1.了解曲線的方程與方程的曲線的概念,明確曲線的點集和方程解集間的一一對應(yīng)關(guān)系,并能根據(jù)點的坐標是否適合方程,來判斷該點是否在曲線上;2.能夠通過求方程組的解,來確定曲線的交點;3.能夠根據(jù)曲線的已知條件求曲線的方程及根據(jù)曲線的方程研究曲線的性質(zhì)的方法.
基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達標檢測
曲線的方程與方程的曲線的定義
在平面直角坐標系中,如果曲線C與方程F(x,y)=0之間具有如下關(guān)系:(1)　 ;?(2)　 .?則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.
曲線C上的點的坐標都是方程F(x,y)=0的解
以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上
名師點睛1.曲線上的點的坐標都是這個方程的解,即直觀地說“點不比解多”,稱為純粹性.2.以這個方程的解為坐標的點都在曲線上,即直觀地說“解不比點多”,稱為完備性,只有點和解一一對應(yīng),才能說曲線是方程的曲線,方程是曲線的方程.
過關(guān)自診1.方程y= 表示的曲線是(　　)A.一條直線B.圓C.半圓D.不表示任何圖形
2.若曲線是方程的曲線,方程是曲線的方程,則曲線上的點集與方程的解集之間是一一對應(yīng)關(guān)系嗎?
解 ①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.它闡明的含義是曲線上沒有坐標不滿足方程的點.②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.它闡明的含義是適合方程的所有點都在曲線上,即沒有遺漏的點.所以兩個條件充分保證了曲線上的點一個也不多,一個也不少,即曲線上的點集與方程的解集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.
方法與求兩直線的交點類似
曲線F(x,y)=0與G(x,y)=0是否有交點的問題,可以轉(zhuǎn)化為方程組
是否有　　　　　　的問題.?過關(guān)自診直線y=x+1與圓x2+y2=1的交點坐標為　　 　　　.?
(-1,0)和(0,1)
求曲線的方程與根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)
(1)點的軌跡方程曲線一般都可以看成　　　　 　　　　的軌跡,所以曲線的方程也常稱為　　　　　　　　的點的軌跡方程.?(2)求動點M軌跡方程的一般步驟:①設(shè)動點M的坐標為(x,y)(如果沒有平面直角坐標系,需先建立);②寫出M要滿足的幾何條件,并將該幾何條件用M的坐標表示出來;③化簡并檢驗所得方程是否為M的軌跡方程.
名師點睛求軌跡方程時第一步建系的說明建系時對哪個點是原點,哪條直線為坐標軸沒有硬性的要求.一般情況下,建立的坐標系方便于下一步寫點的坐標,求出的曲線方程越簡潔,說明建立的坐標系越合理.
過關(guān)自診1.[北師大版教材習(xí)題改編]已知曲線C:4x2-y2=0,說明曲線C是什么圖形,并畫出該圖形.
解 4x2-y2=0可化為y=±2x,它表示兩條直線,如圖所示.
2.如何檢驗所求軌跡方程是否符合條件?
解 檢驗可以從以下兩個方面進行:一是方程的化簡是否為同解變形;二是是否符合題目的實際意義.
探究點一　曲線與方程的概念問題
【例1】 如果曲線C上所有點的坐標都是方程F(x,y)=0的解,那么以下說法正確的是(　　)A.以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上B.以方程F(x,y)=0的解為坐標的點有些不在曲線C上C.不在曲線C上的點的坐標都不是方程F(x,y)=0的解D.坐標不滿足方程F(x,y)=0的點都不在曲線C上
解析 由題意可知,曲線C上的所有點構(gòu)成的集合是方程F(x,y)=0的解構(gòu)成的集合的子集,它包含兩種情形:①真子集;②相等.據(jù)以上可知,選項A,B,C都是不正確的,只有選項D是正確的.
規(guī)律方法　1.曲線與方程的定義表明:曲線C的方程是F(x,y)=0的充分必要條件是曲線C上所有點的坐標都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的實數(shù)解為坐標的點都在曲線C上,這是識別曲線和方程關(guān)系的基本依據(jù).2.判斷點與曲線關(guān)系的方法(1)從點的坐標角度若點M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲線C上,則f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,則點M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲線C上.(2)從方程的解的角度若f(x0,y0)=0,則點M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲線C上;或若點M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲線C上,則f(x0,y0)≠0.
變式訓(xùn)練1方程(2x+3y-1)·( -1)=0表示的曲線是(　　)A.兩條直線B.兩條射線C.兩條線段D.一條直線和一條射線
故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線.
探究點二　求曲線的方程
角度1.用直接法求曲線的方程【例2】 已知平面上兩個定點A,B之間的距離為2a,點M到A,B兩點的距離之比為2∶1,求動點M的軌跡方程.
解 如圖所示,以兩定點A,B所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系.由|AB|=2a,可設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).因為|MA|∶|MB|=2∶1,
規(guī)律方法　直接法求曲線的方程的步驟
變式訓(xùn)練2若兩定點A,B的距離為3,動點M滿足|MA|=2|MB|,則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為(　　)A.πB.2πC.3πD.4π
解析 以點A為坐標原點,射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系,如圖,設(shè)點M(x,y),
(x-4)2+y2=4,于是得點M的軌跡是以點(4,0)為圓心,2為半徑的圓,其面積為4π,所以M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為4π.故選D.
角度2.用定義法求曲線的方程【例3】 已知圓C:(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的任意弦,求所作弦的中點的軌跡方程.
解 如圖,設(shè)OQ為過O點的一條弦,P(x,y)為其中點,連接CP,則CP⊥OQ.
規(guī)律方法　定義法求曲線方程的兩種策略(1)運用曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出方程.(2)定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型,利用條件把待定系數(shù)求出來,使問題得解.
變式訓(xùn)練3已知△ABC的頂點B(0,0),C(5,0),AB邊上的中線長|CD|=3,則頂點A的軌跡方程為　　　　　　　　　　.?
(x-10)2+y2=36(y≠0)
解析 由已知條件及中位線等幾何知識可知,動點A滿足到點(10,0)的距離等于定長6的條件,設(shè)頂點A的坐標為(x,y),因此可得(x-10)2+y2=36,考慮到構(gòu)成△ABC,因此y≠0,所以所求方程為(x-10)2+y2=36(y≠0).
角度3.用相關(guān)點法求曲線的方程【例4】 動點M在曲線x2+y2=1上移動,M和定點B(3,0)連線的中點為P,求P點的軌跡方程.
解 設(shè)P(x,y),M(x0,y0),因為P為MB的中點,
變式探究本例中把條件“M和定點B(3,0)連線的中點為P”改為“ ”,求P點的軌跡方程.
規(guī)律方法　“相關(guān)點法”的基本步驟
變式訓(xùn)練4長為3的線段AB的端點A,B分別在x軸、y軸上移動,動點C(x,y)滿足 ,求動點C的軌跡方程.
解 因為長為3的線段AB的端點A,B分別在x軸、y軸上移動,故可設(shè)A(x0,0),B(0,y0).
所以(x-x0,y)=2(0-x,y0-y),即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),
探究點三　求曲線的交點問題
【例5】 試討論圓x2+(y-1)2=4與直線y=k(x-2)+4(k為參數(shù))交點的個數(shù).
規(guī)律方法　已知曲線C1和曲線C2的方程分別為F(x,y)=0,G(x,y)=0,則點P(x0,y0)是曲線C1,C2的交點?點P的坐標(x0,y0)滿足方程組 方程組有幾組不同的實數(shù)解,兩條曲線就有幾個不同的交點;方程組沒有實數(shù)解,兩條曲線就沒有交點.
變式訓(xùn)練5[人教A版教材習(xí)題]求圓心在直線x-y-4=0上,并且經(jīng)過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點的圓的方程.
解 設(shè)圓x2+y2+6x-4=0和圓x2+y2+6y-28=0相交于點A,B,解方程組
所以A(-1,3),B(-6,-2).因此,弦AB的垂直平分線的方程是x+y+3=0.
A.一條射線B.一個圓C.兩條射線D.半個圓
2.已知點A(-1,0),B(1,0),且 =0,則動點M的軌跡方程是(　　)A.x2+y2=1B.x2+y2=2C.x2+y2=1(x≠±1)D.x2+y2=2(x≠± )
3.點P(2,-3)在曲線x2-ay2=1上,則a=　　　　　.?
解析 將點P的坐標代入方程中即可求得a= .
4.平面直角坐標系中,已知A,B分別為坐標軸上的動點且|AB|=5,若線段AB的中點為M(x,y),則動點M的軌跡方程為　　　　　　　　.?
5.已知點A(1,0),直線l:y=2x-4,點R是直線l上的一點,若 ,則點P的軌跡方程為　　　　　　　　　　.?
∵點R(x1,y1)在直線y=2x-4上,∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即y=2x.

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2.4 曲線與方程

版本： 人教B版 (2019)

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