2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)——2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)同步課時(shí)訓(xùn)練一、   概念練習(xí)1.雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于(   )A. B. C.4 D.2.已知雙曲線方程為，則(   )A.實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為2 B.實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為4 C.實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為 D.實(shí)軸長(zhǎng)為4，虛軸長(zhǎng)為3.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則其虛軸長(zhǎng)為(   )A.1 B.4 C.3 D.04.已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，漸近線方程為，且它的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為(   )A.1 B.2 C.4 D.5.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，則雙曲線C的漸近線方程為(   )A. B. C. D.二、能力提升6.雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則的面積為(   )A. B. C. D.7.過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程是(   )A. B. C. D.8. （多選）已知雙曲線，則下列說(shuō)法正確的是(   ).A.m的取值范圍是 B.雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上C.雙曲線C的焦距為6 D.雙曲線C的離心率e的取值范圍是9. （多選）已知雙曲線，則下列關(guān)于雙曲線C的結(jié)論正確的是(   ).A.實(shí)軸長(zhǎng)為6 B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為，C.離心率為 D.漸近線方程為10. （多選）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為30°，則(   )A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.D.直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)11.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且.若，則雙曲線的離心率是___________.12.記雙曲線的離心率為e，寫(xiě)出滿足條件“直線與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______________.13.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程是___________________.14.已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且.若為等腰三角形，求該雙曲線的漸近線方程.15.雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P的兩條直線，與雙曲線C分別交于A,B兩點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)不與P點(diǎn)重合)，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).


 
答案以及解析1.答案：A解析：雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，則有，.由題意得，，解得.2.答案：B解析：雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為4.3.答案：B解析：設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且，一條漸近線的方程為，則，故虛軸長(zhǎng)為.4.答案：B解析：因?yàn)殡p曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，漸近線方程為，且它的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，，可得，解得，所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2.5.答案：A解析：在中，，由余弦定理得，得，故的面積，所以.因?yàn)?/span>O是的中點(diǎn)，所以，兩邊同時(shí)平方得，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為，故選A.6.答案：A解析：由雙曲線的方程為，知，，故，漸近線的方程為.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，作于Q，如圖，，為OF的中點(diǎn)，.令，由得.的面積.故選A.7.答案：A解析：因?yàn)樗箅p曲線與雙曲線有相同漸近線，所以設(shè)其方程為，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，則雙曲線方程為.故選A.8.答案：ABC解析：因?yàn)?/span>表示雙曲線，所以，解得，故A正確；因?yàn)?/span>，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故B正確；設(shè)雙曲線的半焦距為c，則，所以，，故C正確；雙曲線的離心率，故D錯(cuò)誤.故選ABC.9.答案：AC解析：根據(jù)題意可得，，所以，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，故A正確；雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，故B錯(cuò)誤；雙曲線的離心率，故C正確；雙曲線的漸近線方程為，即，故D錯(cuò)誤.故選AC.10.答案：ABD解析：依題意得，，又知，，.又，且，在中，是最小的邊，，，整理得，即，，，.雙曲線的離心率，A正確.雙曲線的漸近線方程為，B正確.根據(jù)前面的分析可知，為直角三角形，且，若，則.又知，，，C不正確.直線，即，其斜率為，，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，D正確.故選ABD.11.答案：解析：結(jié)合題意作出圖形如圖所示，由題意知，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為的直線的方程為，由，解得，所以.因?yàn)?/span>，所以，即，得，所以，將代入雙曲線方程，可得，結(jié)合離心率得，又，所以雙曲線的離心率為.12.答案：內(nèi)的任意值均可解析：雙曲線C的漸近線方程為，若直線與雙曲線C無(wú)公共點(diǎn)，則，，，又，，填寫(xiě)內(nèi)的任意值均可.13.答案：解析：由雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，解得，又，所以，易知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故雙曲線的漸近線方程為.14.答案：因?yàn)?/span>P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，所以，又，所以，.因?yàn)?/span>為等腰三角形，所以或，即有或(舍去)，因此，所以，所以，，故漸近線方程為.15.答案：(1).(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.解析：(1)由題得雙曲線C的一條漸近線方程為，虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為，
依題意得，即，
即，①
又點(diǎn)在雙曲線C上，
所以，即，②
由①②解得，，
所以雙曲線C的方程為.
(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
設(shè)，，
則由，解得，
即，解得，不符合題意，所以直線AB的斜率存在.
不妨設(shè)直線AB的方程為，代入，
整理得，，
設(shè)，，
則，，
由，得，
即，
整理得，
所以，
整理得，即，
所以或.
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，不符合題意.
綜上，直線AB過(guò)定點(diǎn).

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2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)

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