專題8.5 橢圓（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc26931" 【題型1 橢圓的定義及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26931 \h 3
\l "_Tc18667" 【題型2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 PAGEREF _Tc18667 \h 4
\l "_Tc7293" 【題型3 曲線方程與橢圓】 PAGEREF _Tc7293 \h 5
\l "_Tc7367" 【題型4 軌跡問題——橢圓】 PAGEREF _Tc7367 \h 5
\l "_Tc29020" 【題型5 橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及其他問題】 PAGEREF _Tc29020 \h 6
\l "_Tc24562" 【題型6 橢圓上點(diǎn)到其他點(diǎn)距離的最值問題】 PAGEREF _Tc24562 \h 6
\l "_Tc18719" 【題型7 橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值】 PAGEREF _Tc18719 \h 7
\l "_Tc16636" 【題型8 求橢圓的離心率或其取值范圍】 PAGEREF _Tc16636 \h 8
\l "_Tc2218" 【題型9 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題】 PAGEREF _Tc2218 \h 8
\l "_Tc1919" 【題型10 橢圓的實(shí)際應(yīng)用問題】 PAGEREF _Tc1919 \h 9
1、橢圓
【知識(shí)點(diǎn)1 橢圓及其性質(zhì)】
1．橢圓的定義
(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫
作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.
(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
3．橢圓的頂點(diǎn)與長(zhǎng)軸、短軸
以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (a>b>0)為例.
(1)頂點(diǎn)
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
這說明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閤軸、
y軸是橢圓的對(duì)稱軸，所以橢圓與它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫作橢圓的頂點(diǎn).
(2)長(zhǎng)軸、短軸
線段，分別叫作橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.
長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a，短軸長(zhǎng)=2b，a和b分別叫作橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).
4．橢圓的離心率
(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.
(2)離心率的范圍：00,A≠B)，再解答.
【知識(shí)點(diǎn)3 橢圓的焦點(diǎn)三角形】
1．橢圓的焦點(diǎn)三角形
(1)焦點(diǎn)三角形的概念
設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，,為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦點(diǎn)三角
形，如圖所示.
(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式
①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③設(shè)，，則.
【知識(shí)點(diǎn)4 橢圓離心率或其范圍的解題策略】
1．求橢圓離心率或其范圍的方法
解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a, b, c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:
(1)直接求出a, c，利用離心率公式求解.
(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解.
(3)構(gòu)造a, c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a, c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.
【知識(shí)點(diǎn)5 橢圓中的最值問題的解題策略】
1．橢圓中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.
【題型1 橢圓的定義及其應(yīng)用】
【例1】（2024·廣西南寧·二模）已知F1,F2分別是橢圓M:x216+y25=1的左、右焦點(diǎn)，P為M上一點(diǎn)，若|PF1|=3，則|PF2|=（）
A．2B．3C．5D．6
【變式1-1】（2024·四川瀘州·二模）已知點(diǎn)P在橢圓C：x29+y28=1上，C的左焦點(diǎn)為F，若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，OF為半徑的圓上，則PF的值為（）
A．2B．4C．6D．8
【變式1-2】（2024·貴州安順·二模）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2．點(diǎn)P在E上，且PF1⊥PF2．PF1?PF2=2，則b=（）
A．12B．1C．3D．2
【變式1-3】（2024·遼寧遼陽·一模）若P為橢圓C∶x2121+y296=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF2=8，則PF1=（）
A．10B．12C．14D．16
【題型2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】
【例2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為23，焦距為22，則該橢圓的方程為（）
A．x23+y2=1B．x29+y2=1
C．x29+y27=1D．x236+y228=1
【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知F1,F2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M在E上，N在y軸上，2F2N=3MF2，以MN為直徑的圓過F1，且△MF1F2的面積為203，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．x225+y210=1B．x225+y220=1
C．x220+y25=1D．x215+y210=1
【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1?2,0，F(xiàn)22,0，真線l與x軸的交點(diǎn)為P?32,0，過右焦點(diǎn)F2作F2M⊥l于點(diǎn)M，F(xiàn)2M=4，且F2M的中點(diǎn)Q在橢圓C上，則橢圓C的方程為（）
A．x26+y24=1B．x25+y23=1
C．x24+y22=1D．x23+y2=1
【變式2-3】（2024·江西九江·二模）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點(diǎn)為P，離心率為12，過其左焦點(diǎn)傾斜角為30°的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若△PAB的周長(zhǎng)為16，則E的方程為（）
A．x24+y23=1B．x212+y29=1C．x216+y212=1D．x236+y227=1
【題型3 曲線方程與橢圓】
【例3】（2024·遼寧·二模）已知方程x2k?4+y28?k=1表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）
A．4,6B．6,8C．4,8D．4,6∪6,8
【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）命題“實(shí)數(shù)p∈1,3”是命題“曲線3?px2+p?1y2=3?pp?1表示橢圓”的一個(gè)（）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【變式3-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知如圖為函數(shù)①y=xc；②y=ax；③y=bx的圖象，則方程a?1x2+b?1y2+c=0表示（）
A．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
C．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
【變式3-3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）若方程m+1x2+1?my2=1?m2表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則（）
A．?10的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為223，點(diǎn)A在橢圓E上，且AF1=2AF2，△AF1F2的面積為47，則橢圓E的焦距為（）
A．42B．82C．6D．12
【變式9-3】（2024·山東濰坊·三模）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x26+y22=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)Px0,y0 在C上，若∠F1PF2大于π3，則x0的取值范圍是（）
A．?∞,?3∪3,+∞B．?3,3
C．?∞,?5∪5,+∞D(zhuǎn)．?5,5
【題型10 橢圓的實(shí)際應(yīng)用問題】
【例10】（2024·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段AB，且AB過橢圓的下焦點(diǎn)，AB=44米，橋塔最高點(diǎn)P距橋面110米，則此橢圓的離心率為（）
A．13B．25C．23D．45
【變式10-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面的題目：已知曲線C的方程為x225+y216=1，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且PF1=2，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線l′與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M，則F1M:F2M=（）
A．1:3B．1:2C．1:3D．1:4
【變式10-2】（2024·重慶·三模）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，則（）

A．a(chǎn)1?c1c2a2
【變式10-3】（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，陽光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（春分時(shí)，北京的陽光與地面夾角為60°），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為（）
A．2?3B．2?1C．3?1D．22
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)南·二模）橢圓x25+y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A．±6,0B．±2,0C．0,±6D．0,±2
2．（2024·河北保定·三模）已知P是橢圓E：x216+y29=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為E的左、右焦點(diǎn)，則PF1+PF2=（）
A．8B．6C．4D．3
3．（2024·湖北荊州·三模）已知圓C:x?12+y2=2，直線l:ax+y?3=0，方程m:x2a2+y2=1，則“圓C與直線l相切”是“方程m表示的曲線為橢圓”的（）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
4．（23-24高二上·北京西城·期末）如圖是一個(gè)橢圓形拱橋，當(dāng)水面在l處時(shí)，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構(gòu)成一個(gè)橢圓.此時(shí)拱頂離水面2m，水面寬6m，那么當(dāng)水位上升1m時(shí)，水面寬度為（）

A．33mB．332mC．42mD．423m
5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，經(jīng)過F2的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，若F1A?F1B=16，AF1?AB=9，BF1?BA=0，則C的方程為：（）.
A．x29+y24=1B．x23+y22=1C．x29+y28=1D．x23+y2=1
6．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)F1、F2是橢圓C:x29+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若△PF1F2為直角三角形，則△PF1F2的面積為（）
A．223B．1或2C．2D．1或223
7．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x24+y23=1的左?右焦點(diǎn)為F1,F2,M是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，直線l:y=kx?1+2經(jīng)過的定點(diǎn)為N，則MF1?MN的最大值為（）
A．2B．2C．22D．6
8．（2024·湖南·三模）已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過F1作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若AF2=|AB|，且△OAF2的面積為36b2，則橢圓C的離心率為（）
A．312B．36C．33D．32
二、多選題
9．（2024·江西宜春·三模）設(shè)橢圓C：x28+y24=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得|OP|=7，則下列說法正確的有（）
A．cs∠F1PF2=35B．PF1?PF2=5
C．△F1PF2的面積為2D．△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為2?1
10．（2024·河北·三模）已知一個(gè)裝有半瓶水的圓柱形玻璃杯，其底面半徑為3 cm，玻璃杯高為16 cm（玻璃厚度忽略不計(jì)），其傾斜狀態(tài)的正視圖如圖所示，PQ表示水平桌面．當(dāng)玻璃杯傾斜時(shí)，瓶?jī)?nèi)水面為橢圓形，陰影部分ABNM為瓶?jī)?nèi)水的正視圖．設(shè)∠CBQ=θ，則下列結(jié)論正確的是（）
A．當(dāng)θ=30°時(shí)，橢圓的離心率為32
B．當(dāng)橢圓的離心率最大時(shí)，tanθ=12
C．當(dāng)橢圓的焦距為4時(shí)，tanθ=34
D．當(dāng)θ=45°時(shí)，橢圓的焦距為6
11．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知A?2,0，B2,0，C1,0，動(dòng)點(diǎn)M滿足MA與MB的斜率之積為?34，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡記為Γ，過點(diǎn)C的直線交Γ于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q的中點(diǎn)為R，則（）
A．M的軌跡方程為x24+y23=1
B．MC的最小值為1
C．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OPQ面積的最大值為32
D．若線段PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍
三、填空題
12．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知方程x2k?4+y28?k=1表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .
13．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓E的上、下焦點(diǎn)分別為F1,F2，右頂點(diǎn)為A，若E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，∠F1AF2=2π3，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
14．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知F1、F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△POF2為正三角形，則該橢圓的離心率為 .
四、解答題
15．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)0,2和1,0；
(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是?2,0，2,0，并且經(jīng)過點(diǎn)52,?32．
16．（2024·北京大興·三模）已知橢圓C:x2a2+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且點(diǎn)A1,22在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)C，D分別在直線AF2和橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若橢圓上存在一點(diǎn)E，使得四邊形F1DEC是矩形，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo).
17．（23-24高二下·安徽安慶·開學(xué)考試）安慶市體育館的屋蓋網(wǎng)殼由兩個(gè)大小不同的雙層橢球殼相貫而成，其屋蓋網(wǎng)殼長(zhǎng)軸總尺寸約97米，短軸總尺寸約77米，短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方比接近黃金比0.618．我們把短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方比為5?12的橢圓稱為黃金橢圓．現(xiàn)有一黃金橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0其中A，F(xiàn)分別為其左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)．
(1)求黃金橢圓C的離心率；
(2)某同學(xué)在研究黃金橢圓的性質(zhì)時(shí)猜測(cè)△ABF可能為直角三角形，試判斷該同學(xué)的猜測(cè)是否正確，并說明理由．
18．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，且橢圓C上存在點(diǎn)P使得PF⊥PA，求橢圓C的離心率e的取值范圍．
19．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知橢圓C：x225+y216=1內(nèi)有一點(diǎn)M2,3，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，求：
(1)PM?PF1的最大值與最小值；
(2)PM+PF1的最大值與最小值．
考點(diǎn)要求
真題統(tǒng)計(jì)
考情分析
(1)理解橢圓的定義、幾何
圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)
(3)掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用
2022年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第10題，5分
2023年新高考I卷：第5題，5分
2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第12題，5分
2023年北京卷：第19題，15分
2024年新高考I卷：第16題，15分
2024年新高考Ⅱ卷：第5題，5分
橢圓及其性質(zhì)是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn).從近幾年的高考情況來看，主要考查橢圓的定義、方程及其性質(zhì)，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；與向量等知識(shí)結(jié)合綜合考查也是高考命題的一個(gè)趨勢(shì)，需要學(xué)會(huì)靈活求解.
橢圓在坐標(biāo)
系中的位置
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關(guān)系

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