TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30610" 【題型1 直線與圓的位置關(guān)系的判斷】 PAGEREF _Tc30610 \h 5
\l "_Tc1275" 【題型2 弦長問題】 PAGEREF _Tc1275 \h 7
\l "_Tc1909" 【題型3 切線問題、切線長問題】 PAGEREF _Tc1909 \h 9
\l "_Tc16471" 【題型4 圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問題】 PAGEREF _Tc16471 \h 11
\l "_Tc21362" 【題型5 面積問題】 PAGEREF _Tc21362 \h 13
\l "_Tc9423" 【題型6 直線與圓位置關(guān)系中的最值問題】 PAGEREF _Tc9423 \h 15
\l "_Tc1242" 【題型7 直線與圓中的定點(diǎn)定值問題】 PAGEREF _Tc1242 \h 18
\l "_Tc19395" 【題型8 圓與圓的位置關(guān)系】 PAGEREF _Tc19395 \h 23
\l "_Tc22428" 【題型9 兩圓的公共弦問題】 PAGEREF _Tc22428 \h 25
\l "_Tc4424" 【題型10 兩圓的公切線問題】 PAGEREF _Tc4424 \h 26
1、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
【知識(shí)點(diǎn)1 直線與圓的位置關(guān)系】
1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法
(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：
(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法
①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來研究，若有兩組不同的
實(shí)數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實(shí)數(shù)解，即0時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)=0時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)2”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，當(dāng)?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，1?k1+k2≤r恒成立，從而得到r≥2，再利用充分條件與必要條件的判斷方法，即可求出結(jié)果.
【解答過程】易知圓C:x+12+y2=r2r>0的圓心為C(?1,0)，半徑為r，
當(dāng)?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，1?k1+k2≤r恒成立，即(r2?1)x2+2k+r2?1≥0恒成立，
則r2?1>0且Δ=4?4(r2?1)2≤0，解得r2?1≥1，即r≥2或r≤?2（舍去）
所以“?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)”是“r>2”的必要不充分條件，
故選：B.
【題型2 弦長問題】
【例2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）直線l:x+y=1，圓C:x2+y2?2x?2y?2=0.則直線l被圓C所截得的弦長為（ ）
A．2B．23C．27D．14
【解題思路】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，再求出圓心到直線的距離，最終利用勾股定理即可求解.
【解答過程】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?12+y?12=4，
由此可知圓C的半徑為r=2，圓心坐標(biāo)為C1,1，
所以圓心C1,1到直線l:x+y=1的距離為d=1+1?112+12=22，
所以直線被圓截得的弦長為2r2?d2=222?222=14.
故選：D.
【變式2-1】（2024·貴州六盤水·三模）已知直線ax?y+2=0與圓x?12+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=23，則a=（ ）
A．43B．1C．?34D．﹣2
【解題思路】首先求出圓心到直線的距離，進(jìn)一步利用垂徑定理建立等量關(guān)系式，最后求出a的值．
【解答過程】圓x?12+y2=4與直線ax?y+2=0與相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=23．
則圓心1,0到直線ax?y+2=0的距離d=a+2a2+10．上，點(diǎn)A0,2，若PA的最小值為1，則過點(diǎn)A且與圓C相切的直線方程為（ ）
A．x=0或7x+24y?48=0B．x=0或7x?24y?48=0
C．x=1或24x?7y?48=0D．x=1或24x+7y?48=0
【解題思路】
首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)PA的最小值為1，得到方程求出a的值，即可求出圓的方程，再分斜率存在與不存在兩種情況，分別求出切線方程，即可得解.
【解答過程】
由圓C方程可得圓心為Ca,0，半徑r=a，因?yàn)镻A的最小值為1，所以a2+4?a=1，
解得a=32，故圓C:x?322+y2=94．
若過點(diǎn)A0,2的切線斜率存在，
設(shè)切線方程為y=kx+2，則32k?0+21+k2=32，解得k=?724，
所以切線方程為y=?724x+2，即7x+24y?48=0；
若過點(diǎn)A0,2的切線斜率不存在，由圓C方程可得，圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)0,0，所以切線方程為x=0．
綜上，過點(diǎn)A且與圓C相切的直線方程為x=0或7x+24y?48=0．
故選：A.
【變式3-2】（2024·北京西城·模擬預(yù)測(cè)）已知圓O:x2+y2=1，過直線3x+4y?10=0上的動(dòng)點(diǎn)P作圓O的一條切線，切點(diǎn)為A，則PA的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．2
【解題思路】連接PO，PA2=PO2?r2，當(dāng)PO最小時(shí)，PA最小，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離得到答案.
【解答過程】如圖所示：連接PO，則PA2=PO2?r2，
當(dāng)PO最小時(shí)，PA最小，POmin=?1032+42=2，
故PA的最小值為22?12=3.
故選：C.
【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）過直線y=x上一點(diǎn)M作圓C：x?22+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q．若直線PQ過點(diǎn)1,3，則直線PQ的方程為（ ）
A．5x?y?2=0B．x?5y+14=0
C．5x+y?8=0D．x+5y?16=0
【解題思路】設(shè)Mt,t，先利用兩圓方程相減得到直線PQ的方程，再利用直線PQ過點(diǎn)1,3求得t的值，進(jìn)而得到直線PQ的方程.
【解答過程】圓C：x?22+y2=1的圓心為C2,0，
設(shè)Mt,t，則以MC為直徑的圓的方程為
x?t+222+y?t22=14t?22+t?02
與圓C的方程x?22+y2=1兩式相減可得直線PQ的方程為
t?2x+ty?2t+3=0
因?yàn)橹本€PQ過點(diǎn)1,3，所以t?2+3t?2t+3=0，解得t=?12．
所以直線PQ的方程為?52x?12y+1+3=0，即5x+y?8=0．
故選：C．
【題型4 圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問題】
【例4】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)圓C:x?22+y?12=36和不過第三象限的直線l: 4x+3y?a=0，若圓C上恰有三點(diǎn)到直線l的距離為3，則實(shí)數(shù)a=（ ）
A．2B．4C．26D．41
【解題思路】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離為3，即可求出a的值，再由直線不過第三象限求出a的取值范圍，即可得解.
【解答過程】因?yàn)閳AC:x?22+y?12=36的圓心為C2,1，半徑r=6，
因?yàn)閳AC上恰有三點(diǎn)到直線l的距離為3，
所以圓心C2,1到直線l的距離d=4×2+3×1?a42+32=3，解得a=?4或a=26，
又直線l: 4x+3y?a=0不過第三象限，則a3≥0，解得a≥0，
所以a=26.
故選：C.
【變式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圓C：x2+y2=1，直線l：x?y+c=0，則“c=22”是“圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于12”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要
【解題思路】利用圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于12，等價(jià)于O0,0到直線l：x?y+c=0的距離為12，從而利用點(diǎn)線距離公式與充分必要條件即可得解.
【解答過程】因?yàn)閳AC：x2+y2=1的圓心O0,0，半徑為r=1，
當(dāng)圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于12時(shí)，
則O0,0到直線l：x?y+c=0的距離為12，
所以0?0+c1+1=12，解得c=±22，即必要性不成立；
當(dāng)c=22時(shí)，由上可知O0,0到直線l：x?y+c=0的距離為12，
此時(shí)圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于12，即充分性成立；
所以“c=22”是“圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于12”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:y=kx+2，圓x2+y2=4上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，則k=（ ）
A．1或2B．－1或?2C．2或－1D．1或－1
【解題思路】結(jié)合題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式求解，再進(jìn)行驗(yàn)證即可.
【解答過程】如圖所示，圓x2+y2=4的半徑為2.設(shè)點(diǎn)P(x,y)在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng).
圓心O到直線l:y=kx+2的距離d=21+k2，令21+k2=1，則k=±1.
①當(dāng)k=1時(shí)，與直線y=x+2平行且距離等于1的直線是y=x，y=x+22，
與圓的三個(gè)交點(diǎn)是P1，P2，P3，滿足題意.
②當(dāng)k=?1時(shí)，與直線y=?x+2平行且距離等于1的直線是y=?x，y=?x+22，與圓的三個(gè)交點(diǎn)是P1，P2，P4，滿足題意.
綜上，k=±1.
故選：D.
【變式4-3】（2024·山西·二模）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C:x2+y2+2x?4y+a=0上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線2x?y?1=0的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．(?4?45,45?4)B．[?4?45,45?4]
C．(?2?25,25?2)D．[?2?25,25?2]
【解題思路】求出平行于直線2x?y?1=0且距離為2的直線方程，再求出與圓心較近的直線與圓相交，另一條平行直線與圓相離的a的范圍.
【解答過程】圓C:(x+1)2+(y?2)2=5?a(a

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