專題6.2 反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)（二）【十大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc11333" 【題型1 反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】  PAGEREF _Toc11333 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc28605" 【題型2 反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】  PAGEREF _Toc28605 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc1991" 【題型3 兩種函數(shù)圖象的共存問題】  PAGEREF _Toc1991 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc11269" 【題型4 利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】  PAGEREF _Toc11269 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc32549" 【題型5 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】  PAGEREF _Toc32549 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc30566" 【題型6 反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】  PAGEREF _Toc30566 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc26162" 【題型7 反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】  PAGEREF _Toc26162 \h 32  HYPERLINK \l "_Toc19921" 【題型8 與反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的閱讀理解題】  PAGEREF _Toc19921 \h 42  HYPERLINK \l "_Toc2780" 【題型9 反比例函數(shù)中的存在性問題】  PAGEREF _Toc2780 \h 50  HYPERLINK \l "_Toc2103" 【題型10 反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】  PAGEREF _Toc2103 \h 62  【知識(shí)點(diǎn) 反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】 （1）中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn) （2）軸對(duì)稱：對(duì)稱軸為直線和直線 【題型1 反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】 【例1】（2023春·杭州九年級(jí)期末測試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行，若正方形的邊長是2，則圖中陰影部分的面積等于 ． ?? 【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A3a,?a是反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為4π，則反比例函數(shù)的解析式為 ． 【變式1-2】（2023春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經(jīng)過點(diǎn)A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點(diǎn)C，D，順次連接AB，BC，CD，DA．求證：四邊形ABCD是矩形． 【變式1-3】（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過原點(diǎn)的直線交反比例函數(shù)y=ax圖象于P、Q點(diǎn)，過點(diǎn)Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=bxx>0的圖象于A、B點(diǎn)，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為 ；且當(dāng)S△APB=3時(shí)，b的值為 ． 【題型2 反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 【例2】（2023春·湖南張家界·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知反比例函數(shù)y＝（2m+1）xm2?5的圖象在第一、三象限，求m的值． 【變式2-1】（2023春·湖南衡陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知y是x的反比例函數(shù)，且函數(shù)圖象過點(diǎn)A?3,8． (1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x取何值時(shí)，y=23． 【變式2-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若反比例函數(shù)y=(2m?1)xm2?2的圖象在第二、四象限，則m的值是　 ?。?【變式2-3】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？计谥校┓幢群瘮?shù)y1=(m+1)x3?m2的圖象如圖所示． （1）求m的值； （2）當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的取值范圍是　 　； （3）當(dāng)直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3?m2交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊）時(shí)，結(jié)合圖象，求出在什么范圍時(shí)y2＞y1？ 【題型3 兩種函數(shù)圖象的共存問題】 【例3】（2023春·四川成都·九年級(jí)成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鬭b＜0，則正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=bx在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是圖中的（?????） A． B． C． D． 【變式3-1】（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）反比例函數(shù)y=4x與一次函數(shù)y=x+1在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（????） A． B． C． D． 【變式3-2】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，關(guān)于x的函數(shù)y=?kx(k≠0)和y＝kx－k，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是（???） A．B．C．D． 【變式3-3】（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，反比例函數(shù)y=kbx（kb≠0），下列能同時(shí)正確描述這兩種函數(shù)大致圖像的是（??） A．B．C． D． 【題型4 利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】 【例4】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=?x+5與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，該反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x?1對(duì)稱后的圖象經(jīng)過直線y=?x+5上的點(diǎn)C，則線段AC的長度為 ． ?? 【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正比例函數(shù)y1=2x的圖象與反比例函數(shù)y2=kx的圖象有一個(gè)交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2． (1)求k的值和兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)直接寫出y1>y2>0的解集為________________． (3)根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)?40的圖像交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（????） A．OA=OB B．當(dāng)A，B兩點(diǎn)重合時(shí)，k=4 C．當(dāng)k=6時(shí)，OA=26 D．不存在這樣的k使得△AOB是等邊三角形 【變式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函數(shù)y=2x圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x,0)在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|AP?BP|達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ． 【變式5-2】（2023春·江西上饒·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線y=?x＋3與坐標(biāo)軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)作矩形ABCD，AB=2AD，雙曲線y=kx在第一象限經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，則k的值是（????） A．6 B．274 C．272 D．27 【變式5-3】（2023春·全國·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，OBOA=2，∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y=kx的圖象過點(diǎn)C，當(dāng)△ACD面積為1時(shí)，k的值為（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【題型6 反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】 【例6】（2023春·浙江舟山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，其中∠OAB=90°，AO=AB，點(diǎn)C為斜邊OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kxk>0,?x>0的圖象過點(diǎn)C且交線段AB于點(diǎn)D，連接CD，OD，若S△OCD=32，則S△BCDS△OAD的值為（????） ?? A．53 B．32 C．52 D．3 【變式6-1】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形OABC的邊OA在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過菱形對(duì)角線OB的中點(diǎn)D和頂點(diǎn)C，若菱形OABC的面積為62，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ． ?? 【變式6-2】（2023春·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)D4，4在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，直線y=23x+b經(jīng)過點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，連接AC、AE． ?? (1)求k、b的值． (2)求△ACE的面積． (3)已知點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為___________． 【變式6-3】（2023春·湖北襄陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于Aa,?2，B兩點(diǎn)． ?? (1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式； (2)點(diǎn)C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)； (3)將△AOB在平面內(nèi)沿某個(gè)方向平移得到△DEF(其中點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E、F)，若D、F同時(shí)在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)． 【題型7 反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】 【例7】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除外），過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，若由點(diǎn)P、原點(diǎn)O、兩個(gè)垂足A、B為頂點(diǎn)的矩形OAPB的周長與面積的數(shù)值相等時(shí)，則稱點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中的“美好點(diǎn)”． ???? 【嘗試初探】 （1）點(diǎn)C2，3______“美好點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；若點(diǎn)D4，b是第一象限內(nèi)的一個(gè)“美好點(diǎn)”，則b=______； 【深入探究】 （2）①若“美好點(diǎn)”Em，6m>0在雙曲線y=kx（k≠0，且k為常數(shù)）上，則k=______； ②在①的條件下，F(xiàn)2，n在雙曲線y=kx上，求S△EOF的值； 【拓展延伸】 （3）我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點(diǎn)”，已知點(diǎn)Px，y是第一象限內(nèi)的“美好點(diǎn)”． ①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式； ②在圖2的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像的草圖，觀察圖像可知該圖像可由函數(shù)______（x>0）的圖像平移得到； ③結(jié)合圖像研究性質(zhì)，下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是______；（多項(xiàng)選擇） A．圖象與經(jīng)過點(diǎn)2，2且平行于坐標(biāo)軸的直線沒有交點(diǎn)； B．y隨著x的增大而減??； C．y隨著x的增大而增大； D．圖像經(jīng)過點(diǎn)10，32； ④對(duì)于圖像上任意一點(diǎn)x，y，代數(shù)式2?x?y?2是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，如果不是，請(qǐng)說明理由． 【變式7-1】（2023春·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)y=2?xx的圖象與性質(zhì)，其探究過程如下： (1)繪制函數(shù)圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中m＝________； 描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值（x，y），在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)； 連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出了部分圖象．請(qǐng)你把圖象補(bǔ)充完整； (2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題； ①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”） ②函數(shù)y=2?xx的圖象是由函數(shù)y=2x的圖象向________平移________個(gè)單位長度而得到； ③函數(shù)y=2?xx的圖象關(guān)于點(diǎn)________成中心對(duì)稱；（填點(diǎn)的坐標(biāo)） (3)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數(shù)y=2?xx的圖象上的兩點(diǎn)，且x1+x2=0，試求y1+y2+3的值 【變式7-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，將函數(shù)y=kxx>0的圖像T1向左平移4個(gè)單位得到函數(shù)y=kx+4x>?4的圖像T2，T2與y軸交于點(diǎn)A0,a． (1)若a=3，求k的值 (2)如圖2，B為x軸正半軸上一點(diǎn)，以AB為邊，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，線段BC與T2相交于點(diǎn)E ①求正方形ABCD的面積； ②直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)． 【變式7-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)校考期末）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式——利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)——運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程，在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，也可以利用平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的方法畫出函數(shù)圖象，同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義：a=aa≥0?aa0)是不是王氏函數(shù)； (2)若y=1x (13＜x＜2)是王氏函數(shù)，求w的取值范圍； (3)若y=x3 (a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函數(shù)，且w的最大值為27，求a的值． 【題型9 反比例函數(shù)中的存在性問題】 【例9】（2023春·福建泉州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B0,2，直線AB與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象在第一象限交于點(diǎn)Ca,4． ?? (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)如圖2，點(diǎn)E4,m是反比例函數(shù)y=kxx>0圖象上一點(diǎn)，連接CE，AE，試問在x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ACD的面積與△ACE的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． (3)在（2）的條件下，坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為G，且點(diǎn)G在x軸的正半軸上，若點(diǎn)M是反比例函數(shù)的第一象限圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MG，以MG為邊作正方形MGNF，當(dāng)頂點(diǎn)F恰好落在直線AB上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【變式9-1】（2023春·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x與雙曲線y=kx與相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）． (1)當(dāng)AB=25時(shí)，求k的值； (2)點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，連接AC，BC； ①判斷△ABC的形狀，并說明理由； ②當(dāng)△ABC的面積等于16時(shí)，雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，連接AP，BP，使△PAB的面積等于△ABC面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由． 【變式9-2】（2023春·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知反比例函數(shù)y=k1x(x>0)的圖象與直線y=k2x+b將于交于A?1,6、B?6,m兩點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)C是x軸正半軸上的一點(diǎn)， ???? (1)求反比例函數(shù)及直線AB的解析式； (2)若S△ABC=25，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (3)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)D為x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為直線AC上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D和點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D?E?A?B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【變式9-3】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，一次函數(shù)y=kx?52k≠0的圖像與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=mxx>0的圖像交于點(diǎn)A8,32，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，過點(diǎn)C作y軸的平行線與該反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)H，連接OC、OD． (1)一次函數(shù)表達(dá)式為_________；反比例函數(shù)表達(dá)式為_______； (2)在線段CD上是否存在點(diǎn)E，使點(diǎn)E到OD的距離等于它到x軸的距離？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由； (3)將△OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O′C′D′． ①若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′恰好落在該反比例函數(shù)圖像上（如圖2），求出點(diǎn)O′、D′的坐標(biāo)； ②如圖3，在平移過程中，射線O′C′與x軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若以O(shè)′、D′、F﹑Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)O′的坐標(biāo)． 【題型10 反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】 【例10】（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖1～4所示，每個(gè)圖中的“7”字形是由若干個(gè)邊長相等的正方形拼接而成，“7”字形的一個(gè)頂點(diǎn)P落在反比例函數(shù)y=1x的圖象上，另“7”字形有兩個(gè)頂點(diǎn)落在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)落在y軸上． （1）圖1中的每一個(gè)小正方形的面積是 ； （2）按照?qǐng)D1→圖2→圖3→圖4→…這樣的規(guī)律拼接下去，第n個(gè)圖形中每一個(gè)小正方形的面積是 ．（用含n的代數(shù)式表示） 【變式10-1】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)B1在反比例函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象上，過點(diǎn)B1分別作x軸和y軸的垂線，垂足為C1和A，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（1，0）取x軸上一點(diǎn)C2（32，0），過點(diǎn)C2分別作x軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B2，過B2作線段B1C1的垂線交B1C1于點(diǎn)A1，依次在x軸上取點(diǎn)C3（2，0），C4（52，0）…按此規(guī)律作矩形，則第n（n≥2，n為整數(shù)）個(gè)矩形）An-1Cn-1CnBn的面積為 ． 【變式10-2】（2023·山東日照·二模）如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y＝5x在第一象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的橫、縱坐標(biāo)之間存在一規(guī)律，這個(gè)規(guī)律是 ． 【變式10-3】（2023春·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B11,33在直線l2:y=33x上，過點(diǎn)B1作A1B1⊥l1交直線l:y=3x于點(diǎn)A1，以A1B1為邊在△OA1B1外側(cè)作等邊三角形A1B1C1，過C1的反比例函數(shù)為y=k1x；再過點(diǎn)C1作A2B2⊥l1，分別交直線l1和l2于A2,B2兩點(diǎn)，以A2B2為邊在△OA2B2外側(cè)作等邊三角形A2B2C2，過C2的反比例函數(shù)為y=k2x，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個(gè)反比例函數(shù)的kn= ．（用含n的代數(shù)式表示） 專題6.2 反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)（二）【十大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc11333" 【題型1 反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】  PAGEREF _Toc11333 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc28605" 【題型2 反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】  PAGEREF _Toc28605 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc1991" 【題型3 兩種函數(shù)圖象的共存問題】  PAGEREF _Toc1991 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc11269" 【題型4 利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】  PAGEREF _Toc11269 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc32549" 【題型5 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】  PAGEREF _Toc32549 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc30566" 【題型6 反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】  PAGEREF _Toc30566 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc26162" 【題型7 反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】  PAGEREF _Toc26162 \h 32  HYPERLINK \l "_Toc19921" 【題型8 與反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的閱讀理解題】  PAGEREF _Toc19921 \h 42  HYPERLINK \l "_Toc2780" 【題型9 反比例函數(shù)中的存在性問題】  PAGEREF _Toc2780 \h 50  HYPERLINK \l "_Toc2103" 【題型10 反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】  PAGEREF _Toc2103 \h 62  【知識(shí)點(diǎn) 反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】 （1）中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn) （2）軸對(duì)稱：對(duì)稱軸為直線和直線 【題型1 反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】 【例1】（2023春·杭州九年級(jí)期末測試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行，若正方形的邊長是2，則圖中陰影部分的面積等于 ． ?? 【答案】1 【分析】設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx，由題意可得：P點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,1)，根據(jù)正方形與反比例函數(shù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，即可求解． 【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx， 由題意可得：P點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,1)， 故圖中陰影部分的面積為：1×1=1． 故答案為：1． ?? 【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，k的幾何意義，中心對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A3a,?a是反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為4π，則反比例函數(shù)的解析式為 ． 【答案】y=?43x 【分析】首先根據(jù)圓的對(duì)稱性以及反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得：14πr2=4π，即可求得圓的半徑，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得a2=4，據(jù)此即可求解． 【詳解】解：設(shè)圓的半徑是r，根據(jù)圓的對(duì)稱性以及反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得：14πr2=4π， 解得：r=4． ∵點(diǎn)A3a,?a是反比例函y=kx的圖象與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)． ∴?3a2=k且?3a2+?a2=r， ∴a2=4． ∴k=?3×4=?43， 則反比例函數(shù)的解析式是：y=?43x． 故答案為：y=?43x． 【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，勾股定理，求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握和運(yùn)用反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經(jīng)過點(diǎn)A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點(diǎn)C，D，順次連接AB，BC，CD，DA．求證：四邊形ABCD是矩形． 【答案】見解析 【分析】將點(diǎn)A代入y=kxk≠0中求出k，再將點(diǎn)B代入y=2x中，求出點(diǎn)B坐標(biāo)，求出OA，OB的長，根據(jù)對(duì)稱性得到OA=OB=OC=OD，即可證明結(jié)論． 【詳解】解：將A1,2代入y=kxk≠0中，得： k=2， ∴y=2x，將B2,m代入y=2x中， ∴m=22=1，即B2,1， ∴OA=12+22=5，OB=12+22=5， ∴OA=OB， 由反比例函數(shù)對(duì)稱性可得：OA=OC，OB=OD， 即OA=OB=OC=OD， ∴四邊形ABCD是矩形． 【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，對(duì)稱性，矩形的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出OA和OB的長，熟練運(yùn)用矩形的判定定理． 【變式1-3】（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過原點(diǎn)的直線交反比例函數(shù)y=ax圖象于P、Q點(diǎn)，過點(diǎn)Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=bxx>0的圖象于A、B點(diǎn)，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為 ；且當(dāng)S△APB=3時(shí)，b的值為 ． 【答案】 6 92 【分析】連接OA，OB，延長BP交x軸于點(diǎn)C，易求S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32， 由P，Q關(guān)于與原點(diǎn)成中心對(duì)稱，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面積相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3所以S陰影=6．設(shè)點(diǎn)C（m，0）m＞0．則P（m，am），A（m，bm），B（bma,am），即可求得AP＝3m,BP=3ma，利用三角形面積公式得到12AP·BP=12×3m×3ma=3，，解得a＝1．5，進(jìn)一步求得b=92． 【詳解】 連接PQ，OA，OB，延長BP交x軸于點(diǎn)C， 設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，m＞0.則P（m，am），B（m，bm） ∴OC=m，PC=am，BC=bm ∴S△POC=12OC×PC＝12a，S△BOC＝12ＯＣ×ＢＣ＝12b ∴S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32 ∵P、Q關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱， ∴OP=OQ ∴S△BPO＝S△BQO ∴S△BPQ＝2S△BOP＝3 同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3 所以S陰影＝S△POP+S△POA=3+3=6 設(shè)點(diǎn)C（m，0）m＞0． 則P（m，am），A（m，bm），B（bma，am）， ∴AP＝bm?am=3m，BP=bma?m=b?ama=3ma， ∵S△APB＝3， ∴12AP·BP=12×3m×3ma=3， ∴a＝32， ∵b?a＝3，∴b＝92， 故答案為：6，92． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)，三角形的面積．利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵． 【題型2 反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 【例2】（2023春·湖南張家界·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知反比例函數(shù)y＝（2m+1）xm2?5的圖象在第一、三象限，求m的值． 【答案】2 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知m2﹣5＝﹣1，又根據(jù)圖象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范圍． 【詳解】解：∵y=2m+1xm2?5是反比例函數(shù) ∴m2﹣5＝﹣1， 解得：m＝2 或m＝﹣2， ∵反比例函數(shù)y=2m+1xm2?5的圖象在第一、三象限， 又 2m+1＞0，解得：m＞?12， ∴m＝2． 【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義與圖象性質(zhì)，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函數(shù)的定義以及圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2023春·湖南衡陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知y是x的反比例函數(shù)，且函數(shù)圖象過點(diǎn)A?3,8． (1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x取何值時(shí)，y=23． 【答案】(1)y=?24x (2)x=?36 【分析】（1）設(shè)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=kxk≠0，將點(diǎn)A代入表達(dá)式即可求解； （2）將y=23代入（1）所求表達(dá)式即可求解； 【詳解】（1）解：設(shè)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=kxk≠0； 將A?3,8代入y=kx得， 8=k?3，解得k=?24： ∴y=?24x． （2）將y=23代入y=?24x中， 23=?24x，解得：x=?36． 【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)，掌握反比例函數(shù)相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若反比例函數(shù)y=(2m?1)xm2?2的圖象在第二、四象限，則m的值是　 　． 【答案】?1 【分析】讓未知數(shù)的指數(shù)為-1，系數(shù)小于0列式求值即可． 【詳解】∵是反比例函數(shù)， ∴m2-2=-1， 解得m=1或-1， ∵圖象在第二、四象限， ∴2m-1＜0， 解得m＜0.5， ∴m=-1， 故答案為-1． 【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的定義及性質(zhì)：一般形式為y＝kx（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；圖象在二、四象限，比例系數(shù)小于0． 【變式2-3】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？计谥校┓幢群瘮?shù)y1=(m+1)x3?m2的圖象如圖所示． （1）求m的值； （2）當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的取值范圍是　 ??； （3）當(dāng)直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3?m2交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊）時(shí)，結(jié)合圖象，求出在什么范圍時(shí)y2＞y1？ 【答案】（1）-2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1 【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義以及性質(zhì)，即可得到m的值； （2）直接根據(jù)反比例函數(shù)的圖象進(jìn)行解答即可． （3）解析式聯(lián)立求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B的坐標(biāo)，然后觀察函數(shù)圖象求解． 【詳解】解：（1）反比函數(shù)y1=(m+1)x3?m2在二四象限， ∴m+10)圖像向下運(yùn)動(dòng)而增大， 當(dāng)S△MAE=S△ACE時(shí)，12m2m+8?116m+2=6，即m2?7m?8=0，根據(jù)十字相乘法對(duì)m2?7m?8因式分解得到m?8m+1=0， ∵m>0，1>0 ∴m+1>0， ∴根據(jù)兩個(gè)數(shù)（式）相乘結(jié)果為0，若其中一個(gè)不等于0，則另一個(gè)數(shù)（式）必定為0，則m?8=0，解得m=8； ∴M8,2， ∴若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為m>8； ②若點(diǎn)M在直線DE左側(cè)，?隨著點(diǎn)M沿著y=16x(x>0)圖像向上運(yùn)動(dòng)而增大， 當(dāng)S△MAE=S△ACE時(shí)，121?m2m+816m+2=6，即m2+5m?8=0，配方得到m2+5m?8=m+522?574，則m+522=574，直接開平方得m=?52?572或m=?52+572， ∵m>0， ∴m=?52?572舍棄，取m=?52+572 ∴若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為02）；②圖見解析，y=4x；③AB；④是為定值，定值為?4 【分析】（1）直接根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義可以判斷點(diǎn)C是不是“美好點(diǎn)”，根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義得到2×4+b=4b，進(jìn)行計(jì)算即可得到b的值； （2）①根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義求出m的值，得到E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E代入反比例函數(shù)解析式，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；②先由①得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，令直線EF與x軸交于點(diǎn)G，當(dāng)y=0時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，最后根據(jù)S△EOF=S△FOG?S△EOG進(jìn)行計(jì)算即可； （3）①根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義可得2x+y=xy，化簡整理即可得到答案；②描點(diǎn)連線即可得到圖象，由圖象觀察可知，該圖像可由y=4x平移得到；③先畫出草圖，再根據(jù)圖象逐一判斷即可得到答案；④將y=4x?2+2代入2?x?y?2進(jìn)行計(jì)算即可得到答案． 【詳解】解：（1）∵2+3×2=10≠2×3=6， ∴點(diǎn)C2，3不是“美好點(diǎn)”， ∵點(diǎn)D4，b是第一象限內(nèi)的一個(gè)“美好點(diǎn)”， ∴2×4+b=4b， 解得：b=4， 故答案為：不是，4； （2）①∵ Em，6m>0是“美好點(diǎn)”， ∴2×m+6=6m， 解得：m=3， ∴E3，6， 將E3，6代入雙曲線y=kx， 得k=18， 故答案為：18； ②∵ F2，n在雙曲線y=kx上， ∴n=182=9， ∴F2，9， 設(shè)直線EF的解析式為：y=ax+b， ∴2a+b=93a+b=6， 解得a=?3b=15， ∴直線EF的解析式為：y=?3x+15， 令直線EF與x軸交于點(diǎn)G， 當(dāng)y=0時(shí)，?3x+15=0， 解得：x=5， ∴G5，0， 畫出圖如圖所示： ?? ∴S△EOF=S△FOG?S△EOG=12×5×9?12×5×6=152； （3）①∵點(diǎn)Px，y是第一象限內(nèi)的“美好點(diǎn)”， ∴2x+y=xy， 化簡得：y=2xx?2=4x?2+2， ∵第一象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正， ∴x>02xx?2>0x?2≠0， 解得：x>2， ∴ y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y=4x?2+2（x>2）； ②畫出草圖如圖所示： ?? 該圖像可由y=4x向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到， 故答案為：y=4x； ③由圖象可得： A.圖象與經(jīng)過點(diǎn)2，2且平行于坐標(biāo)軸的直線沒有交點(diǎn)，故A正確，符合題意； B.由圖象可知y隨著x的增大而減小，故B正確，符合題意； C.y隨著x的增大而增大，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意； D.當(dāng)x=10時(shí)，y=52，所以圖像經(jīng)過點(diǎn)10，52，故該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意 故選：AB； ④∵ y=4x?2+2， ∴2?xy?2=2?x4x?2+2?2=?4， ∴對(duì)于圖像上任意一點(diǎn)x，y，代數(shù)式2?x?y?2是為定值，定值為?4． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解“美好點(diǎn)”的定義，是解題的關(guān)鍵． 【變式7-1】（2023春·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)y=2?xx的圖象與性質(zhì)，其探究過程如下： (1)繪制函數(shù)圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中m＝________； 描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值（x，y），在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)； 連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出了部分圖象．請(qǐng)你把圖象補(bǔ)充完整； (2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題； ①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”） ②函數(shù)y=2?xx的圖象是由函數(shù)y=2x的圖象向________平移________個(gè)單位長度而得到； ③函數(shù)y=2?xx的圖象關(guān)于點(diǎn)________成中心對(duì)稱；（填點(diǎn)的坐標(biāo)） (3)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數(shù)y=2?xx的圖象上的兩點(diǎn)，且x1+x2=0，試求y1+y2+3的值 【答案】(1)0，圖見解析 (2)①減小；②下；1；③0,?1 (3)1 【分析】（1）將x=2代入解析式求出函數(shù)值即可；將圖中的點(diǎn)用平滑的曲線進(jìn)行連接即可； （2）根據(jù)圖象進(jìn)行解答即可； （3）將點(diǎn)代入解析式，結(jié)合x1+x2=0進(jìn)行計(jì)算即可． 【詳解】（1）解：當(dāng)x=2時(shí)：y=2?22=0， ∴m=0； 如圖： （2）解：如圖 ①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減??； ②y=2?xx=2x?1， ∴函數(shù)y=2?xx的圖象是由函數(shù)y=2x的圖象向下平移1個(gè)單位長度而得到； ③∵y=2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴y=2?xx的圖象關(guān)于0,?1對(duì)稱； （3）把A（x1,y1）,B（x2,y2）代入函數(shù)y=2?xx得： y1=2?x1x1=2x1?1， y2=2?x2x2=2x2?1 ∵x1+x2=0， ∴y1+y2+3=2x1?1+2x2?1+3=2(x1+x2)x1x2+1=1． 【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象的平移和性質(zhì)．根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得到函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式7-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，將函數(shù)y=kxx>0的圖像T1向左平移4個(gè)單位得到函數(shù)y=kx+4x>?4的圖像T2，T2與y軸交于點(diǎn)A0,a． (1)若a=3，求k的值 (2)如圖2，B為x軸正半軸上一點(diǎn)，以AB為邊，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，線段BC與T2相交于點(diǎn)E ①求正方形ABCD的面積； ②直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)． 【答案】(1)k＝12 (2)①正方形ABCD的面積為8；②E?1+17，17?3 【分析】（1）先計(jì)算點(diǎn)A平移前的坐標(biāo)為（4，3），這點(diǎn)在圖象T1上，代入函數(shù)y＝kx(x＞0)中可得k的值； （2）①先根據(jù)點(diǎn)A（0，a）可得k＝4a，如圖2，過點(diǎn)D作FM⊥y軸于M，過點(diǎn)C作CF⊥FM于F，證明△DMA≌△AOB（AAS），表示點(diǎn)D和C的坐標(biāo)，可解答； ②利用待定系數(shù)法可得BC的解析式，與平移后的函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立方程，解方程可得點(diǎn)E的坐標(biāo)． 【詳解】（1）解：當(dāng)a＝3時(shí)，A（0，3） ∴點(diǎn)A平移前的點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3） ∴k＝4×3＝12． （2）解：①把點(diǎn)A（0，a）代入y＝kx＋4中得：a＝k4， ∴k＝4a， 過點(diǎn)D作FM⊥y軸于M，過點(diǎn)C作CF⊥FM于F，如圖所示： ∴∠DMA＝90°， ∴∠DAM＋∠ADM＝90°， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAM＋∠BAO＝90°， ∴∠MDA＝∠BAO， ∴△DMA≌△AOB（AAS）， ∴DM＝OA＝a， 當(dāng)x＝a時(shí)，y=4aa=4， ∴AM＝4?a， 同理得：△AMD≌△DFC（AAS）， ∴DF＝AM＝4?a，CF＝DM＝a， ∴C（4，4?a）， ∴4（4?a）＝4a， ∴a＝2， ∴正方形ABCD的面積＝AD2＝a2＋（4?a）2＝4＋4＝8； ②由①得：B（2，0），C（4，2）， 設(shè)BC的解析式為：y＝mx＋b， 則2m＋b＝04m＋b＝2，解得：m＝1b＝?2， ∴BC的解析式為：y＝x?2， ∴x?2＝8x＋4， 解得：x=?1±17， ∵點(diǎn)E在第一象限， ∴x=?1+17， ∴E?1+17，17?3． 【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，平移的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線，構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵，還體現(xiàn)了方程思想，難度適中． 【變式7-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谀┰诔踔须A段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式——利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)——運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程，在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，也可以利用平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的方法畫出函數(shù)圖象，同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義：a=aa≥0?aa

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