【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】3
【考點(diǎn)1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系3
【考點(diǎn)2】中點(diǎn)弦及弦長問題5
【考點(diǎn)3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問題7
【分層檢測】9
【基礎(chǔ)篇】9
【能力篇】12
【培優(yōu)篇】12
真題自測
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．
2．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.
(1)若，求；
(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.
3．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
4．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.
5．（2022·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分.
6．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系
一、解答題
1．（2024·安徽·三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，C在點(diǎn)處的切線l分別交直線和直線于兩點(diǎn)．
(1)求證：直線與C相切；
(2)探究：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
2．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）橢圓的焦點(diǎn)為和，短軸長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓上、下頂點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（不與、兩點(diǎn)重合）.
①求證：與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；
②已知直線，求直線、、圍成的三角形面積最小值.
3．（2025·廣東·一模）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. 直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是. 設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為.
(1)求;
(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點(diǎn).
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn) ，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，且為線段ST的中點(diǎn).
（i）證明：直線與曲線有且僅有一個交點(diǎn)；
（ii） 求證：是定值.
5．（2024·安徽·一模）已知雙曲線C：的離心率為2.且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求C的方程；
(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.
6．（2024·上海浦東新·三模）已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，Ax1,y1、Bx2,y2為雙曲線上的點(diǎn).
(1)求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離；
(2)若，求直線的方程；
(3)若，其中A、B兩點(diǎn)均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍.
反思提升：
1.判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)當(dāng)a≠0時，則Δ＞0時，直線l與曲線C相交；Δ＝0時，直線l與曲線C相切；Δ＜0時，直線l與曲線C相離.
(2)當(dāng)a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點(diǎn)，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸平行或重合.
2.對于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn).
【考點(diǎn)2】中點(diǎn)弦及弦長問題
一、解答題
1．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長為．
(1)求的方程；
(2)若的面積為，求的方程；
(3)若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率記為.
(1)證明：；
(2)若，焦距為.
①求橢圓的方程；
②若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，，且直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，求直線的方程.
3．（2024·廣東廣州·三模）一般地，當(dāng)且時，方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)P為橢圓上異于其左，右頂點(diǎn)M，N的任意一點(diǎn)．
(1)當(dāng)時，直線與橢圓C，自上而下依次交于R，Q，S，T四點(diǎn)，探究，的大小關(guān)系，并說明理由．
(2)當(dāng)（e為橢圓C的離心率）時，設(shè)直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，直線與橢圓C交于點(diǎn)D，E，求的值．
4．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點(diǎn)，直線交右支于，兩點(diǎn)，．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：；
(3)若直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，記，的中點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
5．（2024·安徽池州·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為，過F的直線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線的傾斜角為時，求由四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；
(2)直線分別交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明：為的中點(diǎn).
6．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知雙曲線()經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？請說明理由．
反思提升：
1.弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法
(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；
(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.
2.弦長的求解方法
(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.
(2)當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點(diǎn)，則弦長公式的常見形式有如下幾種：
①|(zhì)AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；
②|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).
【考點(diǎn)3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問題
一、解答題
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).
(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長;
(2)設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍
(3)若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)延長線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立?若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
2．（2023·四川綿陽·三模）在平面直角坐標(biāo)系 ?中：①已知點(diǎn)?， 直線?，動點(diǎn)?滿足到點(diǎn)?的距離與到直線?的距離之比?；②已知點(diǎn)?分別在?軸，?軸上運(yùn)動， 且?， 動點(diǎn)?滿?； ③已知圓?的方程為?， 直線?為圓?的切線， 記點(diǎn)?到直線?的距離分別為?， 動點(diǎn)?滿足?．
(1)在①，②，③這三個條件中任選一個， 求動點(diǎn) ?的軌跡方程；
(2)記 （1）中動點(diǎn) ?的軌跡為?， 經(jīng)過點(diǎn)?的直線?交?于?兩點(diǎn)， 若線段?的垂直平分 線與?軸相交于點(diǎn)?， 求點(diǎn)?縱坐標(biāo)的取值范圍．
3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，過點(diǎn)F作y軸的垂線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過拋物線上一點(diǎn)A作拋物線的切線l交橢圓于B，C兩點(diǎn)，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D，BC的中點(diǎn)為E，BC的中垂線交x軸于點(diǎn)G，若，的面積分別記為，，且，點(diǎn)A在第一象限，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
4．（2025·黑龍江大慶·一模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，漸近線方程為.
(1)求的方程；
(2)若互相垂直的兩條直線均過點(diǎn)，且，直線交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，設(shè).
①求；
②記，，求.
5．（2025·寧夏·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)T到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記T的軌跡為曲線E，直線交E右支于A，B兩點(diǎn)，直線交右支于C，D兩點(diǎn)，.
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，記AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q，過點(diǎn)Q作E兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，求四邊形面積的取值范圍.
6．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖， 在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，. 已知點(diǎn)和都在雙曲線上， 其中為雙曲線的離心率.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)是雙曲線上位于軸右方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn).
(i) 若，求直線的斜率；
(ii) 求證：是定值.
反思提升：
1.求解直線與橢圓的綜合問題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題意，列出有關(guān)的方程，利用代數(shù)的方法求解.為減少計(jì)算量，在代數(shù)運(yùn)算中，經(jīng)常運(yùn)用設(shè)而不求的方法.
2.直線方程的設(shè)法，根據(jù)題意，如果需要討論斜率不存在的情況，則設(shè)直線方程為x＝ty＋m避免討論；若所研究的直線的斜率存在，則可設(shè)直線方程為y＝kx＋b的形式；若包含平行于坐標(biāo)軸的直線，則不要忘記斜率不存在的情況的討論.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知直線過橢圓C；的一個焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·山東泰安·三模）已知為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是面積為4的直角三角形，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個焦點(diǎn)為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·四川·一模）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．
B．
C．當(dāng)不共線時，的周長為
D．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則
6．（22-23高二下·廣西·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線C的一個焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P是這兩條曲線的一個公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．B．的周長為16
C．的面積為D．
7．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．的面積為B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或
C．的漸近線方程為D．以線段為直徑的圓的方程為
三、填空題
8．（2024·北京·高考真題）若直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，則的一個取值為 ．
9．（2022·安徽蚌埠·三模）已知橢圓的離心率為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時,直線的方程為 .
10．（2024·黑龍江吉林·二模）橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，若的面積是4，則 .
四、解答題
11．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)坐標(biāo).
12．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：上任意一點(diǎn)Q（異于頂點(diǎn)）與雙曲線兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為，E在雙曲線C上，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，|EF|的最小值為.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓上任意一點(diǎn)P（P不在C的漸近線上）分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，交兩漸近線于M，N兩點(diǎn)，且，是否存在m，n使得橢圓的離心率為？若存在，求出橢圓的方程，若不存在，說明理由.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則下列說法不正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的漸近線方程為
C．過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)且為的中點(diǎn)，則直線的方程為
D．的面積為
二、多選題
2．（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作斜率為k的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且，則的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
3．（2024·河北衡水·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為6，點(diǎn)，直線與交于A，B兩點(diǎn)，且為AB中點(diǎn)，則的周長為 ．
四、解答題
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時，．
(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)斜率存在時，線段上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之和為定值．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·湖南益陽·一模）已知兩點(diǎn)，及一動點(diǎn)，直線，的斜率滿足，動點(diǎn)的軌跡記為.過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，直線，交于點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)求的面積的最大值；
(3)求點(diǎn)的軌跡方程.
2．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為2，不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為1的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，為線段PQ的中點(diǎn)，直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)，直線PB與的另一個交點(diǎn)為，直線QB與的另一個交點(diǎn)為，其中，均不為橢圓的頂點(diǎn)，證明：直線MN過定點(diǎn).
3．（2024·浙江·三模）已知雙曲線的實(shí)軸長為4，左、右焦點(diǎn)分別為、，其中到其漸近線的距離為1．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)若點(diǎn)P是雙曲線在第一象限的動點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)P處的切線與x軸相交于點(diǎn)T．
（i）證明：射線是的角平分線；
（ii）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與垂直，與直線相交于點(diǎn)Q，求面積的取值范圍．

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專題47 橢圓-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）：

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