知識點01 曲線的方程與方程的曲線的定義
一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線C與方程F(x，y）=0之間具有如下關系：
1.曲線C上的點的坐標都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解為坐標的點都在曲線C上.
則稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線，方程F（x，y）=0為曲線C的方程.
【即學即練1】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知坐標滿足方程Fx,y=0的點都在曲線C上，下列命題正確的是（ ）
A．曲線C上的點的坐標都滿足方程Fx,y=0
B．不在曲線C上的點的坐標都不滿足方程Fx,y=0
C．坐標不滿足方程Fx,y=0的點都不在曲線C上
D．曲線C是坐標滿足方程Fx,y=0的點的軌跡
【答案】B
【分析】根據(jù)曲線與方程的定義和關系進行判斷即可.
【詳解】對于A，若坐標滿足方程Fx,y=0的點都在曲線C上，則方程Fx,y=0的曲線M可能只是曲線C的一部分，
此時曲線C上位于曲線M之外部分的點的坐標不滿足方程Fx,y=0，故A選項中的命題錯誤.
對于B，命題"不在曲線C上的點的坐標都不滿足程Fx,y=0“與已知條件中的命題互為逆否命題.因為互為逆否命題的兩個命題真假相同，所以B選項中的命題正確.
對于C，由A選項的分析過程得，曲線C上位于曲線M之外部分的點的坐標不滿足方程Fx,y=0，
但這些點在曲線C上，故C選項中的命題錯誤.
對于D，由A選項的分析過程可知，D選項中的命題錯誤.
故選：B.
【即學即練2】（24-25高二上·全國·課堂例題）分析下列曲線上的點與相應方程的關系：
(1)與兩坐標軸的距離之積等于5的點與方程xy=5之間的關系；
(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點與方程x+y=0之間的關系．
【答案】(1)與兩坐標軸的距離之積等于5的點的軌跡方程不是xy=5．
(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點的軌跡方程是x+y=0．
【詳解】（1）與兩坐標軸的距離之積等于5的點的坐標不一定滿足方程xy=5，如點-1,5，
但以方程xy=5的解為坐標的點一定滿足與兩坐標軸的距離之積等于5．
因此，與兩坐標軸的距離之積等于5的點的軌跡方程不是xy=5．
（2）第二、四象限兩軸夾角平分線上的點的坐標都滿足x+y=0；
反之，以方程x+y=0的解為坐標的點都在第二、四象限兩軸夾角平分線上．
因此，第二、四象限兩軸夾角平分線上的點的軌跡方程是x+y=0．
知識點02兩曲線的交點
己知兩條曲線C1和C2的方程分別為F（x，y）=0，G（x，y）=0，求兩條曲線C1和C2的交點坐標，只要聯(lián)立兩個方程得方程組F(x,y)=0G(x,y)=0，求方程組的實數(shù)解就可以得到.
【即學即練3】（20-21高二·全國·課后作業(yè)）曲線x2+y2+2x=0與曲線y+x=0的交點個數(shù)是 ．
【答案】2
【分析】聯(lián)立方程，方程組解的個數(shù)即為交點個數(shù)．
【詳解】由x2+y2+2x=0y+x=0可得，x2+x=0，所以x=0y=0或x=-1y=-1，所以交點個數(shù)是2．
故答案為：2．
【即學即練4】（23-24高三上·青海西寧·期中）已知A-1,0，B1,0，C為平面內的一個動點，且滿足|AC|:|BC|=2，則點C的軌跡方程為 .
【答案】x2+y2-6x+1=0
【分析】設C(x,y)，利用兩點間的距離公式得到方程，整理即可得解．
【詳解】設C(x,y)，由|AC|:|BC|=2，則(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，
即(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]，
即x2+y2-6x+1=0，
所以點C的軌跡方程為x2+y2-6x+1=0．
故答案為：x2+y2-6x+1=0．
知識點03 點的軌跡方程
曲線一般都可以看成動點依某種條件運動的軌跡,曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點的軌跡方程.
【即學即練5】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）等腰三角形ABC底邊兩端點分別為A(-3,0),B3,0，頂點C的軌跡是（ ）
A．一條直線B．一條直線去掉一點C．一個點D．兩個點
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性質分析即可.
【詳解】∵△ABC為等腰三角形且AB為底邊，∴CA=CB,∴點C在AB的中垂線上．
又∵C為AB的中點時不能構成三角形，∴點C的軌跡應是一條直線去掉一點．
故選：B
【即學即練6】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）判斷直線2x+5y-15=0與曲線y=-10x是否相交，如果相交，求出交點的坐標．
【答案】相交，交點坐標為：(10,-1)和(-52,4).
【分析】聯(lián)立方程，運用代入法進行消元，通過方程是否有解進行求解判斷即可.
【詳解】將直線方程與曲線方程聯(lián)立得：y=-10x2x+5y-15=0?2x2-15x-50=0，
解得x=10，或x=-52，
當x=10時，y=-1；
當x=-52時，y=4，
因此直線2x+5y-15=0與曲線y=-10x相交，交點坐標為：(10,-1)和(-52,4).
難點：數(shù)形結合的運用
示例1：（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）在平面直角坐標系xOy中，曲線E:x2+y23=8x2y2的圖象是四葉草曲線，設Px0,y0為E上任意一點，且滿足P∈{x0,y0|x0∈Z或y0∈Z}，則任取一點P，該點為格點（橫、縱坐標均為整數(shù)）的概率為 ．
【答案】513
【分析】由題意明確曲線的性質，確定符合題意的點的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.
【詳解】由x2+y23=8x2y2≤8x2+y222，得x2+y2≤2，當且僅當x2=y2=1時取等號，
可知|x0|≤2，故滿足x0∈Z且y0∈Z的點P僅有(-1,-1),(-1,1),(0,0),(1,-1),(1,1)，共5個．
令x0=0，則y0=0，由于E:x2+y23=8x2y2的圖象關于x軸、y軸、坐標原點、y=x對稱，
因此只需研究第一象限圖象上橫坐標或縱坐標為整數(shù)的點的情況，
令x0=1，則1+y23=8y2，不妨設y>0，則有1+y2=2y23，
令y23=t,t>0，則有1+t3=2t，化簡有t-1t2+t-1=0，解得t=1或t=5-12，
則1+y2=2y23有兩個正根1，5-123．
故結合曲線對稱性可知在第一象限，橫坐標或縱坐標為整數(shù)的點共有3個：1,1,1,5-123,5-123,1．
故整個曲線上橫坐標或縱坐標為整數(shù)的點共有13個，
所以任取一點P，該點為格點的概率為513．
故答案為：513
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是明確四葉草曲線的對稱性，由此確定符合題意的點的個數(shù).
【題型1：曲線方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐標滿足方程Fx,y=0的點都在曲線C上，則下列命題中正確的是（ ）
A．曲線C上的點的坐標都適合方程Fx,y=0
B．不在曲線C上的點的坐標必不適合方程Fx,y=0
C．凡坐標不適合方程Fx,y=0的點都不在曲線C上
D．不在曲線C上的點的坐標有些適合方程Fx,y=0
【答案】B
【分析】由逆否命題的真假性的關系結合曲線與方程的定義逐一判斷即可.
【詳解】由于“坐標滿足方程Fx,y=0的點都在曲線C上”與“不在曲線C上的點的坐標必不適合方程Fx,y=0”互為逆否命題，
所以“不在曲線C上的點的坐標必不適合方程Fx,y=0”是正確的，故B對，D錯；
對于點集A=x,y|Fx,y=x2+y2-1=0∪0,0而言，
0,0不滿足Fx,y=x2+y2-1=0，但它仍然屬于在曲線C上（仍然屬于點集合A），故A、C錯誤.
故選：B.
變式1．（21-22高二上·貴州遵義·期末）設方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲線是（ ）
A．一個圓和一條直線B．一個圓和一條射線
C．一個圓D．一條直線
【答案】D
【分析】先化簡題給方程，即可得到其表示的曲線為一條直線.
【詳解】由x-12+y2+1>0，可得x2+y2-2x+2>0，
則由x+2y-1x2+y2-2x+2=0，可得x+2y-10=0，
則方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲線是一條直線.
故選：D
變式2．（18-19高二上·安徽蕪湖·期末）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（ ）
A．y=x與y2=xB．y=x與xy=1
C．y2-x2=0與y=xD．y=lgx2與y=2lgx
【答案】C
【分析】根據(jù)x,y的范圍以及曲線方程確定正確答案.
【詳解】A選項，y=x中y≥0，y2=x中y∈R，所以不是相同曲線.
B選項，y=x中y∈R，xy=1中y≠0，所以不是相同曲線.
C選項，y=x?y2=x2?y2-x2=0，是相同曲線，C選項正確.
D選項，y=lgx2中x≠0，y=2lgx中x>0，，所以不是相同曲線.
故選：C
變式3．（2014高三·全國·專題練習）方程x-1=1-(y-1)2表示的曲線是（ ）
A．—個圓B．兩個圓
C．一個半圓D．兩個半圓
【答案】D
【分析】方程可化為(|x|-1)2+(y-1)2=1，去絕對值分x≤-1，x≥1兩種情況解決即可.
【詳解】方程可化為(|x|-1)2+(y-1)2=1，
因為|x|-1≥0，
所以x≤-1或x≥1，
若x≤-1時，則方程為(x+1)2+(y-1)2=1；
若x≥1時，則方程為(x-1)2+(y-1)2=1，
故選：D
變式4．(多選)（22-23高三上·江蘇·階段練習）已知曲線C:x2-y2-xy=1，則（ ）
A．曲線C關于坐標原點對稱B．曲線C關于y軸對稱
C．x≤-255或x≥255D．x2-2xy+y2≥45
【答案】ACD
【分析】A選項，利用對稱性質判斷即可，取特殊點驗證即可B選項；
將方程轉化為關于y的二次方程，由方程有解即可判斷C選項；
換元法，令t=x-y，則x=y+t代入原方程中，利用方程有解判別式
解之即可得D選項.
【詳解】因為點P(x,y)在曲線C:x2-y2-xy=1上，
所以點P1(-x,-y)滿足(-x)2-(-y)2-(-x)(-y)=x2-y2-xy=1，
所以A正確；
若P(2,1)，因為點P'(-2,1)不滿足C的方程，
所以B錯誤；
因為x2-y2-xy=1，
所以y2+xy+1-x2=0，
所以x2-41-x2≥0，
所以x≤-255或x≥255，所以C正確；
設t=x-y，則x=y+t，
所以(y+t)2-y2-(y+t)y=1，
所以y2-ty+1-t2=0，
所以t2-41-t2≥0，
所以t2≥45，
所以x2-2xy+y2≥45，
所以D正確．
故選：ACD
變式5．（20-21高二上·上海徐匯·期末）已知曲線Γ：Fx，y=0對坐標平面上任意一點Px，y，定義FP＝Fx，y．若兩點P，Q滿足FP?FQ＜0，稱點P，Q在曲線Γ兩側．記到點0，1與到x軸距離和為5的點的軌跡為曲線C，曲線Γ：Fx，y=x2+y2-y-a=0，若曲線C上總存在兩點M，N在曲線Γ兩側，則實數(shù)a的取值范圍是
【答案】6＜a＜24．
【分析】到點0，1與到x軸距離和為5的點的軌跡為曲線C，求出軌跡方程.分類討論：當0≤y≤3時和當-2≤y≤0時，利用FP?FQ＜0，求解a的范圍．
【詳解】設曲線C上的動點為x，y，則x2+(y-1)2+|y|=5，
化簡得曲線C的方程為x2=83-y，0≤y≤3和x2=12y+2，-2≤y≤0.
其軌跡為兩段拋物線弧
當0≤y≤3時，F(xiàn)x，y=y2-9y+24-a∈[6﹣a，24﹣a]；
當-2≤y≤0時，F(xiàn)x，y=y2+11y+24-a∈[6﹣a，24﹣a]；
故若有FM?FN＜0，則6-a24-a＜0?6＜a＜24．
故答案為：6＜a＜24．
變式6．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）方程xx2+y2-1=0表示的曲線是 .
【答案】直線x=0和單位圓x2+y2=1
【分析】由方程xx2+y2-1=0即可求解.
【詳解】由方程xx2+y2-1=0可得：x=0或x2+y2=1，
所以方程xx2+y2-1=0表示的曲線是直線x=0和單位圓x2+y2=1，
故答案為：直線x=0和單位圓x2+y2=1.
變式7．（24-25高二上·全國·課前預習）判斷下列命題是否正確．
(1)以坐標原點為圓心，r為半徑的圓的方程是y=r2-x2；
(2)過點A2,0平行于y軸的直線l的方程為x=2．
【答案】(1)不正確
(2)不正確
【分析】（1）利用圓的方程定義判斷即可.
（2）利用直線方程的定義判斷即可.
【詳解】（1）不正確．
設x0,y0是方程y=r2-x2的解，則y0=r2-x02，即x02+y02=r2，
兩邊開平方取算術平方根，得x02+y02=r，即點x0,y0到原點的距離等于r，
點x0,y0是這個圓上的點，因此滿足以方程的解為坐標的點都是曲線上的點；
但是，以原點為圓心、r為半徑的圓上的一點如點(r2,-32r)在圓上，
卻不是y=r2-x2的解，這就不滿足曲線上的點的坐標都是方程的解，
所以以原點為圓心，r為半徑的圓的方程不是y=r2-x2，而應是y=±r2-x2．
（2）不正確．
直線l上的點的坐標都是方程x=2的解；
但是坐標滿足x=2的點，不一定在直線l上，如點(-2,0)不在直線l上，
因此x=2不是直線l的方程，直線l的方程應為x=2．
【方法技巧與總結】
從集合的意義上來理解曲線和方程的概念
如果把直角坐標平面內曲線上的點所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對應的集合記作B，那么曲線和方程之間的兩個關系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，反映在集合A和B之間的關系上，就是A?B且B?A，即A=B.
從集合相等的意義上來理解上述兩條規(guī)定的必要性，有助于掌握曲線和方程的概念.
【題型2：由方程研究曲線的性質】
例2．已知曲線C的方程為x2+y2+xy=2022，則曲線C關于（ ）對稱
A．x軸B．y軸C．原點D．直線y=x
【答案】B
【分析】利用坐標互換一一判定選項即可.
【詳解】曲線C的方程為x2+y2+xy=2022，
將x換為-x,y不變，原方程仍為x2+y2+xy=2022，所以曲線C關于y軸對稱；
將y換為-y,x不變，原方程變?yōu)閤2+y2-xy=2022，所以曲線C不關于x軸對稱；
將x換為-x,y換為-y，原方程變?yōu)閤2+y2-xy=2022，所以曲線C不關于原點對稱；
將x換為y,y換為x，原方程變?yōu)閤2+y2+yx=2022，
所以曲線C不關于直線y=x對稱．
故選:B．
變式1．已知曲線C方程為x2+y2+xy=2023，則曲線C關于（ ）
A．x軸對稱B．y軸對稱C．原點對稱D．y=x對稱
【答案】B
【分析】用軸對稱和點對稱的定義逐一判斷即可.
【詳解】用-y替換方程中的y，方程變?yōu)閤2+y2-xy=2023，
與原方程不同，故曲線C不關于x軸對稱，故A錯誤；
用-x替換方程中的x，方程可化為為x2+y2+xy=2023，
與原方程相同，故曲線C關于y軸對稱，故B正確；
用-x和-y替換方程中的x和y，化簡后方程變?yōu)閤2+y2-xy=2023，
故曲線C不關于原點對稱，故C錯誤；
用y替換方程中的x，同時用x替換方程中的y，方程變?yōu)閤2+y2+yx=2023，
故C不關于直線y=x對稱，故D錯誤.
故選：B.
變式2．關于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲線，下列說法正確的是（ ）
A．關于x軸對稱B．關于y軸對稱C．關于y=x對稱D．關于原點中心對稱
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用對稱變換的方法逐項分析判斷即可.
【詳解】對于A，用-y換方程中的y，得x2-xy+2y2=4，方程發(fā)生變化，即曲線關于x軸不對稱，A錯誤；
對于B，用-x換方程中的x，得x2-xy+2y2=4，方程發(fā)生變化，即曲線關于y軸不對稱，B錯誤；
對于C，用x換y，y換x，得2x2+xy+y2=4，方程發(fā)生變化，即曲線關于y=x軸不對稱，C錯誤；
對于D，將點-x,-y代入原方程仍為x2+xy+2y2=4，因此曲線關于原點中心對稱D正確.
故選：D
變式3．兩個曲線方程C1：x+y=1，C2：x4+y4=1，我們可以推斷出它們的性質，其中錯誤的是（ ）
A．曲線C1關于y＝x對稱
B．曲線C2關于原點對稱
C．曲線C2與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積S1

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2.4 曲線與方程

版本： 人教B版 (2019)

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