【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】4
【考點1】橢圓的定義及應(yīng)用4
【考點2】橢圓的標準方程5
【考點3】橢圓的簡單幾何性質(zhì)7
【分層檢測】8
【基礎(chǔ)篇】8
【能力篇】11
【培優(yōu)篇】12
考試要求：
1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.
2.掌握橢圓的定義、 幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì).
知識梳理
1.橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.
其數(shù)學(xué)表達式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a＞c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a＜c，則集合P為空集.
2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)
1.若點P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，則
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
(1)當r1＝r2時，即點P的位置為短軸端點時，θ最大；
(2)S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.
3.焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin＝eq \f(2b2,a).
4.AB為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
真題自測
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．（2023·全國·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是 ．
考點突破
【考點1】橢圓的定義及應(yīng)用
一、單選題
1．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則的最大值是（ ）
A．B．9C．16D．25
2．（2024·陜西西安·三模）已知定點與橢圓上的兩個動點，，若，則的最小值為（ ）
A．B．13C．D．
二、多選題
3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知橢圓：（）的左、右焦點為，，過的直線與交于，兩點.若，.則（ ）
A．的周長為B．
C．的斜率為D．橢圓的離心率為
4．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知、，點為曲線上動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若為拋物線，則
B．若為橢圓，則
C．若為雙曲線，則
D．若為圓，則
三、填空題
5．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點為，橢圓上點滿足，則的面積為 .
6．（23-24高二上·山東青島·期末）如圖所示，已知橢圓的左右焦點分別為，點在上，點在軸上， ，則的離心率為 .

反思提升：
橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標準方程，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.
(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題.
【考點2】橢圓的標準方程
一、單選題
1．（2024·遼寧·二模）已知方程表示的曲線是橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·廣西桂林·三模）已知橢圓C：的右焦點為F，過F的直線與C交于A、B兩點，其中點A在x軸上方且，則B點的橫坐標為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知為3與5的等差中項，為4與16的等比中項，則下列對曲線描述正確的是（ ）
A．曲線可表示為焦點在軸的橢圓
B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線
C．曲線可表示為離心率是的橢圓
D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過的一個焦點和一個頂點，且與交于兩點，則（ ）
A．的周長為8
B．的面積為
C．該橢圓的離心率為
D．若點為上一點，設(shè)到直線的距離為，則
三、填空題
5．（2023·廣東·二模）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標準方程為 ．
6．（2024·上?！と＃┦骝v尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（1615-1660）設(shè)計的一種作圖工具，如圖，是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處的鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動，當點在滑槽內(nèi)作往復(fù)移動時，帶動點繞轉(zhuǎn)動，點也隨之而運動，記點的運動軌跡為，點的運動軌跡為.若，，且，過上的點向作切線，則切線長的最大值為
反思提升：
(1)利用定義法求橢圓標準方程，要注意條件2a＞|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
(2)橢圓的標準方程的兩個應(yīng)用
①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1與eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ＞0)有相同的離心率.
②與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦點的橢圓系方程為eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰當運用橢圓系方程，可使運算簡便.
【考點3】橢圓的簡單幾何性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·山西太原·一模）設(shè)雙曲線（、均為正值）的漸近線的傾斜角為，且該雙曲線與橢圓的離心率之積為1，且有相同的焦距，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為（ ）
A．8B．C．10D．
二、多選題
3．（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點繞原點旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．橢圓的離心率為
C．是橢圓的一個焦點D．
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在平面直角坐標系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點在坐標軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)，即得“斜橢圓”，設(shè)在上，則（ ）
A．“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為B．的離心率為
C．旋轉(zhuǎn)前的橢圓標準方程為D．
三、填空題
5．（2025·黑龍江大慶·一模）已知是橢圓的左焦點，直線交橢圓于兩點.若，則橢圓的離心率為 .
6．（2023·廣西·一模）如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點.，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點歷時n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則 .
反思提升：
1.求橢圓離心率或其范圍的方法
解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq \f(c,a)求解.
(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解.
(3)構(gòu)造a，c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.
2.利用橢圓幾何性質(zhì)求值域或范圍的思路
(1)將所求問題用橢圓上點的坐標表示，利用坐標范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系.
(2)將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關(guān)系求范圍.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點.若線段的中點在軸上,的面積為,則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，焦距為，則該橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·福建泉州·二模）若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（ ）
A．B．C．或D．或
4．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）若動直線始終與橢圓（且）有公共點，則的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點為，，上頂點為A，直線與C的另一個交點為B，若，則（ ）
A．C的焦距為2B．C的短軸長為
C．C的離心率為D．的周長為8
6．（2024·山東濰坊·二模）已知橢圓：的焦點分別為，，P為上一點，則（ ）
A．的焦距為B．的離心率為
C．的周長為D．面積的最大值為
7．（20-21高三上·江蘇南通·期末）嫦娥奔月是中華民族的千年夢想.2020年12月我國嫦娥五號“探月工程”首次實現(xiàn)從月球無人采樣返回.某校航天興趣小組利用計算機模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌道近月點制動（俗稱“踩剎車”）后，以的速度進入距離月球表面的環(huán)月圓形軌道（月球的球心為橢圓的一個焦點），環(huán)繞周期為，已知遠月點到月球表面的最近距離為，則（ ）
A．圓形軌道的周長為
B．月球半徑為
C．近月點與遠月點的距離為
D．橢圓軌道的離心率為
三、填空題
8．（2022·廣東佛山·三模）已知橢圓，、為的左、右焦點，是橢圓上的動點，則內(nèi)切圓半徑的最大值為 ．
9．（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為 .
10．（2023·貴州畢節(jié)·一模）勒洛三角形是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，邊長為半徑，在另兩個頂點間作圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形（如圖），已知橢圓的焦點和頂點能作出一個勒洛三角形，則該勒洛三角形的周長為 ．
四、解答題
11．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓C交于M，N兩點，且的周長為8，的最大面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)，是否存在x軸上的定點P，使得的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
12．（2024·廣東梅州·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點．
(1)求橢圓C的方程：
(2)求橢圓C上的點到直線l：的距離的最大值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左右焦點為，右頂點為，已知點在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，，，動點滿足與的斜率之積為，動點的軌跡記為，過點的直線交于，兩點，且，的中點為，則（ ）
A．的軌跡方程為
B．的最小值為1
C．若為坐標原點，則面積的最大值為
D．若線段的垂直平分線交軸于點，則點的橫坐標是點的橫坐標的倍
三、填空題
3．（2024·浙江杭州·二模）機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點時，橢圓的離心率等于 ．
四、解答題
4．（2024·山東淄博·二模）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且四個頂點所圍成的菱形的面積為4．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，設(shè)，滿足．
①求證：直線AB和直線BC的斜率之和為定值；
②求四邊形ABCD面積的最大值．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知為坐標原點，橢圓的焦距為，點在橢圓上，且，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·安徽合肥·三模）橢圓的兩個焦點分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．過點的直線與橢圓交于A，B兩點，則的周長為8
B．若上存在點，使得，則的取值范圍為
C．若直線與恒有公共點，則的取值范圍為
D．若為上一點，，則的最小值為
三、填空題
3．（2021·河北張家口·三模）已知為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓交于兩點，為的中點，為坐標原點.若△是以為底邊的等腰三角形，且△外接圓的面積為，則橢圓的長軸長為 .標準方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2

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