知識點01 兩點間距離公式
定義：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝（x2?x1）2+（y2?y1）2
【即學(xué)即練1】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）若A(?3,5),B(2,0)，則|AB|為 .
【答案】52
【分析】根據(jù)題意，利用平面上兩點間的距離公式，即可求解.
【詳解】由題意，根據(jù)平面上兩點間的距離公式，可得AB=(?3?2)2+(5?0)2=52，
故答案為：52.
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）已知點(x,y)到原點的距離等于1，則實數(shù)x,y滿足的條件是（ ）
A．x2?y2=1B．x2+y2=0
C．x2+y2=1D．x2?y2=0
【答案】C
【分析】由兩點之間的距離公式列式即得.
【詳解】依題意，由點P(x,y)到原點的距離等于1可得，|PO|=(x?0)2+(y?0)2=x2+y2=1，
故實數(shù)x,y滿足的條件是x2+y2=1.
故選：C.
知識點02點到直線的距離公式
1.點到直線的距離公式
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離，d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
2.點到特殊直線的距離公式
點P0(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d＝|y0-a|,到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d＝|x0-b|.
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·新疆·期末）點M(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離為（ ）
A．?2B．2C．?1D．1
【答案】D
【分析】利用點到直線的距離公式直接計算得解.
【詳解】點M(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離d=|3×1+4×2?6|32+42=1.
故選：D
【即學(xué)即練4】(多選)（23-24高二下·全國·隨堂練習(xí)）已知點M1,4到直線l:mx+y?1=0的距離為3，則實數(shù)m等于（ ）
A．0B．34C．3D．2
【答案】AB
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式計算即可.
【詳解】依題意m+4?1m2+1=3，即4m2?3m=0,解得m=0或m=34.
故選：AB.
知識點03 兩條平行線之間的距離
1.兩條平行線之間的距離
兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.
2.兩條平行線之間的距離公式
兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
【即學(xué)即練5】（23-24高二上·北京房山·期末）兩條直線l1:x?2y?4=0與l2:x?2y+1=0之間的距離是（ ）
A．5B．1C．5D．355
【答案】C
【分析】依題意代入兩平行線之間的距離公式即可得出結(jié)果.
【詳解】由兩平行線之間的距離公式可得d=1+412+?22=5.
故選：C
【即學(xué)即練6】（22-23高二上·廣東肇慶·階段練習(xí)）兩平行直線2x?y?1=0與4x?2y+3=0之間的距離為 ．
【答案】52/125
【分析】由兩平行間的距離公式可求兩直線間的距離.
【詳解】由2x?y?1=0，可得4x?2y?2=0，
所以2x?y?1=0與4x?2y+3=0之間的距離為|?2?3|42+22=52.
故答案為：52.
難點：將軍飲馬問題
示例1：（24-25高二下·上?！卧獪y試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為A(?3,0)，若將軍從山腳下的點B(?1,1)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=1，則“將軍飲馬”的最短總路程為 ．
【答案】13
【分析】求出B(?1,1)關(guān)于直線x+y=1對稱的點C(0,2)，結(jié)合圖形，即可求解.
【詳解】設(shè)點B(?1,1)關(guān)于直線x+y=1對稱的點為C(x,y)，
則有?1+x2+1+y2=11?y?1?x?(?1)=?1，解得x=0y=2，所以C(0,2)，
則PA+PB=PA+PC，所以“將軍飲馬”的最短總路程為|AC|=32+22=13，

故答案為：13.
難點：類比距離問題
示例2：（2024高二下·吉林·競賽）已知函數(shù)fx=2x4?18x2+12x+68+x2?x+1，則（ ）
A．fx的最小值為8B．fx的最小值為9
C．fx=8有1個實根D．fx=9有1個實根
【答案】B
【分析】先設(shè)點的坐標，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為PQ+PM，再結(jié)合圖形特征得出最小值即可.
【詳解】Px,x2是拋物線y=x2上一點，
P到直線y=x?1的距離為PQ=x2?x+1?12+12=22x2?x+1= 22x2?x+1，
P到點M?3,5的距離為PM=x+32+x2?52，
所以fx=2x4?18x2+12x+68+x2?x+1=2PM+PQ
當(dāng)M，P，Q共線時，PQ+PM取最小值，
最小值為M?3,5到y(tǒng)=x?1的距離?3?5?12=922.
因為y=222x2?x+1+x+32+x2?52=2PQ+PM，
且PQ+PM的最小值為922，
所以y的最小值為9，且在交點P?2,4或P1,1處取到，
故選：B.
【題型1：平面兩點之間的距離】
例1．（21-22高二上·河北衡水·階段練習(xí)）點M1(2,?5)與M2(5,y)之間的距離是5，則y=（ ）
A．?9B．?1C．?9或?1D．12
【答案】C
【分析】由兩點間距離公式計算．
【詳解】由題意(5?2)2+(y+5)2=5，即(y+5)2=16，解得y=?1或y=?9．
故選：C．
變式1．（2023·江西上饒·模擬預(yù)測）已知a+b?7=0，c+d?5=0，則(a+c)2+(b+d)2的最小值等于（ ）
A．3B．6C．42D．62
【答案】D
【分析】令A(yù)(a,b)，B(c,d)，得到點A，B分別在直線x+y?7=0，x+y?5=0上，設(shè)線段AB的中點為M，則Ma+c2,b+d2，且點M在直線x+y?6=0上，將所求問題，轉(zhuǎn)化為點M到原點的距離的2倍，根據(jù)點到直線距離公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】令A(yù)(a,b)，B(c,d)，由已知可得點A，B分別在直線x+y?7=0，x+y?5=0上，
設(shè)線段AB的中點為M，則Ma+c2,b+d2，
M到原點的距離d=a+c22+b+d22=12×(a+c)2+(b+d)2，
依題意點M在直線x+y?6=0上，
所以點M到原點的最小距離即為原點到直線x+y?6=0的距離，為0+0?62=32，
因此12(a+c)2+(b+d)2的最小值為32，因此(a+c)2+(b+d)2的最小值等于62.
故選：D.
變式2．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知點A的坐標?8,12，線段AB中點的坐標為?12,2，則B點坐標為 ，|AB|為 .
【答案】 7,?8 25
【分析】設(shè)B點的坐標為x,y，根據(jù)中點坐標公式列出關(guān)于x,y的方程組，解出方程組即可得B點的坐標.
【詳解】設(shè)B點的坐標為x,y，
∵點A的坐標?8,12，線段AB中點的坐標為?12,2，
∴?8+x2=?1212+y2=2，解得x=7y=?8，
即B點的坐標為7,?8，所以|AB|=25
故答案為：7,?8；25.
變式3．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）已知△ABC的三個頂點坐標是A(1,?1)，B(?1,3)，C(3,0)．則△ABC的形狀為 ；△ABC的面積為 .
【答案】 直角三角形 5
【分析】根據(jù)兩點距離公式，結(jié)合勾股定理的逆定理、直角三角形面積公式進行求解即可.
【詳解】因為|AB|=(?1?1)2+[3?(?1)]2=20=25，
|AC|=(3?1)2+[0?(?1)]2=5，|BC|=[3?(?1)]2+(0?3)2=25=5，
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2，即△ABC是以A為直角頂點的直角三角形．
由于△ABC是以A為直角頂點的直角三角形，所以S△ABC=12|AB|?|AC|=5.
故答案為：直角三角形；5
變式4．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知A(a,0),B(0,10)，且|AB|=17，則a= ．
【答案】±321
【分析】根據(jù)題意，直接根據(jù)平面直角坐標系上兩點的距離公式，即可求解.
【詳解】因為A(a,0),B(0,10)且|AB|=17，所以|AB|=a2+0?102=17，解得a=±321
故答案為：±321
變式5．（21-22高二上·北京·階段練習(xí)）已知點A?3,0,Bcsα,sinα，且AB=2，寫出直線AB的一個方程
【答案】x?3y+3=0(答案不唯一)
【分析】根據(jù)兩點間的距離公式，求出csα的值，然后寫出點B的坐標，從而可求直線AB的一個方程.
【詳解】根據(jù)兩點間的距離公式，得csα+32+sin2α=2，
即sin2α+cs2α+3+23csα=4。所以csα=0，
所以sinα=1或sinα=?1，
當(dāng)sinα=1時，A?3,0,B0,1，直線AB的方程為x?3y+3=0；
當(dāng)sinα=?1時，A?3,0,B0,?1，直線AB的方程為x+3y+3=0.
故答案為：x?3y+3=0.(答案不唯一)
變式6．（2021高二上·全國·專題練習(xí)）已知點A?2,?1,Ba,3，且AB=5，則a的值為 .
【答案】1或?5
【分析】利用兩點的距離公式計算即可得出答案.
【詳解】由兩點間距離公式得(?2?a)2+(?1?3)2=52，所以(a+2)2=9，所以a+2=±3，即a=1或a=?5.
故答案為：1或?5
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）二元函數(shù)fx,y=(x+csy)2+(2x+3+siny)2的值域為 ．
【答案】14?655,+∞
【分析】把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離為最小值即可得出值域.
【詳解】由題意可知二元函數(shù)fx,y的幾何意義為單位圓上一點A?csy,?siny到直線y=2x+3上一點B距離的平方，最小值為圓心到直線距離減半徑，圓心為O0,0,d=312+22=35
|AB|min2=35?12=14?655，則fx,y∈14?655,+∞．
故答案為：14?655,+∞.
變式8.（2021高二·黑龍江哈爾濱·學(xué)業(yè)考試）已知A(?2,0)，B(0,4)，線段AB的垂直平分線為直線l．
(1)求直線l的一般式方程；
(2)若點C在直線l上，且|AC|=10，求點C坐標．
【答案】(1)x+2y?3=0
(2)1,1或?3,3
【分析】（1）由題意，求出線段AB的中點坐標及直線l的斜率kl=?1kAB，然后利用點斜式寫出直線方程，化簡即可得答案；
（2）設(shè)點C坐標為a,b，由題意，列出關(guān)于a,b的方程組求解即可得答案.
【詳解】（1）解：因為A?2,0，B0,4，所以線段AB的中點為?1,2，kAB=0?4?2?0=2，
又線段AB的垂直平分線為直線l，所以kl=?1kAB=?12，
所以直線l的方程為y?2=?12x+1，即x+2y?3=0，
所以直線l的一般式方程為x+2y?3=0；
（2）解：設(shè)點C坐標為a,b，
由題意有a+2b?3=0a+22+b2=10，解得a=1b=1或a=?3b=3，
所以點C坐標為1,1或?3,3.
【題型2：點到直線的距離】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）點M(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離為（ ）
A．?2B．2C．?1D．1
【答案】D
【分析】利用點到直線的距離公式直接計算得解.
【詳解】點M(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離d=|3×1+4×2?6|32+42=1.
故選：D
變式1．（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知直線l：x+my?2m?1=0，則點P2,?1到直線l距離的最大值為（ ）
A．5B．10C．5D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)直線方程，可得直線過定點A1,2，即可求出結(jié)果.
【詳解】直線l：x+my?2m?1=0，即x?1+m(y?2)=0，
由x?1=0y?2=0，得到x=1,y=2，所以直線過定點A1,2，
當(dāng)直線l垂直于直線AP時，距離最大，此時最大值為AP=(2?1)2+(?1?2)2=10，
故選：B.
變式2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知A?3,?4，B6,3兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等，求a的值（ ）
A．13B．?97C．?13或?79D．13或?79
【答案】C
【分析】利用點到直線距離公式列出關(guān)于a的方程求解即可．
【詳解】因為點A(?3,?4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等，
所以|?3a?4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，即|?3a?3|=|6a+4|，
化簡得27a2+30a+7=0，解得a=?13或a=?79.
故選：C.
變式3．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）直線x+y?1=0上與點P(?2,3)的距離等于2的點的坐標可以是（ ）
A．(?4,5)B．(?1,2)C．(?3,4)D．(1,?5)
【答案】BC
【分析】設(shè)所求點的坐標為(x0,y0)，然后根據(jù)題意列方程組可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)所求點的坐標為(x0,y0)，則x0+y0?1=0，且(x0+2)2+(y0?3)2=2，
兩式聯(lián)立解得x0=?3y0=4或x0=?1y0=2，
所以所求點的坐標為(?1,2)或(?3,4)
故選：BC
變式4．（多選）（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知直線l:y=ax?a+1，下列說法正確的是（ ）
A．直線l過定點?1,1
B．當(dāng)a=1時，l關(guān)于x軸的對稱直線為x+y=0
C．直線l一定經(jīng)過第四象限
D．點P3,?1到直線l的最大距離為22
【答案】BD
【分析】A.由l:y=ax?a+1=ax?1+1判斷；B.由a=1時，直線方程為y=x判斷；C.由a=1時，直線方程為y=x判斷；D.點P3,?1到定點的距離判斷.
【詳解】對于A，直線l:y=ax?a+1=ax?1+1，所以直線l過定點Q1,1，故A錯誤；
對于B.當(dāng)a=1時，直線方程為y=x，l關(guān)于x軸的對稱直線為x+y=0，故B正確；
對于C，當(dāng)a=1時，直線方程為y=x，直線l不經(jīng)過第四象限，故C錯誤；
對于D，如圖所示：
設(shè)PH⊥l，由圖象知：PQ≥PH，點P3,?1到直線l的最大距離為d=3?12+?1?12=22，故D正確；
故選：BD
變式5．（多選）（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知點P1,3與Q?3,1到直線l的距離相等，則l的方程可以是（ ）
A．2x+y=0B．x?2y?3=0
C．2x+3y?5=0D．3x?2y+7=0
【答案】ABD
【分析】根據(jù)點到直線的距離相等，可得l過PQ的中點，或l的斜率與PQ的斜率相等，進而兩種情況進行判斷.
【詳解】由題知，l過PQ的中點，或l的斜率與PQ的斜率相等，
又PQ的中點為?1,2，
則過點?1,2的直線為AD選項；
又PQ的斜率為3?11??3=12，則B選項符合條件.
故選：ABD
變式6．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）若點P?2,?1到直線l：1+3λx+1+2λy=2+5λ的距離為d，則d的取值范圍是 ．
【答案】0,13
【分析】先確定直線恒過定點A1,1，再計算|PA|，從而可得結(jié)論．
【詳解】解：把直線l的方程化為(x+y?2)+λ3x+2y?5=0，
由方程組x+y?2=0,3x+2y?5=0,
解得x=1,y=1,
所以直線l恒過定點A1,1，
其中直線l不包括直線3x+2y?5=0．
又PA=(?2?1)2+(?1?1)2=13，
且當(dāng)PA與直線3x+2y?5=0垂直時，點P到直線3x+2y?5=0的距離為13，
所以點P到直線l的距離d滿足0≤d0，
整理，得2a+b+3a2+b2=5a?3b+3a2+b2=t，
看成有且僅有三條直線滿足，A2,1和B(5,?3）到直線l：ax+by+3=0（不過原點）的距離L相等．由AB=(5?2)2+(?3?1)2=5，
（1）當(dāng)t=AB2=52，此時，易得符合題意的直線l為線段AB的垂直平分線6x?8y?29=0以及直線AB平行的兩條直線8x+ 6y+3=0和8x+6y?47=0；
（2）當(dāng)t0的夾角平分線為y=x，則直線l的方程為 .
【答案】bx+ay+c=0
【分析】由題意知，直線l和ax+by+c=0關(guān)于直線y=x對稱，故把l的方程中的x 和y交換位置即得直線l的方程．
【詳解】由題意可得直線l與直線ax+by+c=0關(guān)于直線y=x對稱，
由于直線ax+by+c=0上的任意一點Mx,y關(guān)于直線y=x的對稱點為Ny,x，
因為已知直線ax+by+c=0，則l的方程是ay+bx+c=0，即bx+ay+c=0，
故答案為：bx+ay+c=0.
變式5．（22-23高二上·安徽六安·階段練習(xí)）已知直線l1的方程為x?2y+4=0.
（1）若直線l1和直線l2關(guān)于點0,0對稱，求直線l2的方程 ；
（2）若直線l1和直線l2關(guān)于直線y=x對稱，求直線l2的方程 .
【答案】 x?2y?4=0 2x?y?4=0.
【分析】根據(jù)題意，由點Ax,y關(guān)于點0,0對稱的點A′?x,?y在直線l1上，列出方程即可得到結(jié)果；由題意可得直線l1與直線y=x的交點，求出C0,2關(guān)于直線y=x對稱的點為C′s,r，即可得到直線方程.
【詳解】因為直線l1和直線l2關(guān)于點0,0對稱，
在直線l2上任取一點Ax,y，則Ax,y關(guān)于點0,0對稱的點A′?x,?y在直線l1上，
將點A′?x,?y代入直線l1可得?x+2y+4=0，
所以直線l2的方程為x?2y?4=0；
設(shè)直線l1與直線y=x的交點為Bp,q，
所以p=qp?2q+4=0，解得p=q=4，則B4,4，
在直線l1上取點C0,2，設(shè)C0,2關(guān)于直線y=x對稱的點為C′s,r，
則r?2s?0×1=?1①
因為C0,2與C′s,r的中點坐標為0+s2,2+r2，
所以0+s2=2+r2②
由①②可得s=2r=0，所以C′2,0
因為直線l1和直線l2關(guān)于直線y=x對稱，
所以直線l2經(jīng)過點B4,4和點C′2,0，
所以直線l2的兩點式方程為y?04?0=x?24?2，
整理得直線l2的一般式方程為2x?y?4=0.
故答案為: x?2y?4=0;2x?y?4=0.
變式6．（23-24高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知△ABC的三個頂點是A1,1，B3,3，C2,8．
(1)過點B的直線l1與邊AC相交于點D，若△BCD的面積是△ABD面積的3倍，求直線l1的方程；
(2)求∠BAC的角平分線所在直線l2的方程．
【答案】(1)x?7y+18=0
(2)2x?y?1=0
【分析】（1）設(shè)Dx0,y0，根據(jù)平面向量的坐標關(guān)系確定DC=3AD，即可列方程得D的坐標，從而可得直線方程；
（2）利用對稱性結(jié)合直線方程確定B關(guān)于直線l對稱的點為B′的坐標關(guān)系式，即可得所求.
【詳解】（1）設(shè)Dx0,y0則AD=x0?1,y0?1，DC=2?x0,8?y0
因為△BCD的面積是△ABD面積的3倍，所以DC=3AD，
則2?x0=3(x0?1)8?y0=3(y0?1)解得x0=54y0=114
故直線l1的方程為y?3=3?1143?54(x?3)，即x?7y+18=0
（2）顯然，l2的斜率存在且不為零，設(shè)l2的方程為y?1=kx?1，
則過點B且與l2垂直的直線l的方程為y?3=?1k(x?3)
設(shè)點B關(guān)于直線l對稱的點為B′x1,3?1k(x1?3)，
因為直線AC的方程為7x?y?6=0，
所以7x1?3+1kx1?3?6=03+3?1kx1?32?1=k3+x12?1
整理得2k3?3k2?2k=0
因為k≠0，所以2k2?3k?2=0，解得k=2或k=?12
又kAC=7>0，kAB=1>0，所以k>0，
故直線l2的方程為y?1=2x?1，即2x?y?1=0
變式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直線l:2x+3y?5=0，求滿足下列條件的直線的方程．
(1)與直線l關(guān)于x軸對稱；
(2)過點3,1，且與l平行．
【答案】(1)2x?3y?5=0；
(2)2x+3y?9=0.
【分析】（1）由對稱方法求出直線方程作答.
（2）利用平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再求出待定系數(shù)作答.
【詳解】（1）設(shè)與直線l關(guān)于x軸對稱的直線l1上任意點坐標為(x,y)，則點(x,?y)在直線l上，即有2x+3(?y)?5=0，
所以直線l1的方程為2x?3y?5=0.
（2）設(shè)與直線l平行的直線l2的方程為2x+3y+m=0(m≠?5)，
于是2×3+3×1+m=0，解得m=?9，
所以直線l2的方程為2x+3y?9=0.

【方法技巧與總結(jié)】
1.相交時：此問題可轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于直線”的對稱問題
2.平行時：對稱直線與已知直線平行
【題型7：反射光線問題】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點A?2,1射出，經(jīng)直線2x?y+10=0反射，且反射光線所在直線過點B(?8,?3)，則反射光線所在直線的方程是（ ）
A．x?3y?1=0B．3x?y+21=0
C．x+3y+17=0D．3x+y+15=0
【答案】B
【分析】求出A(?2,1)關(guān)于直線2x?y+10=0的對稱點為C的坐標，由B,C都在反射光線所在直線上得直線方程．
【詳解】設(shè)A(?2,1)關(guān)于直線2x?y+10=0的對稱點為C(x,y)，
則(x?2)?y+12+10=0y?1x+2=?12，解得x=?6y=3，即C(?6,3)，
所以反射光線所在直線方程為y?3=?3?3?8+6?(x+6)，即3x?y+21=0．
故選：B．
變式1．（22-23高二上·浙江·階段練習(xí)）一條光線從點P?1,5射出，經(jīng)直線x?3y+1=0反射后經(jīng)過點2,3，則反射光線所在直線的方程為（ ）
A．2x?y?1=0B．x?2=0
C．3x?y?3=0D．4x?y?5=0
【答案】B
【分析】求出點P?1,5關(guān)于直線x?3y+1=0的對稱點，再利用反射光線過點，即可求解.
【詳解】設(shè)點P?1,5關(guān)于直線x?3y+1=0的對稱點為P1a,b，
則b?5a+1×13=?1a?12?3×b+52+1=0，化簡得b=?3a+2a?3b?14=0，解得a=2b=?4，
故反射光線過點2,?4,2,3，
則反射光線所在直線的方程為x?2=0.
故選：B.
變式2．（23-24高三上·河南三門峽·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點P，若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則△PQR的周長等于（ ）
A．853B．2373
C．415D．533
【答案】A
【分析】以A為坐標原點，AB,AC所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，通過對稱光線的對稱關(guān)系找到點P關(guān)于BC，AC的對稱點P1，P2，則△PQR即為P1P2的長.
【詳解】解析：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直線BC的方程為x+y?4=0.
設(shè)P(t,0)(00)與直線l2:x+3y?3=0間的距離為10，則m=（ ）
A．17B．172C．14D．7
【答案】D
【分析】根據(jù)平行直線間的距離公式計算即可.
【詳解】由題意，m+31+9=10，解得m=7（m=?13舍去）.
故選：D.
3．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）若原點到直線ax+by+c=0的距離為1，則a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系式為（ ）
A．c2=a2+b2B．a(chǎn)2=b2+c2
C．b2=a2+c2D．c=a+b
【答案】A
【分析】根據(jù)題意利用點到直線的距離公式分析求解.
【詳解】原點O0,0到直線ax+by+c=0的距離為1，
則a×0+b×0+ca2+b2=1，整理得c2=a2+b2.
故選：A.
4．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點A2,1，點B在直線x?y+3=0上，則AB的最小值為（ ）
A．5B．26C．22D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)點到直線的距離即可求解.
【詳解】由于A2,1不在直線l:x?y+3=0上，所以當(dāng)AB⊥l時，此時AB最小，
故ABmin=d=2?1+32=22,
故選:C
5．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線l：x?y=0，則點A?1,4關(guān)于l對稱的點的坐標為（ ）
A．4,1B．4,?1C．?1,?4D．1,4
【答案】B
【分析】根據(jù)垂直斜率關(guān)系，以及中點在直線上即可列方程求解.
【詳解】設(shè)點A?1,4關(guān)于l對稱的點為A′a,b，則b?4a+1=?1?1+a2?4+b2=0，解得a=4,b=?1，
故選：B
6．（23-24高二上·廣西玉林·期中）已知A?2,4，B?4,6兩點到直線l:ax?y+1=0的距離相等，則a的值為（ ）
A．?1或?43B．3或4C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式建立方程，解之即可求解.
【詳解】由題意知，
?2a?4+1a2+1=?4a?6+1a2+1，整理得2a+3=4a+5，
即2a+3=±(4a+5)，解得a=?1或a=?43.
故選：A.
7．（23-24高二下·全國·課堂例題）直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，則實數(shù)k的值為（ ）
A．k≠1或k≠9B．k≠1或k≠?9
C．k≠1且k≠9D．k≠1且k≠?9
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解即得.
【詳解】由直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，得3(2k?3)?k[?(k+2)]≠0，
即(k+9)(k?1)≠0，解得k≠1且k≠?9，
所以實數(shù)k的值為k≠1且k≠?9.
故選：D
8．（23-24高二上·廣東湛江·期中）某地A,B兩廠在平面直角坐標系上的坐標分別為A0,0,B?2,0，一條河所在直線的方程為x+2y?5=0.若在河上建一座供水站P，則P到A,B兩點距離之和的最小值為（ ）
A．42B．32C．43D．48
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點間距離公式和點的對稱性建立方程組，求解即可.
【詳解】
如圖，設(shè)A關(guān)于直線x+2y?5=0對稱的點為A′(a,b)，
則a2+2?b2?5=0,ba??12=?1,得a=2,b=4,即A′2,4，
易知AP=A′P，
當(dāng)A′,P,B三點共線時，
PA+PB=PA′+PB取得最小值，
最小值為A′B= (2+2)2+(4?0)2=42.
故選：A
二、多選題
9．（23-24高二下·廣西·開學(xué)考試）若直線l1：y=34x+2，l2：3x?4y+8=0，l3：y=34x?1，l4：y=?34x+1，則（ ）
A．l1∥l2B．l1與l3之間的距離為125
C．l2∥l3D．l1與l4的傾斜角互補
【答案】BCD
【分析】根據(jù)直線方程判斷直線的平行關(guān)系，可判定AC的真假；根據(jù)平行線的距離公式，判斷B的真假；根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，判斷D的真假.
【詳解】由3x?4y+8=0，得y=34x+2，所以l1與l2重合，l2∥l3，A錯誤，C正確．
l1與l3之間的距離為|2?(?1)|12+342=125，B正確．
因為l1與l4的斜率互為相反數(shù)，所以l1與l4的傾斜角互補，D正確．
故選：BCD
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直線l1：2x?y=0與l2：x+y?3=0交于點P，則下列說法正確的是（ ）
A．點P到原點的距離為5
B．點P到直線x?y?1=0的距離為1
C．不論實數(shù)m取何值，直線l3：m+2x?2y?1=0都經(jīng)過點P
D．1,?1是直線l2的一個方向向量的坐標
【答案】AD
【分析】根據(jù)給定條件，求出點P的坐標，再逐項計算、判斷即得.
【詳解】由2x?y=0x+y?3=0，解得x=1,y=2，則點P(1,2)，
對于A，P(1,2)到原點距離12+22=5，A正確；
對于B，P(1,2)到直線x?y?1=0的距離|1?2?1|12+(?1)2=2，B錯誤；
對于C，(m+2)×1?2×2?1=m?3，當(dāng)m≠3時，直線l3不過點P，C錯誤；
對于D，直線l2的斜率k=?1，因此1,?1是直線l2的一個方向向量的坐標，D正確.
故選：AD
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）點A2，7，B?2，3到直線l:ax?2y+a?1=0的距離相等，則a的值可能為（ ）
A．－2B．2C．9D．11
【答案】BD
【分析】分點A,B在直線l的同側(cè)或兩側(cè)進行討論即可.
【詳解】①若點A,B在l的同側(cè)，則直線AB//l，
即a2=7?32??2，解得a=2，
②若A,B在l的兩側(cè)，則l經(jīng)過線段AB的中點0,5，
即a×0?2×5+a?1=0?a=11，
故選：BD.
三、填空題
12．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，點Px,y在直線x+2y?5=0上，當(dāng)OP最小時，P點的坐標為 .
【答案】1,2
【分析】求出過原點與已知直線垂直的直線方程，聯(lián)立已知方程求解可得.
【詳解】易知，當(dāng)OP垂直于直線x+2y?5=0時，OP取得最小值，
此時kOP=2，OP所在直線方程為y=2x，
聯(lián)立x+2y?5=0y=2x解得x=1,y=2，即P1,2.
故答案為：1,2
13．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）平面直角坐標系中，任意兩點Ax1,y1，Bx2,y2，定義dAB=x1?x22+y1?y22為“A，B兩點間的距離”，定義AB=x1?x2+y1?y2為“A，B兩點間的曼哈頓距離”，已知O(0,0)為坐標原點，P(x,y)(x≥0,y≤0)為平面直角坐標系中的動點，且OP=2，則dOP的最小值為 .
【答案】2
【分析】根據(jù)OP=2得出x?y=2，利用點到直線的距離可得答案.
【詳解】設(shè)Px,y，則由OP=x+y=2，
因為x≥0,y≤0，所以x?y=2，
dOP的最小值為點O到線段的距離，
dOP的最小值為|?2|2=2.
故答案為：2
14．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線l與直線2x?3y+4=0關(guān)于直線x=1對稱，則直線l的方程為 ．
【答案】2x+3y?8=0
【分析】利用直線對稱的性質(zhì)求得直線l的兩點，從而利用點斜式即可得解.
【詳解】直線2x?3y+4=0取兩點1,2,?2,0，
則它們關(guān)于x=1對稱的點為1,2,4,0在直線l上，
故直線l的斜率為0?24?1=?23，
則直線l的方程為y?0=?23(x?4)，即2x+3y?8=0.
故答案為：2x+3y?8=0.
15．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知實數(shù)x,y滿足xsinα+ycsα=3，則x2+y2的最小值為 .
【答案】9
【分析】利用兩點距離公式的幾何意義與點線距離公式即可得解.
【詳解】因為x2+y2表示點x,y到點0,0的距離的平方，
而x2+y2的最小值為點0,0到直線xsinα+ycsα=3的距離，即?3cs2α+sin2α=3，
所以x2+y2的最小值為9.
故答案為：9.
16．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）已知x,y∈R，S=x+12+y2+x?12+y2，則S的最小值是 .
【答案】2
【分析】S=x+12+y2+x?12+y2表示點P(x,y)到點A(?1,0)與點B(1，0)的距離之和，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】S=x+12+y2+x?12+y2表示點P(x,y)到點A(?1,0)與點B(1，0)的距離之和，
即S=PA+PB，如圖所示：
由圖象知：S=PA+PB≥AB=2，
當(dāng)點P在線段AB上時，等號成立.
所以S取得最小值為2.
故答案為：2.
四、解答題
17．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知直線l1：x+my+1=0和l2：2x+y?1=0．
(1)若l1與l2互相垂直，求實數(shù)m的值；
(2)若l1與l2互相平行，求l1與l2間的距離．
【答案】(1)m=?2
(2)355
【分析】（1）直接利用直線垂直的充要條件求出m的值；
（2）利用直線平行的充要條件求出m的值，進一步求出兩平行線間的距離．
【詳解】（1）直線l1:x+my+1=0和l2:2x+y?1=0．
當(dāng)直線l1與l2互相垂直，故2+m=0，
解得m=?2；故m=?2；
（2）當(dāng)直線l1與l2互相平行，則m=12，故直線l1的方程為2x+y+2=0；
所以直線l1與l2間的距離d=|2?(?1)|1+22=355．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四邊形ABCD中，A1,1,C5,5，邊AB,AD所在直線的方程分別為l1:x?3y+2=0和l2:3x?y?2=0．
(1)求BC邊所在直線的方程和點A到直線BC的距離；
(2)求線段AC垂直平分線所在的直線方程；
(3)求過點B且在x軸和y軸截距相等的直線方程．
【答案】(1)3x?y?10=0,4105；
(2)x+y?6=0；
(3)x?2y=0和x+y?6=0．
【分析】
（1）直線BC和直線AD平行，據(jù)此求出BC斜率，再根據(jù)BC過C，根據(jù)直線點斜式方程即可求解，再根據(jù)點到直線距離公式可求A到直線BC的距離；
（2）求出AC的斜率并求出線段AC中點坐標，根據(jù)點斜式方程即可求解；
（3）根據(jù)題意利用點斜式方程，表示出直線的橫截距和縱截距，列方程即可求解．
【詳解】（1）由BC//AD,AD的方程為l2:3x?y?2=0，
可得直線BC的斜率為3，又經(jīng)過點C5,5，
則直線BC的方程為y?5=3x?5，即3x?y?10=0；
點A到直線BC的距離為3?1?109+1=4105；
（2）由A1,1,C5,5，可得AC的中點坐標為3,3，
又直線AC的斜率為5?15?1=1，則線段AC垂直平分線斜率為?1，
則其所在的直線方程為y?3=?x?3，即為x+y?6=0；
（3）由x?3y+2=03x?y?10=0，解得B4,2，
由題意可得所求直線的斜率k存在且不為0，
設(shè)所求直線的方程為y?2=kx?4，
今x=0，則y=2?4k，
今y=0，則x=4?2k，
由題意可得2?4k=4?2k，
解得k=?1和k=12，
則所求直線方程為x?2y=0和x+y?6=0．
19．（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知兩條直線l1:(t?1)x+2y?t=0和l2:x+ty+t?4=0.
(1)討論直線l1與l2的位置關(guān)系；
(2)當(dāng)直線l1與l2平行時，求它們之間的距離；當(dāng)直線l1與l2相交時，求它們之間夾角的最大值，并指出相應(yīng)t的取值.
【答案】(1)答案見解析；
(2)平行時距離為924，相交時最大夾角為90°．
【分析】（1）由兩相交求得t的范圍，再討論平行與重合的情形即可；
（2）由平行線間距離公式求距離，考慮特殊情形即兩直線能否垂直，垂直時夾角最大為90°．
【詳解】（1）t(t?1)?2≠0，t≠2且t≠?1時，兩直線相交，
t=2時，兩直線方程分別為x+2y?2=0和x+2y?2=0，兩直線重合，
t=?1時，兩直線方程分別為?2x+2y+1=0和x?y?5=0，兩直線平行．
綜上， t≠2且t≠?1時，兩直線相交，t=2時，兩直線重合，t=?1時，兩直線平行．
（2）由（1）兩直線平行時，兩直線方程分別為?2x+2y+1=0和x?y?5=0即為2x?2y?1=0和2x?2y?10=0，距離為d=?10?(?1)22+(?2)2=924，
兩直線相交時，t≠2且t≠?1，
t≠0時，l1的斜率為k1=?t?12，l2的斜率為k2=?1t，
由?t?12?(?1t)=?1得t=13，即t=13時兩直線垂直，夾角最大為90°．
課程標準
學(xué)習(xí)目標
1.理解點到直線距離的概念;
2.掌握求直線上一點到直線的距離的方法，并能運用到實際問題中:
3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提高邏輯推理能力。
1.重點：(1)點到直線的距離公式的推導(dǎo)思路;(2)點到直線的距離公式的應(yīng)用
2.難點：用向量的方法推導(dǎo)點到直線的距離公式

相關(guān)試卷

人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.4 點到直線的距離同步達標檢測題：

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.4 點到直線的距離同步達標檢測題，共15頁。

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)當(dāng)堂達標檢測題：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)當(dāng)堂達標檢測題，共69頁。

人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.3 直線與平面的夾角一課一練：

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.3 直線與平面的夾角一課一練，共65頁。試卷主要包含了直線與平面垂直，直線與平面平行或在平面內(nèi)，斜線和平面所成的角等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.3 直線與平面的夾角習(xí)題

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.3 直線與平面的夾角習(xí)題
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.5 空間中的距離課時練習(xí)

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.5 空間中的距離課時練習(xí)
數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊1.2.5 空間中的距離當(dāng)堂檢測題

數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊1.2.5 空間中的距離當(dāng)堂檢測題
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.4 點到直線的距離綜合訓(xùn)練題

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.4 點到直線的距離綜合訓(xùn)練題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.2.4 點到直線的距離

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部