北師大版（2024）八年級(jí)下冊(cè)3 分式的加減法隨堂練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.熟練掌握同分母的分式加減運(yùn)算；
2.會(huì)找最簡(jiǎn)公分母，能進(jìn)行分式通分，理解并掌握異分母分式的加減法則；
3.能進(jìn)行分式的混合運(yùn)算及較復(fù)雜的分式化簡(jiǎn)求值.
知識(shí)點(diǎn)01 分式的通分
分式的通分：利用分式的性質(zhì)，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴(kuò)大的倍數(shù)相應(yīng)擴(kuò)大，不改變分式的值。
具體步驟： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①通過(guò)短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴(kuò)大的倍數(shù); = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③分子對(duì)應(yīng)擴(kuò)大相同倍數(shù).
知識(shí)點(diǎn)02 最簡(jiǎn)公分母
最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．
知識(shí)點(diǎn)03 同分母分式的加減
同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．
知識(shí)點(diǎn)04 異分母分式的加減
異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減．
用式子表示為：．
注意：分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似.
知識(shí)點(diǎn)01 平面向量基本定理
知識(shí)點(diǎn)02 平面向量的坐標(biāo)表示
知識(shí)點(diǎn)03 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
題型01 同分母分式加減法
【例題】（2023上·四川成都·九年級(jí)棕北中學(xué)西區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）計(jì)算的結(jié)果是．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案．
【詳解】解：原式，
，
，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)同分母分式加減法進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)同分母分式加減法進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式加減運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)同分母分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）根據(jù)同分母分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了同分母分式的加減法以及平方差公式，熟練掌握同分母分式的加減法法則是解題的關(guān)鍵．
題型02 最簡(jiǎn)公分母
【例題】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)?？计谥校┓质脚c的最簡(jiǎn)公分母是______．
【答案】
【分析】先將分式的分母進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】∵，
∴分式與的最簡(jiǎn)公分母是．
故答案是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)公分母的定義，熟練掌握最簡(jiǎn)公分母的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）分式，，的最簡(jiǎn)公分母是_______．
【答案】
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義即可解答．
【詳解】解：分式、、的最簡(jiǎn)公分母是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)公分母，最簡(jiǎn)公分母的找法為：數(shù)字取最小公倍數(shù)，相同字母取最高次冪，只在一個(gè)分母中出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式．
2．（2023春·江蘇·八年級(jí)校考周測(cè)）的最簡(jiǎn)公分母是_________
【答案】
【分析】三個(gè)分式的分母均為多項(xiàng)式，故先將各個(gè)分母因式分解，然后再結(jié)合最簡(jiǎn)公分母的知識(shí)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：的最簡(jiǎn)公分母是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡(jiǎn)公分母的概念，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母．
題型03 通分
【例題】（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）通分：
(1)與； (2)與．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】先確定分式的最簡(jiǎn)公分母，再通分即可．
【詳解】（1）解：∵與的最簡(jiǎn)公分母是，
∴=，=；
（2）解：∵與的最簡(jiǎn)公分母是，
∴=，=．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的通分，解題的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）通分：
(1)， (2)，．
【答案】(1)和
(2)和
【分析】（1）（2）最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡(jiǎn)公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．依此即可求解．
【詳解】（1）∵兩個(gè)分式分母分別為，未知數(shù)系數(shù)的最小公倍數(shù)為，
∵a，b，c的最高次數(shù)為2，2，1，
∴最簡(jiǎn)公分母為，
將，通分可得：和；
（2），
∴最簡(jiǎn)公分母是，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了通分，規(guī)律方法總結(jié)：通分時(shí)若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡(jiǎn)公分母，最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡(jiǎn)公分母中的因式，要防止遺漏因式．
2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）通分：
(1)與； (2)，，；
(3)，，； (4)，．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)，，
(4)，
【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；
（2）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；
（3）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；
（4）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；
【詳解】（1）解：，．
（2）解：，
，
．
（3）解：，
，
．
（4）解：，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的通分，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型04 異分母分式加減法
【例題】（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考二模）計(jì)算：_______．
【答案】2
【分析】根據(jù)分式的加減法則，即可解答．
【詳解】解：，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，分式的加減法法則是：同分母分式相加減，只把分子相加減，分母不變；異分母分式相加減，先通分變?yōu)橥帜阜质?，再按同分母分式相加減的法則運(yùn)算，熟知上述法則是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）計(jì)算的結(jié)果是______．
【答案】/
【分析】根據(jù)異分母分式減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查異分母分式的減法運(yùn)算．熟練掌握其運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：
（1）_____________；
（2）___________．
【答案】
【分析】（1）（2）根據(jù)異分母分式減法計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：（1）
，
故答案為：；
（2），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了異分母分式減法，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
題型05 整式與分式相加減
【例題】（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)________．
【答案】
【分析】先通分，再根據(jù)同分母分式的加法法則計(jì)算即可
【詳解】解：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了分式和整式的減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）計(jì)算的結(jié)果是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則，先通分，再加減．
【詳解】解：原式．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．
2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是___________．
【答案】
【分析】先通分再化簡(jiǎn)即可．
【詳解】
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的減法運(yùn)算，平方差公式；當(dāng)分母不同時(shí)，要先通分化成同分母的分式，再相減，最后結(jié)果能約分的要約分．
題型06 已知分式恒等式，確定分子或分母
【例題】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若，則_________，_________．
【答案】 2 1
【分析】根據(jù)同分母分式的加減計(jì)算，再按對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同可得答案．
【詳解】解：
∴A=2，B=1
故答案為：2，1．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減，解題關(guān)鍵是掌握分式加法的運(yùn)算法則．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，則_________________．
【答案】7
【分析】根據(jù)題意可進(jìn)行通分，即，然后問(wèn)題可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
①+②得：；
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加法，熟練掌握分式的加法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）若恒成立，則A-B=__________．
【答案】2
【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再根據(jù)分式相等的條件即可求出所求．
【詳解】解：等式整理得，
∴
∴A-B＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，解題的關(guān)鍵是通分，對(duì)等式進(jìn)行整理，轉(zhuǎn)化為分母相同的形式，從而求解．
題型07 分式加減混合運(yùn)算
【例題】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1)1；
(2)
【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則求出即可；
（2）先把異分母的分式轉(zhuǎn)化成同分母的分式，再根據(jù)同分母分式的減法法則求出即可．
【詳解】（1）解：，===1；
（2）解：.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法則，能靈活運(yùn)用分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）分式的分母相同，直接相減進(jìn)行計(jì)算；
（2）分式的公分母為，先通分，在進(jìn)行計(jì)算；
（3）直接進(jìn)行通分，在進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，找公分母，通分是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）互為相反數(shù)，第二項(xiàng)的分母提取負(fù)號(hào)，化為同分母，直接根據(jù)同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算：分母不變，分子相加減；
（2）最簡(jiǎn)公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）把看成是一項(xiàng)，為，再通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）最簡(jiǎn)公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加減混合運(yùn)算，熟練掌握分式的加減混合運(yùn)算法則及因式分解是解題的關(guān)鍵．
題型08 分式加減的實(shí)際應(yīng)用
【例題】（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）八年級(jí)某班同學(xué)原來(lái)計(jì)劃租一倆大巴車(chē)去研學(xué)，大巴車(chē)的租價(jià)為800元，實(shí)際又增加了3名同學(xué)，租車(chē)價(jià)不變，若設(shè)原來(lái)計(jì)劃參加研學(xué)的同學(xué)共有x人，實(shí)際每個(gè)同學(xué)比原來(lái)少分?jǐn)傑?chē)費(fèi)______元．
【答案】
【分析】根據(jù)題意列出分式，然后進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解：實(shí)際每個(gè)同學(xué)比原來(lái)少分?jǐn)傑?chē)費(fèi)：
（元）．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出分式，熟練掌握分式加減運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）甲、乙兩港口分別位于長(zhǎng)江的上、下游，相距50千米，一艘輪船在靜水中的速度為a千米/時(shí)，水流的速度為b千米/時(shí)，輪船往返兩個(gè)港口一次共需______小時(shí).
【答案】
【分析】分別求出順流和逆流時(shí)的速度，利用路程、時(shí)間、速度之間的關(guān)系即可列式求解．
【詳解】解：輪船在靜水中的速度為a千米/時(shí)，水流的速度為b千米/時(shí)，
順流速度為千米/時(shí)，逆流速度為千米/時(shí)，
甲、乙兩港口分別位于長(zhǎng)江的上、下游，相距50千米，
輪船往返兩個(gè)港口一次共需時(shí)間為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是計(jì)算出輪船順流和逆流時(shí)的速度，根據(jù)路程、時(shí)間、速度之間的關(guān)系列出分式．
2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)校倡導(dǎo)全校師生開(kāi)展“全科閱讀”活動(dòng)，小亮每天堅(jiān)持讀書(shū)．原計(jì)劃用a天讀完b頁(yè)的書(shū)，如果要提前m天讀完，那么平均每天比原計(jì)劃要多讀__________頁(yè)．
【答案】
【分析】平均每天比原計(jì)劃要多讀的頁(yè)數(shù)=新工作效率-原工作效率．
【詳解】解：按原計(jì)劃每天讀頁(yè)，實(shí)際每天讀頁(yè)，
故每天比原計(jì)劃多讀的頁(yè)數(shù)是：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查分式加減的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的關(guān)系．
題型09 分式加減乘除混合運(yùn)算
【例題】（2023·河南漯河·統(tǒng)考二模）化簡(jiǎn)：．
【答案】
【分析】先通分括號(hào)內(nèi)的式子，然后計(jì)算括號(hào)外的除法，然后約分即可．
【詳解】解：
【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考二模）化簡(jiǎn)：
【答案】
【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序直接求解即可得到答案．
【詳解】解：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式混合運(yùn)算，涉及到因式分解、通分、約分及運(yùn)算順序，熟記相關(guān)運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：．
【答案】
【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，通分后利用同分母的分式運(yùn)算法則求解，然后將除法變成乘法，約分即可得到結(jié)果．
【詳解】解：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
3．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的部分，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分計(jì)算；
（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的部分，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分計(jì)算．
【詳解】（1）解：
；
（2）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
題型10 分式化簡(jiǎn)求值
【例題】（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．
【詳解】解：原式，
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）先化簡(jiǎn)，再求值：其中滿足方程．
【答案】，
【分析】運(yùn)用乘法公式，分式的性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再變形得，，代入計(jì)算即可求解．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，掌握乘法公式與分式混合運(yùn)算的綜合，方程的變形，代入求值等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中：
【答案】；
【分析】運(yùn)用因式分解，約分等化簡(jiǎn)，后代入求值即可．
【詳解】解：
；
當(dāng)時(shí)，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握因式分解，約分等化簡(jiǎn)技能是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．（23-24八年級(jí)上·天津紅橋·期末）計(jì)算的結(jié)果是（）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查的是分式的加減，先通分最簡(jiǎn)公分母是，再根據(jù)分母不變，把分子相加減約分后可得答案．
【詳解】解：原式
，
故選：A．
2．（22-23八年級(jí)上·貴州黔南·期末）分式，的最簡(jiǎn)公分母是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了最簡(jiǎn)公分母，先因式分解取系數(shù)的最小公倍數(shù)，字母的最高次冪，1，3的最小公倍數(shù)為3，的最高次冪為1，的最高次冪為1，則得出最簡(jiǎn)公分母．
【詳解】解：分式，，即，的分母中
1，3的最小公倍數(shù)為3，的最高次冪為1，的最高次冪為1，
所以，的最簡(jiǎn)公分母為，
故選：D．
3．（23-24八年級(jí)上·陜西延安·期末）下列分式計(jì)算正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
D、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
4．（22-23八年級(jí)上·貴州黔南·期末）某工廠接到一個(gè)訂單，生產(chǎn)x套防護(hù)服，原計(jì)劃每天生產(chǎn)y套．為了將這些防護(hù)服盡快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)了60套，則工廠完成這個(gè)訂單的時(shí)間比原計(jì)劃提前（）
A．天B．天C．天D．天
【答案】B
【分析】本題考查列代數(shù)式的知識(shí)，根據(jù)工作時(shí)間工作總量工作效率，表示出原計(jì)劃所用時(shí)間，以及現(xiàn)在所用時(shí)間，利用原計(jì)劃所用時(shí)間現(xiàn)在所用時(shí)間，即可解題．
【詳解】解：由題意得，原計(jì)劃所用時(shí)間為：天，
現(xiàn)在所用時(shí)間為：天，
工廠完成這個(gè)訂單的時(shí)間比原計(jì)劃提前天，
故選：B．
5．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）已知，計(jì)算的值是（）
A．1B．C．0.5D．
【答案】C
【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)分式的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算，化簡(jiǎn)后，利用整體代入法求值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴原式
；
故選C．
二、填空題
6．（2023八年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）計(jì)算：．
【答案】
【分析】本題考查了分式的加法，熟練掌握異分母的加法法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的加法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
，
故答案為：．
7．（23-24八年級(jí)上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）將分式和進(jìn)行通分時(shí)，最簡(jiǎn)公分母是
【答案】
【分析】本題考查了分式的通分；
先對(duì)分式的分母進(jìn)行因式分解，然后即可確定它們的最簡(jiǎn)公分母．
【詳解】解：∵，，
∴最簡(jiǎn)公分母是，
故答案為：．
8．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）若，，為常數(shù)，則的值為．
【答案】
【分析】本題考查了分式的加減法，先通分，然后進(jìn)行同分母分式加減運(yùn)算．通過(guò)通分得到分子的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，從而求得A、B的值，代入即可求出的值．
【詳解】
，
∵，
∴，
∴，，
解得，，
∴．
故答案為：1．
9．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）小剛在化簡(jiǎn)時(shí)，整式M看不清楚了，通過(guò)查看答案，發(fā)現(xiàn)得到的化簡(jiǎn)結(jié)果是，則整式M是．
【答案】/
【分析】本題主要考查了分式的加減法，由題意列出算式，利用分式的加減法法則解答即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵化簡(jiǎn)得到的結(jié)果是，
∴

，
∴．
故答案為：．
10．（23-24八年級(jí)上·湖北鄂州·期末）有一個(gè)計(jì)算程序，每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過(guò)程如下：
則第次運(yùn)算的結(jié)果．（用含字母的式子表示）
【答案】
【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，根據(jù)題目中的程序可以分別計(jì)算出、和，得到規(guī)律，從而可以解答本題．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，用代數(shù)式表示出．
【詳解】∵，
∴，
……
∴．
故答案為：．
三、解答題
11．（22-23八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）通分：
(1)與；
(2)與．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】本題考查了通分，解題的關(guān)鍵是找出兩個(gè)分式分母的最小公倍數(shù)．
（1）找出兩分母的最簡(jiǎn)公分母，通分即可；
（2）找出兩分母的最簡(jiǎn)公分母，通分即可．
【詳解】（1）解：最簡(jiǎn)公分母為，
；．
（2）解：最簡(jiǎn)公分母為，
故；．
12．（22-23八年級(jí)下·重慶沙坪壩·期中）化簡(jiǎn)：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算：先算括號(hào)里面的減法運(yùn)算，再乘除，然后約分．
（1）先進(jìn)行同分母的加法運(yùn)算，然后把分子因式分解后約分即可；
（2）先把括號(hào)內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后把分子分母因式分解后約分即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（22-23八年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分式的基本性質(zhì)變形后用同分母分式加法則計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的加減法，再計(jì)算除法即可．
【詳解】（1）
（2）
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減運(yùn)算和四則混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法是解題的關(guān)鍵．
14．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)
【分析】（1）按照同分母分式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先化為同分母分式，再計(jì)算即可；
（3）先通分化為同分母分式，再計(jì)算即可；
（4）先通分化為同分母分式，再計(jì)算即可；
【詳解】（1）解：原式．
（2）原式．
（3）
．
（4）
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的加減運(yùn)算，掌握分式的加減運(yùn)算的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
15．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先將分式進(jìn)行通分，按照整式的加減混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）利用平方差公式將分式進(jìn)行通分，按照整式的加減混合運(yùn)算法則計(jì)算，最后再約分即可；
（3）利用平方差公式將分式進(jìn)行通分，分母則按照十字相乘以及整式的加減乘除混合運(yùn)算計(jì)算即可；
（4）先將分式進(jìn)行約分，再按照整式的加減混合運(yùn)算計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
故答案為：．
（2）解：
故答案為：．
（3）解：
故答案為：．
（4）解：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，解題的關(guān)鍵需要熟練掌握分式加減法則，平方差公式的運(yùn)用．
16．（2024九年級(jí)下·山東·專題練習(xí)）下面是某同學(xué)計(jì)算的解題過(guò)程：
解：
……………………①
………………………②
………………………③
．……………………………④
上述解題過(guò)程從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出正確的解題過(guò)程．
【答案】從第①步開(kāi)始出錯(cuò)，正確的解題過(guò)程見(jiàn)詳解
【分析】本題考查分式的加減運(yùn)算，熟練掌握分式的通分是解題的關(guān)鍵，在運(yùn)算過(guò)程中還要注意符號(hào)的變化，根據(jù)分式加減運(yùn)算法則逐步進(jìn)行運(yùn)算即可得到答案．
【詳解】解：從第①步開(kāi)始出錯(cuò)．正確的解題過(guò)程如下：
解：
．
17．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，請(qǐng)從，0或2中選擇你喜歡的一個(gè)數(shù)代入求值．
【答案】，1
【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值；先對(duì)括號(hào)內(nèi)進(jìn)行通分運(yùn)算，同時(shí)對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解，再將除轉(zhuǎn)化為乘，進(jìn)行約分，結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式或整式，排除使得分式無(wú)意義的值，然后代值計(jì)算，即可求解；掌握分式化簡(jiǎn)的步驟，排除分式無(wú)意義的數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
，
，
且，
，
當(dāng)時(shí)，
原式．
18．（22-23八年級(jí)下·遼寧本溪·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．先對(duì)括號(hào)里的加法運(yùn)算進(jìn)行通分，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，約去分子分母中的公因式，化為最簡(jiǎn)形式；再利用實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算計(jì)算出x的值，再把x的值代入求解．
【詳解】解：原式
；
，
當(dāng)時(shí)，原式．
19．（23-24八年級(jí)上·江西宜春·期末）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個(gè)分式為“美好分式”，如：，則是“美好分式”．
(1)下列分式中，屬于“美好分式”的是______；（只填序號(hào)）
①； ②； ③； ④．
(2)將“美好分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式；
(3)判斷的結(jié)果是否為“美好分式”，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)①③④；
(2)；
(3)是美好分式，理由見(jiàn)解析．
【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算、新定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“美好分式”的意義逐個(gè)判斷即可；
（2）依先對(duì)分子進(jìn)而變形，然后根據(jù)題意化簡(jiǎn)即可；
（3）首先通過(guò)分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再依據(jù)“美好分式”的定義判斷即可．
【詳解】（1）解：①由，則①屬于“美好分式”；②分式分子的次數(shù)低于分母次數(shù)，不能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則②不屬于“美好分式”；由，則③屬于“美好分式”；④則④屬于“美好分式”；
故答案為：①③④；
（2）解：．
（3）解：的化簡(jiǎn)結(jié)果是“美好分式”，理由如下：
∵
，
∴的化簡(jiǎn)結(jié)果是“美好分式”．
20．（23-24八年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．
(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是（填序號(hào)）；
①；②；③．
(2)將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式；
(3)應(yīng)用：先化簡(jiǎn)，并回答：a取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)？
【答案】(1)①③
(2)
(3)時(shí)，該式的值為整數(shù)
【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，分式有意義的條件，理解“和諧分式”的定義是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“和諧分式”的定義，對(duì)各式進(jìn)行變形計(jì)算，即可解答；
（2）根據(jù)完全平方公式，進(jìn)行變形計(jì)算，即可解答；
（3）將原式化簡(jiǎn)為，再變形為，從而可得當(dāng)或時(shí)，分式的值為整數(shù)，進(jìn)而可得，，或1，然后根據(jù)分式有意義時(shí)，，，，，即可解答．
【詳解】（1）解：①；
②；
③；
上列分式中，屬于“和諧分式”的是①③，
故答案為：①③；
（2）解：
．
（3）解：
，
當(dāng)或時(shí)，分式的值為整數(shù)，
，0，或，
分式有意義時(shí)，，，，，
，
時(shí)，該式的值為整數(shù)．

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