2.4 曲線與方程本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)曲線與方程 “曲線和方程”這節(jié)，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一，為“依形判數(shù)”和“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)， 由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容，因而學(xué)生用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)時(shí)，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析幾何學(xué)習(xí)的入門之徑。求曲線與方程的問題，也貫穿了這一章的始終，所以應(yīng)該認(rèn)識到，本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本節(jié)中提出的曲線與方程的概念，它既是對以前學(xué)過的函數(shù)及其圖象、直線的方程、圓的方程等數(shù)學(xué)知識的深化，又是學(xué)習(xí)圓錐曲線的理論基礎(chǔ)，它貫穿于研究圓錐曲線的全過程，根據(jù)曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，通過研究方程來研究曲線的幾何性質(zhì)，是幾何的研究實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化。數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，在本章中得到了充分體現(xiàn)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A..學(xué)習(xí)本節(jié)要掌握曲線的方程與方程的曲線的概念,明確曲線的點(diǎn)集和方程解集間的一一對應(yīng)關(guān)系,并能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合方程,來判斷該點(diǎn)是否在曲線上.B.能夠通過求方程組的解,來確定曲線的交點(diǎn).C.初步掌握由曲線的已知條件求曲線的方程及根據(jù)曲線的方程研究曲線的性質(zhì)的方法.1.數(shù)學(xué)抽象：曲線與方程的關(guān)系2.邏輯推理：曲線的方程與方程的曲線的關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算： 根據(jù)條件求曲線的方程4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用方程研究曲線的性質(zhì)  重點(diǎn)：曲線的方程與方程的曲線的概念難點(diǎn)：求曲線的方程及由方程研究曲線的性質(zhì)多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    創(chuàng)設(shè)問題情境，探究新知前面我們學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，知道平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，在直線和圓上的充要條件，是它的坐標(biāo)滿足直線和圓的方程，我們還借助直線與圓的方程討論了直線與直線，直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，不難想到借助方程，應(yīng)該還可以討論平面內(nèi)的其他幾何對象及其性質(zhì)等。（1）如圖所示，設(shè)是平面內(nèi)兩條相互垂直的直線，且M是所有到的距離相等的點(diǎn)組成的集合，在圖中找出M中的所有元素，如果以分別為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，那么M中的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？  （2）將看成與的方程，如果且 能使方程成立，則稱是方程的一組實(shí)數(shù)解，你能找出滿足這個(gè)方程的三組實(shí)數(shù)解嗎？這個(gè)方程有多少組實(shí)數(shù)解 ？如果將每一組實(shí)數(shù)解都看成平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，那么所有實(shí)數(shù)解表示的點(diǎn)組成的集合與（1）一中的集合M有什么關(guān)系？ 1.曲線的方程與方程的曲線的定義在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線C與方程F(x,y)=0之間具有如下關(guān)系:(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.則曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程. 思考1.若曲線是方程的曲線,方程是曲線的方程,則曲線上的點(diǎn)集與方程的解集之間是一一對應(yīng)關(guān)系嗎?提示:①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.它闡明的含義是曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn).②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).它闡明的含義是適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上,即沒有遺漏的點(diǎn).所以兩個(gè)條件充分保證了曲線上的點(diǎn)一個(gè)也不多,一個(gè)也不少,即曲線上的點(diǎn)集與方程的解集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.二、典例解析例1.已知平面直角坐標(biāo)系中C是端點(diǎn)為原點(diǎn)且其他所有點(diǎn)都在  軸正半軸上的射線，判斷  （ 0）是否是C的方程，如果都不是，寫出C的方程。解：可以看出，C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必為0，即如果為C上的點(diǎn)，則必有; 另一方面，縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)，當(dāng)橫坐標(biāo)小于0時(shí)，在軸的負(fù)半軸上，不在C上。因此不是C的方程。
    類似地，因?yàn)?/span>C上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于等于0，所以C上的點(diǎn)不滿足方程（ 0） ，因此這也不是C的方程。
由上分析可知，C的方程是（ 0）1.曲線與方程的定義表明:曲線C的方程是F(x,y)=0的充分必要條件是曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上,這是識別曲線和方程關(guān)系的基本依據(jù).2.判斷點(diǎn)與曲線關(guān)系的方法(1)從點(diǎn)的坐標(biāo)角度若點(diǎn)M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲線C上,則f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,則點(diǎn)M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲線C上.(2)從方程的解的角度若f(x0,y0)=0,則點(diǎn)M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲線C上;或若點(diǎn)M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲線C上,則f(x0,y0)≠0. 跟蹤訓(xùn)練1  （1）如果曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解,那么以下說法正確的是(　　)A.以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上B.以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)有些不在曲線C上C.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不是方程F(x,y)=0的解D.坐標(biāo)不滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)都不在曲線C上解析:由題意可知,曲線C上的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合是方程F(x,y)=0的解構(gòu)成的集合的子集,它包含兩種情形:①真子集;②相等.據(jù)以上可知,選項(xiàng)A,B,C都是不正確的,只有選項(xiàng)D是正確的.答案:D(2) 方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲線是(　　)A.兩條直線                    B.兩條射線C.兩條線段                    D.一條直線和一條射線解析:原方程可化為-1=0,即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線.答案:D 例2.已知曲線的方程是曲線的方程是判斷與是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；如果沒有說明理由。分析：有曲線的方程的定義可知，一個(gè)點(diǎn)是兩條曲線的交點(diǎn)的充要條件是，該點(diǎn)的坐標(biāo)是這兩條曲線的方程的公共實(shí)數(shù)解，因此可以通過解方程組來判斷兩條曲線是否有交點(diǎn)等。解：聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組
解方程組可得
因此與有三個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)坐標(biāo)為， 2.求兩曲線的交點(diǎn)已知曲線C1:F(x,y)=0和曲線C2:G(x,y)=0,求這兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),只要求方程組的實(shí)數(shù)解就可以得到. 已知是平面內(nèi)兩條相互垂直的直線，且曲線C是到的距離的乘積等于1的點(diǎn)組成的集合（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出曲線C的方程；（2）根據(jù)曲線的方程，說出曲線具有的性質(zhì)，然后作出曲線C. 例3. 已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)A,B之間的距離為2a,點(diǎn)M到A,B兩點(diǎn)的距離之比為2∶1,求動點(diǎn)M的軌跡方程.分析因?yàn)橐阎獥l件中未給定坐標(biāo)系,所以需“恰當(dāng)”建立坐標(biāo)系.考慮到對稱性,由|AB|=2a,選A,B兩點(diǎn)所在的直線為x軸,AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則A(-a,0),B(a,0),然后求解.解:如圖所示,以兩定點(diǎn)A,B所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系.由|AB|=2a,可設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).因?yàn)?/span>|MA|∶|MB|=2∶1,所以=2∶1,所以=2.化簡,得+y2=a2,所以所求動點(diǎn)M的軌跡方程為+y2=a2.3.求曲線的方程與根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)(1)點(diǎn)的軌跡方程曲線一般都可以看成動點(diǎn)依某種條件運(yùn)動的軌跡,所以曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程.(2)求動點(diǎn)M軌跡方程的一般步驟:①設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)(如果沒有平面直角坐標(biāo)系,需先建立);②寫出M要滿足的幾何條件,并將該幾何條件用M的坐標(biāo)表示出來;③化簡并檢驗(yàn)所得方程是否為M的軌跡方程.例4. 求以A(-2,0),B(2,0)為直徑端點(diǎn)的圓的圓內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)C的軌跡方程.錯(cuò)解:設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y).△ABC為圓內(nèi)接三角形,且圓以線段AB為直徑,∴AC⊥BC,則kAC·kBC=-1.∵kAC=,kBC=,  ∴=-1.化簡,有x2+y2-4=0, 即點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-4=0.錯(cuò)因分析(1)在表述kAC,kBC時(shí)沒有注意斜率不存在的情況.(2)沒有驗(yàn)證以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上.正解:設(shè)C的坐標(biāo)為(x,y).∴(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2=0.又當(dāng)x=±2時(shí),C與A或B重合,不構(gòu)成三角形,∴所求C點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-4=0(x≠±2).∵△ABC為圓的內(nèi)接三角形,且圓以線段AB為直徑,∴,即=0.又=(x+2,y),=(x-2,y),  通過具體的情景，幫助學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的直線與圓的方程，歸納抽象出曲線與方程的關(guān)系問題。                                      通過典例解析，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解曲線與方程的關(guān)系問題，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                                      通過根據(jù)幾何條件求出曲線的方程，再由方程研究曲線的幾何的，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 三、達(dá)標(biāo)檢測1.方程y=-表示的曲線是(　　)A.一條射線 B.一個(gè)圓C.兩條射線 D.半個(gè)圓答案:D2.點(diǎn)P(2,-3)在曲線x2-ay2=1上,則a=　　　　　.  解析:將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入方程中即可求得a=.答案:3.平面直角坐標(biāo)系中,已知A,B分別為坐標(biāo)軸上的動點(diǎn)且|AB|=5,若線段AB的中點(diǎn)為M(x,y),則動點(diǎn)M的軌跡方程為　　　　　　　　. 解析:根據(jù)題意及三角形的幾何性質(zhì)可知|OM|=|AB|,即|OM|=,∴動點(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)O為圓心,以為半徑的圓.答案:x2+y2=5.已知點(diǎn)A(1,0),直線l:y=2x-4,點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn),若,則點(diǎn)P的軌跡方程為　            . 解析:設(shè)P(x,y),R(x1,y1),由知,點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn),∴∵點(diǎn)R(x1,y1)在直線y=2x-4上, ∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即y=2x.答案:y=2x 6.已知方程x2+(y-1)2=10.(1)判斷點(diǎn)P(1,-2),Q(,3)是否在此方程表示的曲線上;(2)若點(diǎn)M在此方程表示的曲線上,求m的值.解:(1)∵12+(-2-1)2=10,()2+(3-1)2=6≠10,∴點(diǎn)P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上,點(diǎn)Q(,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上.(2)∵點(diǎn)M在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上,∴x=,y=-m適合上述方程,即+(-m-1)2=10,解得m=2或m=-,∴m的值為2或-. 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 四、小結(jié)五、課時(shí)練 通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的發(fā)展背景，過程和本質(zhì)，揭示人們探索真理的道路。本節(jié)課在學(xué)生學(xué)習(xí)了集合和直線的方程、圓的方程知識的基礎(chǔ)上，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論產(chǎn)生的背景和逐步形成的過程，體會孕育在其中的思想，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。為突破曲線的方程與方程的曲線定義的難點(diǎn)，選擇學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新知最鄰近“直線的方程”，“ 圓的方程”入手，以集合相等，輔助理解 “曲線的方程”與“方程的曲線”，進(jìn)一步強(qiáng)化了概念理解的深刻性。無論是判斷、證明，還是求解曲線的方程，都要緊扣曲線方程的概念，即始終以是否滿足概念中的兩條為準(zhǔn)則。   

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.4 曲線與方程

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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