知識點01 雙曲線的定義
1.定義：在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.
2.焦距：這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.
注意：1. 若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；
2. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；
3. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；
4. 若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。
【即學即練1】（23-24高二上·江西·期末）已知點P是雙曲線C：x2-y215=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，若PF1=7，則PF2=（ ）
A．5B．13C．5或9D．5或6
【答案】C
【分析】由雙曲線的定義求解.
【詳解】由題意可知a=1，c=1+15=4，PF1>c+a=5，若PF1=7，則|7-|PF2||=2 ? PF2=5或9．
故選：C
【即學即練2】（23-24高二上·河南洛陽·階段練習）已知F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)兩個不同的定點，則“||MF1|-|MF2||為定值”是“動點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】充分、必要條件的判斷，一方面需要判斷充分性，另一方面要判斷必要性，結(jié)合雙曲線的定義，只有“||MF1|-|MF2||為定值”且“||MF1|-|MF2||0,b>0的右焦點為F，直線l：y=x與E交于A，B兩點，且AF⊥BF，則b2a2= .
【答案】2+1/1+2
【分析】設雙曲線E的左焦點為F'，分析可知AF'BF為矩形，則AO=OF'=OF=c,∠AOF=45°，分析可知m2+n2=4c2m-n=2amn=2c2，即可得結(jié)果.
【詳解】設雙曲線E的左焦點為F'，連接AF',BF'，AF'=m,AF=n，
由對稱性可知：OA=OB,OF'=OF，可知AF'BF為平行四邊形，
且AF⊥BF，可知AF'BF為矩形，可得AO=OF'=OF=c,∠AOF=45°，
由題意可得：m2+n2=4c2m-n=2a12mn=2×12×c×c×22，即m2+n2=4c2m-n=2amn=2c2，
因為m-n2=m2+n2-2mn，可得4a2=4c2-22c2=4a2+b2-22a2+b2，
整理可得b2a2=12-1=2+1.
故答案為：2+1.
【點睛】方法點睛：焦點三角形的作用
在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．
【題型1：雙曲線的定義】
例1．（2023高三·全國·專題練習）已知動點M(x,y)滿足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=4，則動點M的軌跡是（ ）
A．射線B．直線
C．橢圓D．雙曲線的一支
【答案】A
【分析】利用兩點間的距離公式分析條件的幾何意義可得.
【詳解】設F1-2,0,F22,0，由題意知動點M滿足MF1-MF2=4=F1F2|，故動點M的軌跡是射線.
故選：A.
變式1．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）到兩定點F1-3,0、F23,0的距離之差的絕對值等于6的點M的軌跡（ ）
A．橢圓B．直線C．雙曲線D．兩條射線
【答案】D
【分析】根據(jù)動點到兩定點的距離和兩定點的距離關系判斷即可.
【詳解】因為MF1-MF2=6，F(xiàn)1F2=6，
故M的軌跡是已F1、F2為端點的兩條射線，
故選：D.
變式2．（22-23高二下·福建福州·期中）設P是雙曲線x216-y220=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|=9，則|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
【答案】B
【分析】先求出P點的位置，再根據(jù)雙曲線的定義求解.
【詳解】對于x216-y220=1,a2=16,b2=20,∴c2=a2+b2=36,a=4,c=6 ，
PF1=9< a+c ，所以P點在雙曲線的左支，則有PF2-PF1=2a=8,∴PF2=17 ；
故選：B.
變式3．（23-24高二上·廣東東莞·期中）設F1、F2是兩定點，F(xiàn)1F2=6，動點P滿足PF1-PF2=4，則動點P的軌跡是（ ）
A．雙曲線B．雙曲線的一支C．一條射線D．軌跡不存在
【答案】B
【分析】由PF1-PF2=4

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2.6.1 雙曲線的標準方程

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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