以40m/s的速度豎直向上拋出起,小球的高度h(m)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)的關(guān)系如圖所示,那么
(1).h和t的關(guān)系式是什么？
(2).小球經(jīng)過多少秒后落地?你有幾種求解方法?與同伴進(jìn)行交流.
二、議一議：
在同一坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象并回答下列問題：
(1).每個(gè)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個(gè)根?驗(yàn)證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?
(3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?
三、例題：
【例1】已知二次函數(shù)y=kx2－7x－7的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為．
【例2】拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A（－3，0），對(duì)稱軸為x=－1，頂點(diǎn)C到x軸的距離為2，求此拋物線表達(dá)式．
【例5】有一個(gè)二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點(diǎn)：
甲：對(duì)稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；
丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3．
請寫出滿足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式．
四、隨堂練習(xí)：
1．求下列二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，并作草圖驗(yàn)證．
（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．
2．你能利用a，b，c之間的某種關(guān)系判斷二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象與x軸何時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)，何時(shí)沒有交點(diǎn)？
五、課后練習(xí)：
1．拋物線y=a（x－2）（x＋5）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．
2．已知拋物線的對(duì)稱軸是x=－1，它與x軸交點(diǎn)的距離等于4，它在y軸上的截距是－6，則它的表達(dá)式為．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么拋物線y=ax2＋bx＋c經(jīng)過象限．
4．拋物線y=x2－2x＋3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
5．若拋物線y=2x2－（m＋3）x－m＋7的對(duì)稱軸是x=1，則m=．
6．拋物線y=2x2＋8x＋m與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m=．
7．已知拋物線y=ax2＋bx＋c的系數(shù)有a－b＋c=0，則這條拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
8．二次函數(shù)y=kx2＋3x－4的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍．
9．拋物線y=x2－2x＋a2的頂點(diǎn)在直線y=2上，則a的值是．
10．拋物線y=3x2＋5x與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．無
11．如圖1所示，函數(shù)y=ax2－bx＋c的圖象過（－1，0），則的值是（ ）
A．－3B．3C．D．－
12．已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖2所示，
則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
13．已知二次函數(shù)y=x2＋mx＋m－2．求證：無論m取何實(shí)數(shù)，拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
14．已知二次函數(shù)y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，圖象經(jīng)過原點(diǎn)？
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)k在何范圍取值時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第四象限內(nèi)？
15．已知拋物線y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）判斷點(diǎn)P（1，1）是否在拋物線上；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)Q及P點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)，并過P′、Q、P三點(diǎn)，畫出拋物線草圖．

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5 二次函數(shù)與一元二次方程

版本： 北師大版（2024）

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