專題8.7 拋物線（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc3092" 【題型1 拋物線的定義及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc3092 \h 3
\l "_Tc20883" 【題型2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】 PAGEREF _Tc20883 \h 4
\l "_Tc18866" 【題型3 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】 PAGEREF _Tc18866 \h 4
\l "_Tc11885" 【題型4 拋物線的軌跡方程】 PAGEREF _Tc11885 \h 5
\l "_Tc25634" 【題型5 拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值】 PAGEREF _Tc25634 \h 5
\l "_Tc30148" 【題型6 拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值】 PAGEREF _Tc30148 \h 5
\l "_Tc19785" 【題型7 拋物線的焦半徑公式】 PAGEREF _Tc19785 \h 6
\l "_Tc29544" 【題型8 拋物線的幾何性質(zhì)】 PAGEREF _Tc29544 \h 6
\l "_Tc17718" 【題型9 拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】 PAGEREF _Tc17718 \h 7
1、拋物線
【知識(shí)點(diǎn)1 拋物線及其性質(zhì)】
1．拋物線的定義
(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.
(2)集合語言表示
設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
3．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異
拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：
①它們都是軸對(duì)稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱圖形；
②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；
③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；
④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是00上一點(diǎn)，且點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為3，則p=（）
A．12B．1C．2D．4
【變式2-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）過點(diǎn)2,?3，且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）
A．x2=?3yB．x2=?43yC．x2=?23yD．x2=?4y
【變式2-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．y2=xB．y2=2xC．y2=4xD．y2=8x
【變式2-3】（2024·寧夏石嘴山·三模）如圖，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于兩點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于C，AE與準(zhǔn)線垂直且垂足為E，若BC=2BF,AE=3，則此拋物線的方程為（）
A．y2=3x2B．y2=9x
C．y2=9x2D．y2=3x
【題型3 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】
【例3】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知拋物線C的方程為 x=?116y2, 則此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A．(-4,0)B．?140C．(-2,0)D．?120
【變式3-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y=6x2，則C的準(zhǔn)線方程為（）
A．y=?32B．y=32C．y=?124D．y=124
【變式3-2】（2024·河南·三模）拋物線y2=?28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A．0,?14B．0,?7C．?14,0D．?7,0
【變式3-3】（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）若拋物線y2=mx的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2?y2=2的右焦點(diǎn)，則m的值為（）
A．?4B．4C．?8D．8
【題型4 拋物線的軌跡方程】
【例4】（2024·湖南衡陽·三模）已知點(diǎn)F(2,0)，動(dòng)圓P過點(diǎn)F，且與x=?2相切，記動(dòng)圓圓心P點(diǎn)的軌跡為曲線Γ，則曲線Γ的方程為（）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=8xD．y2=12x
【變式4-1】（23-24高二上·北京延慶·期末）到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動(dòng)點(diǎn)且動(dòng)點(diǎn)不在x軸的負(fù)半軸的軌跡方程是（）
A．y2=8xB．y2=4xC．y2=2xD．y2=x
【變式4-2】（23-24高二上·重慶·期末）已知點(diǎn)Px,y滿足(x?1)2+y2=x+1，則點(diǎn)P的軌跡為（）
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓
【變式4-3】（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）一個(gè)動(dòng)圓與定圓F：x+22+y2=1相內(nèi)切，且與定直線l:x=3相切，則此動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程是（）
A．y2=8x B．y2=4x C．y2=?4x D．y2=?8x
【題型5 拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值】
【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知A是拋物線C：y2=4x上的點(diǎn)，N4,0，則AN的最小值為（）
A．2B．22C．4D．23
【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知P是拋物線y2=2x上的點(diǎn)，Q是圓x?52+y2=1上的點(diǎn)，則PQ的最小值是（）
A．2B．22C．23D．3
【變式5-2】（2024·湖南益陽·三模）已知M是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，圓C1:x?12+y?22=1關(guān)于直線y=x?1對(duì)稱的圓為C2，N是圓C2上的一點(diǎn)，則MN的最小值為（）
A．22?1B．2?1C．112?1D．37
【變式5-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，N為圓A:x2+y2+2x+8y+16=0上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為d，則MN+d的最小值為（）
A．1B．22C．332D．2
【題型6 拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值】
【例6】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)A(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C:y2=4x上，記P到直線x=?2的距離為d，則AP+d的最小值為（）
A．1B．3C．10?1D．10+1
【變式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知拋物線方程為:y2=16x，焦點(diǎn)為F.圓的方程為x?52+y?12=1，設(shè)P為拋物線上的點(diǎn)， Q為圓上的一點(diǎn)，則PF+PQ的最小值為（）
A．6B．7C．8D．9
【變式6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1,0，E?2,0，M2,2，動(dòng)點(diǎn)P滿足線段PE的中點(diǎn)在曲線y2=2x+2上，則PM+PF的最小值為（）
A．2B．3C．4D．5
【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）設(shè)P為拋物線C：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，A2,6關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，記P到直線x=?1、x=?4的距離分別d1、d2，則d1+d2+AB的最小值為（）
A．33+2B．233+2C．37+3D．237+3
【題型7 拋物線的焦半徑公式】
【例7】（2024·青海西寧·一模）已知F是拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且M的縱坐標(biāo)為3，則MF=（）
A．22B．23C．4D．6
【變式7-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2pxp>0上的點(diǎn)m,2到原點(diǎn)的距離為22，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，過C上一點(diǎn)P作PQ⊥l于Q，若∠FPQ=2π3，則PF=（）
A．13B．12C．33D．23
【變式7-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個(gè)點(diǎn)P，M，Q，N，若弦PQ與弦MN的交點(diǎn)恰好為F，且PQ⊥MN，則1PQ+1MN=（）
A．22B．1C．2D．2
【變式7-3】（2024·北京西城·三模）點(diǎn)F拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若FA+FB+FC=0，則|FA|+|FB|+|FC|=（）
A．2B．23C．3D．43
【題型8 拋物線的幾何性質(zhì)】
【例8】（2024·重慶·模擬預(yù)測）A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△OAB的重心恰為F，若|AF|=5，則p=（）
A．1B．2C．3D．4
【變式8-1】（23-24高二下·福建廈門·期末）等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2x上，則這個(gè)等邊三角形的邊長為（）
A．2B．23C．4D．43
【變式8-2】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E是C的準(zhǔn)線與C的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若∠PEF=30°，則sin∠PFE=（）
A．34B．33C．22D．32
【變式8-3】（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知x軸上一定點(diǎn)Aa,0a>0，和拋物線y2=2pxp>0上的一動(dòng)點(diǎn)M，若AM≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．0,p2B．0,pC．0,3p2D．0,2p
【題型9 拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】
【例9】（2024·江西新余·二模）已知點(diǎn)Q2,?2在拋物線C：y2=2px上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則△OQF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（）
A．12B．1C．2D．4
【變式9-1】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)E．已知AF=5，BF=3，若△AEF的面積是△BEF面積的2倍，則拋物線C的方程為（）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
【變式9-2】（23-24高二上·廣東廣州·期末）設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A,B,C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，且FA+FB+FC=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S1、S2、S3，則S12+S22+S32=（）
A．3B．4C．5D．6
【變式9-3】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C：y2=8x，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓D：x2+y2?4x+3=0作切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PADB的面積的最小值為（）
A．1B．2C．3D．5
一、單選題
1．（2024·江西·模擬預(yù)測）若拋物線x2=8y上一點(diǎn)x0,y0到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的2倍．則y0=（）
A．12B．1C．32D．2
2．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F,P是拋物線C上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP=43，則PF=（）
A．4B．6C．8D．10
3．（23-24高二下·甘肅白銀·期中）若圓C與x軸相切且與圓x2+y2=4外切，則圓C的圓心的軌跡方程為（）
A．x2=4y+4B．x2=?4y+4
C．x2=4y+4D．x2=4y?4
4．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F、點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直y軸于點(diǎn)N，若MF=6，則△MNF的面積為（）
A．8B．45C．55D．105
5．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d1，到直線l:4x?3y+12=0的距離為d2，則d1+d2的最小值為（）
A．1B．2C．3D．4
6．（2024·四川雅安·三模）已知過圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓(x?2)2+(y+1)2=4的一條直徑與拋物線x2=2py(p>0)的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，則p=（）
A．12B．1C．2D．4
7．（2024·山西運(yùn)城·三模）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)M在C上，點(diǎn)B與點(diǎn)A1,?2關(guān)于直線l:y=x?1對(duì)稱，則MFMB的最小值為（）
A．22B．12C．33D．13
8．（2024·江西九江·二模）已知拋物線C:y2=2px過點(diǎn)A1,2，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）
A．C的準(zhǔn)線方程為x=?2
B．△AFO的面積為1
C．不存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)的距離為2
D．存在點(diǎn)P，使得△POF為等邊三角形
二、多選題
9．（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線C與拋物線y2=4x關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列說法正確的是（）
A．拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是?1,0
B．拋物線C關(guān)于y軸對(duì)稱
C．拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=1
D．拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4
10．（2024·湖北襄陽·二模）拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)為F，P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到(t,1)時(shí)，|PF|=2，直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）
A．拋物線的方程為：x2=8y
B．拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=?1
C．當(dāng)直線l過焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與x軸相切
D．AF+BF≥4
11．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知拋物線C：x2=2y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A，B在C上（A在第一象限），點(diǎn)Q在l上，以AB為直徑的圓過焦點(diǎn)F，QB=λBF（λ>0），則（）
A．若λ=3，則BF=34B．若∠AQF=3π8，則AF=2+2
C．△AFB的面積最小值為14D．△AQB的面積大于3?22
三、填空題
12．（2024·陜西寶雞·三模）拋物線y2=2px(p>0)過點(diǎn)A(2,2)，則點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為．
13．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x,y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(2,0)，則|PF|?|PA|的最大值是．
14．（2024·上?！と＃┻^拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交E于點(diǎn)A,B，交E的準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，AD⊥l，點(diǎn)D為垂足.若F是AC的中點(diǎn)，且AF=3，則AB= .
四、解答題
15．（24-25高二上·全國·課堂例題）分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)焦點(diǎn)為?2,0；
(2)準(zhǔn)線為y=?1；
(3)過點(diǎn)A2,3；
(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為52．
16．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知M是拋物線y2=2x上一點(diǎn).
(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，求MA的最小值；
(2)若點(diǎn)M到直線x?y+1=0的距離最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及距離的最小值.
17．（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知某條河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬8米，一條木船寬4米，木船露出水面上的部分高為0.75米.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拱橋所在拋物線的方程；
(2)當(dāng)水面上漲0.5米時(shí)，木船能否通行？
(3)當(dāng)水面上漲多少米時(shí)，木船開始不能通行？
18．（23-24高二上·上海浦東新·期末）已知點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離等于它到直線x=?2的距離，
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)若A(2,2)，求△PAF周長的最小值.
19．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）在兩個(gè)條件①點(diǎn)B3,2；②點(diǎn)B3,4中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中．
已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在此拋物線上移動(dòng)，求：
(1)點(diǎn)P到點(diǎn)F與它到______的距離之和的最小值；
(2)點(diǎn)P到點(diǎn)A?1,1與它到準(zhǔn)線l的距離之和的最小值；
(3)點(diǎn)P到直線y=?4x?5與它到準(zhǔn)線l的距離之和的最小值．
考點(diǎn)要求
真題統(tǒng)計(jì)
考情分析
(1)掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)
(3)了解拋物線的簡單應(yīng)用
2023年新高考I卷：第22題，12分
2023年新高考Ⅱ卷：第10題，5分
2023年全國乙卷（文數(shù)）：第13題，5分
2023年北京卷：第6題，4分
2024年新高考Ⅱ卷：第10題，6分
2024年北京卷：第11題，5分
拋物線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，拋物線及其性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.從近幾年的高考情況來看，主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、面積問題等內(nèi)容，在選擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，解題思路和解題步驟相對(duì)固定，強(qiáng)調(diào)通性通法，選擇、填空題中難度不大，解答題中難度偏大，一般以第一小問考查拋物線的方程或軌跡問題，需要靈活求解.
標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
圖形
頂點(diǎn)
(0,0)
(0,0)
軸
對(duì)稱軸y=0
對(duì)稱軸x=0
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
離心率
e =1
e=1
開口
開口向右
開口向左
開口向上
開口向下
焦半徑
范圍
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0

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