題型1 根據(jù)橢圓定義求方程
1．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、利用橢圓定義求方程
【分析】計(jì)算兩個(gè)已知圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的位置關(guān)系得到動(dòng)圓圓心到兩已知圓圓心距離和為定值，結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.
【詳解】圓可化為，圓心，半徑為.
圓可化為，圓心，半徑為.
設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)，半徑為，圓與圓外切于點(diǎn)，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，如圖所示：
由題意得，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，，，
∴，
∴點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，
∴，
∴點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：C.
2．（22-23高二上·福建福州·期中）已知圓，圓，動(dòng)圓M與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】求平面軌跡方程、利用橢圓定義求方程、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
【分析】畫圖，分析出，確定圓心M的軌跡為橢圓，求出，得到軌跡方程.
【詳解】如圖，由題意得：，，其中，
所以，
由橢圓定義可知：動(dòng)圓圓心M的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)，
則，解得：，
故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.
故選：D
3．（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為 .
【答案】
【知識點(diǎn)】橢圓定義及辨析、利用橢圓定義求方程、軌跡問題——橢圓
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和橢圓定義得到，再利用關(guān)系即可.
【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，則，
所以點(diǎn)的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓．
則，所以，
所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為．
故答案為：.
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓的圓心為，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量與幾何最值、由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、利用橢圓定義求方程
【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上，得到點(diǎn)的軌跡的方程為，化簡得到，進(jìn)而求得的取值范圍．
【詳解】由圓，可得，半徑為，可得，，
所以，
所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上，
可得，，則，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為，
又由，
因?yàn)?，所以?br>故答案為：.
5．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習(xí)）如圖：已知圓 內(nèi)有一點(diǎn) ，Q是圓C上的任意一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與CQ相交點(diǎn)M ，當(dāng)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M 的軌跡方程為
【答案】
【知識點(diǎn)】利用橢圓定義求方程、軌跡問題——橢圓
【分析】利用線段的中垂線性質(zhì)，即可推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓，即可出橢圓方程.
【詳解】
連接，由線段的垂直平分線與相交點(diǎn)M，可得，
則有，
所以點(diǎn)M 的軌跡是以為焦點(diǎn)，以5為長軸長的橢圓，
則，即，
所以點(diǎn)M 的軌跡方程為：，即，
故答案為：.
題型2 判斷參數(shù)范圍是否表示橢圓
1．（24-25高二上·天津南開·期末）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．0,4C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍
【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程即可判斷參數(shù)范圍.
【詳解】方程變形得：，
該方程要表示橢圓，則需要滿足，解得：，
故選：A.
2．（2024·遼寧·二模）已知方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中分母都大于且不能相等即可求解.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，
所以，解得且，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故選：D.
3．（24-25高三上·天津河西·期末）已知曲線，則“”是“曲線表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【知識點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍
【分析】由曲線表示橢圓得到，即可得到結(jié)果.
【詳解】曲線表示橢圓，則，解得，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4．（24-25高二上·江蘇南京·期中）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍
【分析】根據(jù)橢圓方程的概念求解即可.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，
所以，解得，即.
故選：C.
5．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【知識點(diǎn)】根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍
【分析】根據(jù)方程表示橢圓列出不等式組得解.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，
所以，解得且，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故答案為：
題型3橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)與定點(diǎn)距離和、差最值
1．（22-23高二上·天津·期末）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，若P是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值
【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，，計(jì)算得到答案.
【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，
，
當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)等號成立.
故選：A
2．（21-22高二上·天津和平·期中）已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【知識點(diǎn)】定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）、橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值
【分析】易知圓的圓心是為橢圓的左焦點(diǎn)，利用橢圓的定義得到，然后由求解.
【詳解】如圖所示：

由，得，
則，
則圓的圓心是為橢圓的左焦點(diǎn)，
則右焦點(diǎn)為，
由橢圓的定義得，
所以，
又，
所以，
，
故選：C
3．（2024·山東威?！ひ荒＃┮阎獮闄E圓的上焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）、橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值
【分析】由圓和橢圓方程可確定圓心、半徑、的長；利用橢圓定義和圓的對稱性可將問題轉(zhuǎn)化為求解的最大值問題，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，由此可得結(jié)果.
【詳解】由圓方程得：圓心，半徑；
由橢圓方程得：，，設(shè)橢圓下焦點(diǎn)為，則，
由橢圓定義知：，；
（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號），
，
又（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號），
，即的最大值為.
故選：D.
4．（2023·江蘇南通·三模）已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值
【分析】
利用橢圓的定義、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識確定正確答案.
【詳解】依題意，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，
圓的圓心為，半徑為，
，
當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)等號成立.
而，
所以，
當(dāng)四點(diǎn)共線，且在之間，是的延長線與圓的交點(diǎn)時(shí)等號成立.
故選：D

5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)和，定點(diǎn)和，若，且的周長恒為16，則的最小值為 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的距離及最值、軌跡問題——橢圓、軌跡問題——圓
【分析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，由題意求出點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合圖像可知，即可得出答案.
【詳解】由題意知，點(diǎn)在以為圓心，6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓上運(yùn)動(dòng)（長軸兩端點(diǎn)除外）．
為方便計(jì)算，可將，視為定點(diǎn)，則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)和，則點(diǎn)的軌跡方程為，
由圖可知，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)
（在，之間或，重合），等號成立．
故答案為：.
6．（21-22高二上·天津和平·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】1
【知識點(diǎn)】橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值、橢圓定義及辨析
【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓的定義即可計(jì)算作答.
【詳解】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A在此橢圓外，
由橢圓的定義得，因此，
，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取“=”，
所以的最小值為1.
故答案為：1
題型4 橢圓中焦點(diǎn)三角形問題
1．（2024·江西九江·二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為，過其左焦點(diǎn)傾斜角為30°的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長為16，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長問題、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【分析】由橢圓的離心率得，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的斜率及直線的方程，求出得直線的方程，聯(lián)立兩條直線的方程，可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得，，將的周長轉(zhuǎn)化為，由橢圓的定義可得的周長為，即可求解．
【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率，可得，
所以，即，可得，
則點(diǎn)，右焦點(diǎn)，所以，
由題意可得直線的斜率，
所以，即，
由題意設(shè)直線的方程為，
直線的方程為，
設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，
聯(lián)立，可得，，
則，可得為的中點(diǎn)，所以直線為線段的中垂線，
即，，
的周長為，可得，
所以，，
所以橢圓的方程為：.
故選：C．
2．（2024·山西太原·三模）已知點(diǎn) 分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，則橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長問題、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題
【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式，結(jié)合橢圓的定義求解即得.
【詳解】依題意，設(shè)橢圓的方程為，由在上，得，
顯然的內(nèi)切圓與直線相切，則該圓半徑為1，而，
又，于是，，因此，解得，
所以橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故選：B
3．（2024·廣東·二模）已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且與圓在軸右側(cè)相切.若經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，則 ；若沒有經(jīng)過點(diǎn)，則的周長為 .
【答案】 ；
【知識點(diǎn)】橢圓定義及辨析、橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長問題
【分析】當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，線段，當(dāng)直線不經(jīng)過點(diǎn)時(shí)由圓與直線相切的位置關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，易知長半軸長，離心率；
設(shè)與圓相切于點(diǎn)，若垂直于軸，此時(shí)與重合，則有，
所以，得，
此時(shí)直線，將代入得，所以.
若沒有經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
由橢圓性質(zhì)和題意可知，，所以，
.
由橢圓方程得，
代入上式有.
，
則，
同理，所以的周長.
故答案為：，.
4．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的一條直線與交于，兩點(diǎn)，，則橢圓的長軸的最小值為 .
【答案】
【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、求橢圓中的最值問題、橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問題
【分析】設(shè)，則，在中，根據(jù)余弦定理，得，再利用基本不等式求最值.
【詳解】根據(jù)題意，如圖，，
設(shè)，則，
根據(jù)橢圓定義，可得，，
在中，根據(jù)余弦定理，，
即，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以橢圓的長軸的最小值為.
故答案為：.
5．（2024·江蘇宿遷·三模）若橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，的內(nèi)切圓的半徑為1，則的值為 ．
【答案】4
【知識點(diǎn)】橢圓定義及辨析、由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍、橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問題
【分析】利用等面積法得，結(jié)合橢圓定義和離心率為，求得答案.
【詳解】如圖，，
所以，.
故答案為：4.

題型5 橢圓離心率（定值，最值，范圍）
1．（2022·天津北辰·模擬預(yù)測）已知分別是橢圓和雙曲線的公共的左右焦點(diǎn)，是的離心率，若在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且滿足，則的關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】先確定，再利用勾股定理、橢圓、雙曲線的定義，即可得出結(jié)論.
【詳解】解：設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，所以，
所以.
故選：A.
2．（2022·天津·一模）已知橢圓在左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
【分析】由題意可知，根據(jù)橢圓的定義可知，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而可得，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，橢圓的離心率為；
因?yàn)椋?，即?br>因?yàn)?，所以?br>所以在中，由余弦定理可得 ，
即，所以，
又，所以.
故選：A.
3．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若上存在不同的兩點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
【分析】利用向量關(guān)系結(jié)合橢圓的對稱性，
找到當(dāng)分別位于的左、右頂點(diǎn)時(shí)，有最大值，求出離心率的取值范圍.
【詳解】如圖，延長交橢圓于，根據(jù)橢圓的對稱性，得，，
當(dāng)分別位于的左、右頂點(diǎn)時(shí)，有最大值，
又因?yàn)椴恢睾希?，即?br>解得，
所以的離心率的取值范圍為．
故選：C．
4．（2024·河南·二模）從橢圓外一點(diǎn)Px0,y0向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線稱作點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線，其方程為.現(xiàn)有如圖所示的兩個(gè)橢圓，離心率分別為，內(nèi)含于，橢圓上的任意一點(diǎn)關(guān)于的極線為，若原點(diǎn)到直線的距離為1，則的最大值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求橢圓中的最值問題、圓錐曲線新定義
【分析】根據(jù)定義寫出極線的方程，由距離公式列出一個(gè)方程，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上找到的關(guān)系再進(jìn)行求解.
【詳解】設(shè)，橢圓方程：，橢圓方程：，則有①
由極線的定義得直線的方程為，
原點(diǎn)到直線的距離，化簡得②，
對比①②式得出，則有，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，此時(shí).
故選：D.
5．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）若動(dòng)直線始終與橢圓（且）有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題、點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
【分析】由直線方程得出直線過定點(diǎn)，再由直線與橢圓有公共點(diǎn)列出不等式，結(jié)合橢圓離心率公式計(jì)算即可．
【詳解】由直線得，直線過定點(diǎn)，
由題意得，點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)部，
所以，則，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，
所以，
故選：C．
6．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知橢圓與雙曲線的左、右焦點(diǎn)相同，分別為，，與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且，與的離心率分別為，．則 ，的取值范圍是 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、雙曲線定義的理解
【分析】利用橢圓以及雙曲線定義聯(lián)立方程組可得，因此可求得；求出的表達(dá)式再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得，利用函數(shù)單調(diào)性即可求得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示：

根據(jù)橢圓定義以及雙曲線定義可得，解得；
顯然，可得；
又且，其中；
可得，所以，即；
所以．
令，則．
因?yàn)?，所以?br>又，所以有，所以有；
又，所以有，所以有，
所以可得．
設(shè)函數(shù)，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以．
即可得的取值范圍是.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解橢圓以及雙曲線離心率問題時(shí)，最容易忽略利用它們的定義來求得線段長度表達(dá)式，再進(jìn)行相關(guān)問題求解.
7．（2024·重慶·三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓上存在不在軸上的兩點(diǎn)A，B滿足，且，則橢圓離心率的取值范圍為 .
【答案】
【知識點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
【分析】由判斷出四邊形為平行四邊形，由正弦定理，利用可得答案.
【詳解】由知，為AB中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，
由與可知，
在中由正弦定理知，，
在中，有，又因?yàn)椋?br>可得，，由，得，
故離心率的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)題中條件，結(jié)合曲線性質(zhì)，找到一組等量關(guān)系（齊次式），進(jìn)而求解離心率或范圍.
題型6 橢圓中點(diǎn)弦問題
1．（24-25高二上·天津·階段練習(xí)）橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】求弦中點(diǎn)所在的直線方程或斜率
【分析】設(shè)該直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則由和作差即可計(jì)算得解.
【詳解】由題意可知以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率存在且不為0，
設(shè)該直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
則①，②，由②①得，
所以以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為.
故選：D.
2．（24-25高二上·天津·期中）已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（）
A．B．2C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率
【分析】根據(jù)給定條件,利用點(diǎn)差法,列式計(jì)算即得.
【詳解】設(shè)以為中點(diǎn)的弦端點(diǎn),
則,
由,得,
即,
所以直線AB的斜率.
故選:C
3．（23-24高二上·天津·階段練習(xí)）已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、求弦中點(diǎn)所在的直線方程或斜率、由韋達(dá)定理或斜率求弦中點(diǎn)
【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理用表示中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知中點(diǎn)坐標(biāo)解關(guān)于的方程可得
【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，
由對稱性可知，此時(shí)直線被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)在軸上，
而已知是線段AB的中點(diǎn)，不在軸上，不滿足題意.
故直線斜率存在，可設(shè)斜率為，則直線的方程為，
即，
代入橢圓的方程化簡得，
所以，解得，
故直線方程為，即.
故選：B.
4．（2024·甘肅張掖·三模）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率
【分析】設(shè)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出的關(guān)系式，把，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法化簡即可求解．
【詳解】設(shè)，，，
則，，，
所以，所以，
將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得：，
兩式作差可得：，
所以，則，
故選：D
5．（24-25高二上·天津和平·階段練習(xí)）若橢圓的弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為 .
【答案】/
【知識點(diǎn)】由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率
【分析】利用點(diǎn)差法即可得解.
【詳解】由于，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，
設(shè)，，由已知，，
由題意，，兩式相減得，
.
故答案為：.
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，直線與直線在第一象限交于點(diǎn)，且，，，，若過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的方程為 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率
【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件求出，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出、，由此即可確定橢圓的方程，方法一：利用點(diǎn)差法求出直線斜率，即可求出的方程；方法二：點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立得，利用韋達(dá)定理表示出，結(jié)合即可求出進(jìn)而求出的方程.
【詳解】設(shè)，由，，，，
得，，
所以，所以，，代入的方程得，
解得，故的方程為．
解法一 易知的斜率存在且不為0，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，，兩式相減得，
由點(diǎn)為的中點(diǎn)得，，
則的斜率為，所以的方程為，即．
解法二 易知的斜率存在且不為，設(shè)的方程為，
代入的方程并整理得，需滿足，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
解得，所以的方程為，即．
故答案為：
7．（2023·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）若橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則這個(gè)橢圓的方程為 .
【答案】
【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)
【分析】設(shè)橢圓的方程為，聯(lián)立方程組，得到，根據(jù)題意，列出方程，求得的值，即可求解.
【詳解】因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，可得，則，
可設(shè)橢圓的方程為，
設(shè)直線與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)為，
因?yàn)橄嘟凰孟业闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，
聯(lián)立方程組，整理得，
易得，則，可得，解得，
所以橢圓的方程為.
故答案為：.
題型7橢圓弦長問題
1．（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的離心率為，過的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn).若，則的焦距為 .
【答案】
【知識點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)弦長求參數(shù)、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
【分析】根據(jù)題意，得到橢圓的方程為，由的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合弦長公式，列出方程求得的值，即可求解.
【詳解】由橢圓的離心率為，可得，則，
所以橢圓的方程為，即，
由直線過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為，可得的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
所以，
解得，所以橢圓的焦距為.
故答案為：.
2．（2024·湖南婁底·一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，過的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線的斜率為1，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【知識點(diǎn)】根據(jù)弦長求參數(shù)
【分析】利用弦長公式求解參數(shù)，得到橢圓方程即可.
【詳解】
設(shè)Fc,0，由題意知，，直線的方程為，
與橢圓的方程聯(lián)立化簡得，所以，
故，解得，
所以，橢圓的方程為.
故答案為：
3．（2023·安徽滁州·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓在第二象限交于兩點(diǎn)，且與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，若，，則的方程為 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】根據(jù)弦長求參數(shù)、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率
【分析】設(shè)，根據(jù)題意得到，即，設(shè)直線的方程為，求得，結(jié)合，列出方程求得，即可求解.
【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)為，
由，兩式相減可得，即，
又由，則，
設(shè)直線的方程為，可得，
所以，所以，所以，解得，
因?yàn)?，所以，可得，解得?br>所以直線的方程為.
故答案為：.

4．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知橢圓的方程為，點(diǎn)為的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為的兩個(gè)頂點(diǎn)，若，，則的可能值中的最大值為 ．
【答案】5
【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的弦長、求橢圓的長軸、短軸
【分析】不妨設(shè)為右焦點(diǎn)，易知點(diǎn)到的左頂點(diǎn)的距離為，到右頂點(diǎn)的距離為，到上、下頂點(diǎn)的距離均為，再對、的位置分類討論，分別求出即可.
【詳解】設(shè)．由橢圓的對稱性，不妨設(shè)為右焦點(diǎn)，
易知點(diǎn)到的左頂點(diǎn)的距離為，到右頂點(diǎn)的距離為，到上、下頂點(diǎn)的距離均為，
分情況進(jìn)行討論：①若分別為的左、右頂點(diǎn)，則，解得，則，
所以，相對應(yīng)的的方程為；
②若為的左頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，則，所以，，
所以，相對應(yīng)的的方程為；
③若為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，則，所以，，
所以，相對應(yīng)的的方程為．
綜上所述，的所有可能值為，，；比較可知三值最大的為，即的可能值中的最大值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是分類討論，需做到不重不漏.
5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且的面積為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若傾斜角為的直線l與C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的弦長、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的最值問題
【分析】（1）借助橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，的面積與計(jì)算即可得；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線，借助韋達(dá)定理與弦長公式計(jì)算即可得.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2），故可設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立，消去可得，
，即，
，，
則
，
則當(dāng)時(shí)，有最大值，且其最大值為.
6．（2024·云南昆明·三模）已知曲線由半圓和半橢圓組成，點(diǎn)在半橢圓上，，．
(1)求的值；
(2)在曲線上，若（是原點(diǎn)）．
（?。┣蟮娜≈捣秶?；
（ⅱ）如圖，點(diǎn)在半圓上時(shí)，將軸左側(cè)半圓沿軸折起，使點(diǎn)到，使點(diǎn)到，且滿足，求的最大值．
【答案】(1)
(2)（?。?；（ⅱ）
【知識點(diǎn)】橢圓定義及辨析、求橢圓中的最值問題、求直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、求橢圓中的弦長
【分析】（1）是橢圓的左、右焦點(diǎn)，由橢圓的定義求的值；
（2）（?。?，，兩點(diǎn)的位置，分類討論的值，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍；
（ⅱ）過作垂直軸，垂足為，設(shè)，把表示為的函數(shù)，利用換元法和三角函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，
由橢圓的定義知：．
（2）（?。┯深}意知，，則，
當(dāng)為半橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)不為半橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y=kxk≠0，聯(lián)立，
解得，，故，
①若點(diǎn)在半圓上，則，
所以，
所以，所以，
②若點(diǎn)在半橢圓上，因?yàn)椋?br>設(shè)直線的方程為，同理可得，
所以，令，
則，
因?yàn)?，故，所以，所以?br>綜上所述，所以．
（ⅱ）
過作垂直軸，垂足為，設(shè)，則，
，所以，
即，
，則半圓所在平面與半橢圓所在平面垂直，兩平面交線為軸，
則有，
所以，
令，，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值．
綜上所述的最大值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
折疊與展開問題是立體幾何的兩個(gè)重要問題，這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)，處理這類題型的關(guān)鍵是抓住兩圖的特征關(guān)系；折疊問題是立體幾何的一類典型問題是實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力考查的好素材；解答折疊問題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化，這些未變化的已知條件都是我們分析問題和解決問題的依據(jù)，而表面展開問題是折疊問題的逆向.
7．（2024·四川南充·一模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，若曲線C上兩點(diǎn)M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】軌跡問題——橢圓、根據(jù)弦長求參數(shù)
【分析】（1）根據(jù)距離公式列出方程即可求解；
（2）設(shè)，可得直線的方程，呢絨聯(lián)立方程組，結(jié)合對稱性與弦長公式列出方程即可求解.
【詳解】（1）由題意，，
整理化簡得，，
所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，直線的斜率都存在，設(shè)，
則直線的方程為，
分別延長，交曲線于點(diǎn)，
設(shè)，
聯(lián)立，即，
則，
根據(jù)對稱性，可得，
則
，
即，解得，
所以直線FM的斜率為.
8．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)在上，且的面積．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線與交于另一點(diǎn)，求直線的斜率．
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)弦長求參數(shù)、橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
【分析】（1）由的面積結(jié)合可先列方程求出，進(jìn)一步將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得的值，由此即可得解.
（2）設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式以及即可列方程求出，由此即可得解.
【詳解】（1）依題意可得．
．
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程，得，解得．
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）
依題意得直線存在斜率，設(shè)．
代入的方程得，即，
所以，且，
解得，
，
解得，即．
題型8 橢圓中三角形（四邊形）面積問題
1．（2024·天津南開·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且C的左、右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求直線l的方程.
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
【分析】（1）由橢圓焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的坐標(biāo)與離心率的定義計(jì)算即可得答案；
（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立曲線方程后可得與坐標(biāo)有關(guān)的韋達(dá)定理表達(dá)式，結(jié)合三角形面積公式表示出面積后借助基本不等式計(jì)算即可得答案.
【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，依題意，，，又，
解得，，，
所以橢圓C的方程為；
（2）由題意可得直線的斜率不為，故可設(shè)直線l的方程為，
Ax1,y1，Bx2,y2，則，
聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得，
由于直線過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故必有，則．
又，，
易知與同號，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以面積的最大值為，此時(shí)直線l的方程為．
2．（2024·天津·模擬預(yù)測）已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，，左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，，為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線，與橢圓分別交于點(diǎn)，.
①求證：直線過軸上的定點(diǎn)；
②求的面積的最大值.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②
【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、橢圓中的直線過定點(diǎn)問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
【分析】（1）由題意和橢圓的的關(guān)系列方程解出即可；
（2）設(shè)直線，的方程分別為：，，分別聯(lián)立橢圓方程，①：由韋達(dá)定理表示出的坐標(biāo)，求出直線方程，即可證明；②：設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，弦長公式，三角形面積公式即換元法求導(dǎo)分析單調(diào)性求得結(jié)果即可；
【詳解】（1）
∵離心率為，，∴，
∴，，則，∴橢圓的方程的方程為：；
（2）
①由（1）得，，
直線，的方程分別為：，
由，得
∴，
可得，，
由，可得
∴，可得，，，
直線的方程為：，
可得直線過定點(diǎn)，
②設(shè)的方程為：，由得，
設(shè)，，則，
∴，
∴的面積
令，（），則，
∵，且函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
因?yàn)椋院愠闪?，所以在遞增，
∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.
3．（2024·天津·模擬預(yù)測）橢圓，過左焦點(diǎn)的直線交橢圓E于A、C兩點(diǎn)，的最大值為，最小值為．
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過的直線交橢圓E于B、D兩點(diǎn)，且，求四邊形ABCD的面積的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【知識點(diǎn)】橢圓中三角形（四邊形）的面積、橢圓的焦半徑與焦點(diǎn)弦問題、根據(jù)弦長求參數(shù)
【分析】（1）記直線的傾斜角為，點(diǎn)A在x軸上方，則，記，分別在，中，利用余弦定理可得，，然后可得，根據(jù)的最大最小值列方程組求解可得；
（2）利用（1）中結(jié)論代入中，化簡后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得.
【詳解】（1）記直線的傾斜角為，點(diǎn)A在x軸上方，則，記，
則，
在中，由余弦定理得，整理得，
同理，在中，由余弦定理整理可得，
所以，
易知，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值.
依題意有，解得，
所以，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）因?yàn)椋缘膬A斜角為或者，
因?yàn)椋?br>所以由（1）可得，，
則四邊形ABCD的面積
.
因?yàn)?，?br>所以，所以.
4．（2024·天津·二模）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為和，上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為和，滿足.
(1)求橢圓的離心率；
(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓左?右頂點(diǎn)），直線與直線交于點(diǎn)，線段與線段交于點(diǎn)，過中點(diǎn)作的外接圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
【分析】（1）由以及滿足的關(guān)系即可列出方程組，得到關(guān)于的齊次方程，進(jìn)而得解；
（2）設(shè)直線方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合可表示出斜率，聯(lián)立的方程與直線得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得的斜率，由此結(jié)合斜率的積為-1可以判定，從而可定出的外接圓的圓心、半徑以及圓的方程，進(jìn)一步可以證明是等邊三角形，邊長，由此即可得解.
【詳解】（1），解得，則.
（2）
由（1）知橢圓方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上（異于橢圓左?右頂點(diǎn)），所以直線斜率不為0，
設(shè)直線方程為，聯(lián)立，
得，解得，代入，
解得.
又因?yàn)?，?lián)立，解得，
所以，
因此，所以，垂足為
因此的外接圓是以為直徑，中點(diǎn)為圓心的圓，半徑為.
因此圓的方程為，
因此.
所以是等邊三角形，邊長，
因此，解得.
因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
5．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為，點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)距離等于焦距.
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【知識點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、橢圓中三角形（四邊形）的面積
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)距離和離心率求解，即可求解橢圓方程；
（2）設(shè)方程，與橢圓聯(lián)立，韋達(dá)定理，求出中垂線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用面積關(guān)系列式求解即可.
【詳解】（1）由已知，解得，又，所以，
由，所以，所以橢圓方程為；
（2）設(shè)所在直線方程為，
聯(lián)立得，
得到，，所以，
記的中點(diǎn)為，則，所以中垂線，
所以，，所以，
又，則，
因?yàn)椋裕鉃榛颍ㄉ幔?，解?
6．（2024·天津河西·一模）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)為、，左焦點(diǎn)為，定點(diǎn)，．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為（）的直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)（在，之間），直線與軸交于點(diǎn)，若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【知識點(diǎn)】橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
【分析】（1）依題意可得為、的中點(diǎn)，即可求出、，再求出，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，，從而表示出的方程，即可得到，再求出，最后由三角形的面積得到，從而得到關(guān)于的方程，解得即可.
【詳解】（1）由題意，，則為、的中點(diǎn)，
所以，，
，，即，
，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，
與橢圓的方程聯(lián)立，，整理得，
，
所以，
直線與相交于點(diǎn)，令，
所以直線的斜率為，
直線的方程為，
令，，
由，
又，
，
，即，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以的值為或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出，從而得到.
（建議用時(shí)：80分鐘）
一、單選題
1．（2024·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【知識點(diǎn)】橢圓定義及辨析、雙曲線定義的理解、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，易得，設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.
【詳解】解：如圖所示：
設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，
由題意得，
設(shè)，則，
解得，
在中，由余弦定理得：，
即，化簡得，
則，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；
故選：C
2．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，平行四邊形的頂點(diǎn)都在上，在軸上且滿足，則的離心率為：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、余弦定理解三角形
【分析】連，設(shè)軸，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可得，再利用余弦定理可得，故可求離心率.
【詳解】連接，設(shè)軸，由于， ，
所以，故，所以四邊形為菱形.
由于，可設(shè)，，，
，，則在中有，
在中有，
又，所以，
整理得到，
又，即,
所以，解得，故，
在中有,則，故，
所以，故，故，
故選：A.
3．（2024·廣東韶關(guān)·一模）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與橢圓沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】根據(jù)給定條件，可得橢圓短軸的端點(diǎn)在以為直徑的圓外，由此求得，再利用雙曲線離心率的意義求出范圍.
【詳解】以為直徑的圓的方程為，依題意，橢圓短軸的端點(diǎn)在此圓外，
即，解得，則雙曲線的離心率為，
由，得，所以所求離心率的取值范圍.
故選：D
4．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知橢圓，過原點(diǎn)斜率不為0的直線交E于A，B兩點(diǎn)，過A作x軸的垂線，垂足為M，直線BM交橢圓E于另一點(diǎn)D，記直線AB，AD的斜率分別為，，若，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中的定值問題
【分析】根據(jù)直線斜率的坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，可求得，再求得，進(jìn)而可得即可求離心率.
【詳解】
設(shè)，則，
所以，
又，
所以，
又點(diǎn)在上，所以，
所以，
即，由，
故選:D．
5．（2024·湖南邵陽·二模）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn).若弦被直線平分，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)
【分析】由點(diǎn)差法解出，再由結(jié)合橢圓的性質(zhì)和離心率的定義解出即可.
【詳解】設(shè)，因?yàn)橄冶恢本€平分，設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)，
所以，①
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，代入可得
，兩式相減可得，②
又點(diǎn)在橢圓上，代入可得，兩式相減可得，
代入①②可得，又橢圓中，
所以離心率，
故選：C
二、填空題
6．（2022·天津河西·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，下頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，是等邊三角形.
（1）橢圓的離心率為 ；
（2）設(shè)直線：，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若.
（i） ；
（ii）已知點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，則橢圓的方程 .
【答案】
【知識點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、根據(jù)弦長求參數(shù)、根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和離心率公式，即可求出，設(shè)橢圓方程為，聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)，，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)弦長公式，結(jié)合．即可求出的值，根據(jù)四邊形為平行四邊形，可得，即可求出橢圓方程．
【詳解】解：由題意可知，，
，
．
．
，
設(shè)橢圓方程為，
聯(lián)立得解得：，則，
為中點(diǎn)，
，
所以，
則所在的直線方程為，
令，
解得，
，
，
解得或（舍．
直線的斜率為1．
，
設(shè)，，
四邊形為平行四邊形，
，
，，，
即，
又點(diǎn)，在橢圓上，，
解得，
，
該橢圓方程為：．
故答案為：；；
7．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為外的一點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，若直線的斜率之積為，則 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】求橢圓中的參數(shù)及范圍、由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)
【分析】取線段的中點(diǎn)為，利用邊長比值關(guān)系可得，進(jìn)而借助點(diǎn)差法求解的值.
【詳解】解：如圖，取線段的中點(diǎn)為，連接，

則由題意可得，，又，所以．
因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以．
設(shè)，則，
兩式相減可得，
整理得，即，
所以，所以．
故答案為：．
8．（2024·湖南·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P到，的距離之和為，若存在一點(diǎn)P滿足的面積為，寫出滿足條件的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】軌跡問題——橢圓、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
【分析】根據(jù)橢圓的定義，以及焦點(diǎn)三角形面積的取值范圍，即可求出本題.
【詳解】由題可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
橢圓方程可設(shè)為，
橢圓的焦點(diǎn)三角形面積，
所以題中所謂的焦點(diǎn)三角形面積，
即，
所以，
所以橢圓方程為，
寫出一個(gè)符合題意的橢圓方程，則可以是，
故答案為：.
9．（2024·遼寧丹東·二模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，橢圓，記P為拋物線與D在第一象限的交點(diǎn)，延長PO交D于Q，若，則的面積為 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】橢圓中三角形（四邊形）的面積、拋物線中的三角形或四邊形面積問題
【分析】借助橢圓定義與拋物線定義結(jié)合題目條件可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助面積公式計(jì)算可得的面積.
【詳解】由，可得F1,0，
由，可得F1,0與橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)重合，
根據(jù)橢圓的對稱性，，
所以的面積等于的面積的2倍，
由拋物線的定義知，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
所以的面積為．
故答案為：.
10．（2024·貴州遵義·三模）已知點(diǎn)P是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓引兩條切線，，設(shè)切點(diǎn)分別是M，N，若直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，則面積的最小值是 ．
【答案】/
【知識點(diǎn)】橢圓中三角形（四邊形）的面積、過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程、相交圓的公共弦方程
【分析】設(shè)，求出以為直徑的圓的方程，與圓的方程相減可得直線的方程，進(jìn)而可求得的坐標(biāo)，再求出和點(diǎn)到直線的距離，求出面積的表達(dá)式，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】設(shè)，
則以為直徑的圓的方程為，
與圓的方程相減得，
即是過切點(diǎn)的直線方程，
則，所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
所以，
又因?yàn)樵邳c(diǎn)P在橢圓上，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以，
即面積的最小值是.

故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，求出以為直徑的圓的方程，與圓的方程相減可得直線的方程，是解決本題的關(guān)鍵.
三、解答題
11．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，右頂點(diǎn)為點(diǎn)B，且滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)是否存在過原點(diǎn)O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C，且與直線AF交于點(diǎn)D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)因此存在直線滿足條件．
【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、求直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件問題
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解，即可結(jié)合的關(guān)系求解，
（2）聯(lián)立方程可得坐標(biāo)，即可根據(jù)根據(jù)，即可求解.
【詳解】（1）依題意，，解得，
又因?yàn)?，所以?br>（2）設(shè)直線的方程為，橢圓的方程為，
設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，
解得，①，
直線AF方程為，
設(shè)點(diǎn)，
，聯(lián)立方程組，解得，②，
又因?yàn)椋?br>設(shè)，則有，
即，所以，所以．
所以，則有，
代入①②有，解得，
由題意得，所以，因此存在直線滿足題中條件．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
12．（2024·天津·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且線段的長是長軸長的．
(1)求橢圓的離心率；
(2)若直線交橢圓于兩點(diǎn)（在的上方），過作的垂線交軸于點(diǎn)，若線段延長線上的一個(gè)點(diǎn)滿足的面積為．
①證明四邊形是菱形；
②若，求橢圓的方程．
【答案】(1);
(2)①證明見解析 ；②.
【知識點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
【分析】（1）利用條件中線段長關(guān)系可構(gòu)造齊次式求離心率；
（2）①根據(jù)上問結(jié)論化簡橢圓方程，分別求直線的方程，根據(jù)面積求出，再求出坐標(biāo)，可判定，從而證明結(jié)論；②直接由解方程即可.
【詳解】（1）由已知得長軸長為，則；
（2）① 證明：由（1）知，所以橢圓方程為，
易知，
所以，
故直線的方程為，直線的方程為，
令，則，
易知，
，
聯(lián)立方程組，
解得，
在的上方，，
即，
由上得，四邊形的對角線互相垂直且平分，故四邊形是菱形．
② 解：由，從而
即橢圓的方程為.

13．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知橢圓的焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)且的周長為.
(1)求橢圓的方程.
(2)若直線過點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)
（i）求直線的方程；
（ii）已知點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)
(2)（i）或；（ii）
【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
【分析】（1）根據(jù)條件列方程，求出，即可得答案；
（2）（i）判斷直線斜率存在，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意可得，化簡即可求得答案；（ii）利用弦長公式求出，再求出Q到直線AB的距離，即可求得答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意有，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）（i）若直線的斜率不存在，其垂直平分線與軸重合，不符合題意；
不妨設(shè)直線的方程為的中點(diǎn)為，
設(shè)，
與橢圓方程聯(lián)立有，整理得，
直線過橢圓焦點(diǎn)，必有，則，
所以，
由題意知，即，解得，
即，整理得直線的方程為或
（ii）由弦長公式可知
，
由直線的對稱性，知點(diǎn)到兩條直線的距離相同，即，
所以的面積為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
14．（2024·河南開封·二模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，且．
(1)求的離心率；
(2)射線與交于點(diǎn)，且，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長問題、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、根據(jù)弦長求參數(shù)
【分析】（1）由，可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率；
（2）由（1）可得與，與的關(guān)系，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，由題意可得，的值，由橢圓的性質(zhì)可得的周長為，即求出三角形的周長．
【詳解】（1）依題意可得上頂點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為F1?c,0，，
所以，，
又，
所以，即，即，
所以，所以離心率；
（2）由（1）可得，，則橢圓方程為，
射線的方程為，
聯(lián)立，整理可得，
解得或，則，即，
所以，解得，則，
所以的周長．

15．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，的周長為8，焦距為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與圓相切，且與交于不同的兩點(diǎn)R，S，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長問題、求橢圓中的最值問題、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
【分析】（1）由的周長結(jié)合橢圓的定義得出，再由的關(guān)系求出，進(jìn)而得出橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切，得，再聯(lián)立方程組，由弦長公式求最值.
【詳解】（1）因?yàn)榈闹荛L為8，
所以，解得，
焦距為，，所以，
所以橢圓E的方程為．
（2）由（1）可知圓，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為或，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，同理，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，
因?yàn)橹本€與圓相切，所以，則，
設(shè)，
聯(lián)立橢圓于直線方程，
消元得，
所以，
由，得,
,
令，
則，
由，所以當(dāng)時(shí)，，
而時(shí)，單調(diào)遞減，所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1，x2,y2；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
16．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知圓，橢圓的左右焦點(diǎn)為，如圖為圓上任意一點(diǎn)，過分別作橢圓兩條切線切橢圓于兩點(diǎn).
(1)若直線的斜率為2，求直線的斜率；
(2)作于點(diǎn)，判斷點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，的面積是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，最大值為
【知識點(diǎn)】求橢圓中的最值問題、橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題、求橢圓的切線方程、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍
【分析】（1）設(shè)，切線，由點(diǎn)在圓上并聯(lián)立切線與橢圓方程，根據(jù)得到關(guān)于k的一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，即可得直線的斜率；
（2）討論切線斜率的存在性，求得的方程為，進(jìn)而易得直線為，寫出直線方程并求交點(diǎn)，確定橢圓軌跡方程，根據(jù)橢圓交點(diǎn)三角形性質(zhì)求的面積最大值.
【詳解】（1）設(shè)，切線，則，
由得：，
由得：，
設(shè)切線的斜率分別為，則，
又直線的斜率為2，則直線的斜率為.
（2）當(dāng)切線斜率都存在時(shí)，設(shè)，
切線方程為，
由（1）得：
由點(diǎn)在橢圓上，得代入得：，即，
切線的方程為，
由于在切線上，則，所以直線為，
由得：直線方程為，聯(lián)立直線，
解得，
由得：點(diǎn)軌跡方程為，且焦點(diǎn)恰為，
當(dāng)切線斜率有一個(gè)不存在時(shí)，不妨設(shè)斜率不存在，且，
直線方程為方程為，解得，也在橢圓上，
綜上，點(diǎn)的軌跡為橢圓，
所以，，僅當(dāng)在橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)取到等號.
三年考情分析
2025考向預(yù)測
2022年，第19題，考察橢圓離心率橢圓中三角形面積問題
2023年，第19題，考察橢圓離心率橢圓中三角形面積問題
2024年，第18題，考察橢圓方程，橢圓中韋達(dá)定理的綜合應(yīng)用
橢圓是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是天津高考命題的重要考點(diǎn)。考試中主要考查橢圓方程，離心率，橢圓中三角形面積問題，也涉及到存在性探索問題。
平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，
這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)（,）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（）叫作橢圓的焦距.
說明：
若，的軌跡為線段；
若，的軌跡無圖形
利用橢圓定義求距離和差的最值的兩種方法：
（1）抓住與之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求的最值；
（2）利用定義轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值
一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識，建立,之間的關(guān)系，采用整體代入的方法解決焦點(diǎn)三角形的面積、周長及角的有關(guān)問題（）
性質(zhì)1：，（兩個(gè)定義）
拓展：的周長為
的周長為
性質(zhì)2：（余弦定理）
（1）定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得、的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值或取值范圍；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式求解；
中點(diǎn)弦問題點(diǎn)差法
若橢圓與直線交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且與斜率存在時(shí)，則；（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
若過橢圓的中心，為橢圓上異于任意一點(diǎn)，（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
如果直線的斜率為，被橢圓截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
則弦長公式為：
1、三角形中面積
（1）
（2）
（3）其中分別為內(nèi)切圓半徑及的周長
（4）橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對應(yīng)的張角）
2、三角形中面積最值
正規(guī)方法：面積公式+基本不等式
①
②
③
3、三角形中面積取值范圍
（1）如果題干已知一個(gè)角，則利用面積公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（注意角的范圍）
（2）如果題干未知角，則利用面積公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值（注意單一邊的范圍）
求單一邊范圍用到的工具
①兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊
②若為銳角三角形，則兩邊平方之和大于第三邊平方
若為鈍角三角形，則兩邊平方之和小于第三邊平方

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