TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8800" 【題型1 公式法】 PAGEREF _Tc8800 \h 3
\l "_Tc11470" 【題型2 錯(cuò)位相減法求和】 PAGEREF _Tc11470 \h 5
\l "_Tc29340" 【題型3 裂項(xiàng)相消法求和】 PAGEREF _Tc29340 \h 8
\l "_Tc17627" 【題型4 分組（并項(xiàng)）法求和】 PAGEREF _Tc17627 \h 10
\l "_Tc10839" 【題型5 倒序相加法求和】 PAGEREF _Tc10839 \h 13
\l "_Tc20395" 【題型6 含有（-1）n的類型求和】 PAGEREF _Tc20395 \h 16
\l "_Tc24326" 【題型7 奇偶項(xiàng)問(wèn)題求和】 PAGEREF _Tc24326 \h 19
\l "_Tc28898" 【題型8 先放縮再裂項(xiàng)求和】 PAGEREF _Tc28898 \h 21
\l "_Tc442" 【題型9 新定義、新情景下的數(shù)列求和】 PAGEREF _Tc442 \h 25
1、數(shù)列求和
【知識(shí)點(diǎn)1 數(shù)列求和的幾種常用方法】
1．公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和.
①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
.
②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
=.
2．分組求和法與并項(xiàng)求和法
(1)分組求和法
若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減.
(2)并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.
3．錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一 個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.
4．裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.
常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5．倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.
【方法技巧與總結(jié)】
常用求和公式
(1).
(2).
(3).
(3).
【題型1 公式法】
【例1】（2024·四川達(dá)州·二模）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=8，且S9=0.
(1)求Sn；
(2)若bn為等比數(shù)列，b1=S45,b2=?a6，求bn通項(xiàng)公式.
【解題思路】（1）應(yīng)用等差數(shù)列基本量運(yùn)算得出d=?2，再求Sn；
（2）應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算得出公比，再求通項(xiàng)即可.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an公差為d,∵S9=0,∴9×8+9×82d=0,∴d=?2，∴Sn=8n?n(n?1)2(?2)=9n?n2.
（2）b1=s45=4,b2=?a6=?8+10=2,
∴數(shù)列bn公比為12,∴bn=412n?1=23?n.
【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知{an}是等差數(shù)列，a1=1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的公差；
(2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn．
【解題思路】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知條件列方程求解；
（2）由數(shù)列{2an}的通項(xiàng)，公式法求前n項(xiàng)和Sn.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1，a3，a9成等比數(shù)列，
有(1+2d)2=1+8d，解得d=1或d=0．
（2）由（1）因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1或an=n．
由于2an=2或2an=2n，
由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sn=2n或Sn=2(1?2n)1?2=2n+1?2．
【變式1-2】（2024·遼寧·一模）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足Sn=12an2+12an?1(n∈N?)，且a1,a2,a3,a4,a5成等比數(shù)列，當(dāng)n≥5時(shí)，an>0．
(1)求證：當(dāng)n≥5時(shí)，{an}成等差數(shù)列；
(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn．
【解題思路】(1)利用an+1=Sn+1?Sn得到an+1和an的關(guān)系即可證明；
(2)結(jié)合(1)中結(jié)論得an+1+an=0n≤5，求出a1和公比，得到an通項(xiàng)公式，從而根據(jù)等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解．
【解答過(guò)程】（1）∵Sn=12an2+12an?1(n∈N?)，
∴2Sn=an2+an?2，2Sn+1=an+12+an+1?2，
兩式相減，得2an+1=an+12?an2+an+1?an，
即an+1+anan+1?an?1=0．
當(dāng)n≥5時(shí)，an>0，∴an+1?an=1，
∴當(dāng)n≥5時(shí)，an成等差數(shù)列．
（2）由a1=12a12+12a1?1，解得a1=2或a1=?1，
又a1,a2,a3,a4,a5成等比數(shù)列，
∴由(1)得an+1+an=0n≤5，進(jìn)而q=?1，
而a5>0，∴a1>0，從而a1=2=a5，
∴an=2×(?1)n?1,1≤n≤4n?3,n≥5，
∴Sn=1?(?1)n,1≤n≤4,n∈N*12n2?52n+2,n≥5,n∈N*．
【變式1-3】（2024·江西贛州·二模）已知數(shù)列an滿足a1=14，an，32an+1，2anan+1成等差數(shù)列.
(1)求證：數(shù)列1an?1是等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式；
(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，證明：381?13n≤Sn

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