課后素養(yǎng)落實(shí)(十八)　曲線與方程(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．F(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線F(x，y)＝0上的(　　)A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件C　[由曲線與方程的概念可知，若點(diǎn)P(x0，y0)在曲線F(x，y)＝0上，則必有F(x0，y0)＝0；又當(dāng)F(x0，y0)＝0時(shí)，點(diǎn)P(x0，y0)也一定在方程F(x，y)＝0對(duì)應(yīng)的曲線上，故選C．]2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲線形狀是(　　)A　　　　 B　　　　 C　　　　 DC　[方程x2＋y2＝1(xy＜0)表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓在第二、四象限的部分．]3．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲線是(　　)A．一個(gè)點(diǎn)　　　　　 B．一條直線C．一個(gè)圓 D．兩條線段A　[方程可化為(x＋1)2＋2＝0，所以即它表示點(diǎn)．故選A．]4．已知0≤α＜2π，點(diǎn)P(cos α，sin α)在曲線(x－2)2＋y2＝3上，則α的值為(　　)A． B．C．或 D．或C　[由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝．又0≤α＜2π，∴α＝或α＝．]5．已知點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B在圓x2＋y2＝1上，點(diǎn)C是∠AOB的平分線與線段AB的交點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡方程為(　　)A．＋y2＝ B．＋y2＝C．＋y2＝ D．＋y2＝A　[設(shè)B(x0，y0)，C(x，y)．由＝2，得＝2，所以＝2，即(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，所以因?yàn)辄c(diǎn)B(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，所以＋＝1，化簡(jiǎn)得＋y2＝．故選A．]二、填空題6．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的圖形是________．兩個(gè)點(diǎn)　[由題意所以或所以方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是兩個(gè)點(diǎn)(1，1)或(－1，－1)．]7．動(dòng)點(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(－，0)，B(，0)連線的斜率的積為定值－，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________．x2＋2y2－2＝0(x≠±)　[設(shè)P(x，y)，由題意知，x≠±，kAP＝，kBP＝，由條件知kAP·kBP＝－，所以×＝－，整理得x2＋2y2－2＝0(x≠±)．]8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(－1，2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·＝3，則點(diǎn)P的軌跡方程為________．x－2y＋3＝0　[由題意知＝(x，y)，＝(－1，2)，則·＝－x＋2y，由·＝3得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0．]三、解答題9．曲線x2＋(y－1)2＝4與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的范圍，若有一個(gè)交點(diǎn)、無(wú)交點(diǎn)呢？[解]　由得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0，Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝48k－20．所以Δ＞0，即k＞時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；Δ＝0，即k＝時(shí)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)；Δ＜0，即k＜時(shí)，直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)．10．設(shè)點(diǎn)P是圓x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)，由點(diǎn)P向x軸作垂線PP0，垂足為P0，且＝，求點(diǎn)M的軌跡方程．[解]　設(shè)點(diǎn)M(x，y)，P(x0，y0)，則由題意知P0(x0，0)．由＝(x0－x，－y)，＝(0，－y0)，且＝，得(x0－x，－y)＝(0，－y0)，所以于是又x＋y＝4，所以x2＋y2＝4，所以，點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1．1．如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線x4＋y2＝2圍成的平面區(qū)域的直徑為(　　)A．2　　　B．3　　C．2　　　D．4B　[易知曲線x4＋y2＝2圍成的平面區(qū)域，關(guān)于x，y軸對(duì)稱，設(shè)曲線上的一點(diǎn)P(x，y)，可得|OP|＝＝≤．所以曲線x4＋y2＝2圍成的平面區(qū)域的直徑為3．事實(shí)上，本題中曲線x4＋y2＝2的示意圖如圖所示．]2．數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖)．給出下列結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是(　　)A．①　　　B．②　　C．①②　　　D．①②③C　[由x2＋y2＝1＋|x|y，得y2－|x|y＝1－x2，即＝1－，1－≥0，x2≤，所以x可取的整數(shù)有0，－1，1，從而曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y恰好經(jīng)過(guò)(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(1，1)，(－1，0)，(－1，1)，共6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)論①正確．由x2＋y2＝1＋|x|y，得x2＋y2≤1＋，解得x2＋y2≤2，所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，結(jié)論②正確．如圖所示，易知A(0，－1)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，則四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD＝×1×1＋1×1＝，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于2S四邊形ABCD，即“心形”區(qū)域的面積大于3，結(jié)論③錯(cuò)誤．故選C．]3．已知兩定點(diǎn)A(－2，0)，B(1，0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PA|＝2|PB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________，P點(diǎn)軌跡所圍成的圖形的面積為________．(x－2)2＋y2＝4　4π　[設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|知，＝2，化簡(jiǎn)整理得(x－2)2＋y2＝4，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓心為(2，0)，半徑為2的圓，此圓的面積為S＝22π＝4π．]4．已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．[解]　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4．設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2．(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1，3)為圓心，為半徑的圓．因?yàn)?/span>|OP|＝|OM|，所以O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，所以ON⊥PM．因?yàn)?/span>ON的斜率為3，所以直線l的斜率為－，所以l的方程為y＝－x＋．又|OM|＝|OP|＝2，O到直線l的距離為，所以|PM|＝，△POM的面積為．在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的“L-距離”定義為|P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F1，F2的“L-距離”之和等于定值(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡可以是(　　)A　　　　　BC　　　　　DA　[設(shè)M(x，y)是軌跡上任意一點(diǎn)，F1(－c，0)，F2(c，0)，則|MF1|＋|MF2|＝2a，其中a為常數(shù)，且a＞c＞0，由“L-距離”定義，得|x＋c|＋|y|＋|x－c|＋|y|＝2a，即|y|＝(2a－|x＋c|－|x－c|)，當(dāng)y≥0時(shí)，y＝當(dāng)y＜0時(shí)，y＝則滿足上述關(guān)系的圖像只有選項(xiàng)A．] 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.4 曲線與方程

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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