專題47 橢圓-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】8
【考點(diǎn)1】橢圓的定義及應(yīng)用8
【考點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程15
【考點(diǎn)3】橢圓的簡單幾何性質(zhì)21
【分層檢測】26
【基礎(chǔ)篇】26
【能力篇】35
【培優(yōu)篇】40
考試要求：
1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.
2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).
知識梳理
1.橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.
其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a＞c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a＜c，則集合P為空集.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1.若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
(1)當(dāng)r1＝r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；
(2)S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.
3.焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中通徑(垂直于長軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長lmin＝eq \f(2b2,a).
4.AB為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
真題自測
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．（2023·全國·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（）
A．B．C．D．
5．（2022·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是．
參考答案：
1．A
【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，
又在圓上，
所以，即，
即點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：A
2．B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；
方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)?，所以?br>從而，所以．
故選：B.
方法二：
因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
3．B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出OP的值；
方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；
方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．
【詳解】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因?yàn)棰?，?br>即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因?yàn)棰伲?br>即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．
4．A
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
5．B
【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.
【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，，
分別為C的左右頂點(diǎn)，則，
B為上頂點(diǎn)，所以.
所以，因?yàn)?br>所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為.
故選：B.
6．A
【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
7．13
【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，
∴，
∴ ，得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
故答案為：13.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】橢圓的定義及應(yīng)用
一、單選題
1．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則的最大值是（）
A．B．9C．16D．25
2．（2024·陜西西安·三模）已知定點(diǎn)與橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若，則的最小值為（）
A．B．13C．D．
二、多選題
3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn).若，.則（）
A．的周長為B．
C．的斜率為D．橢圓的離心率為
4．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知、，點(diǎn)為曲線上動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若為拋物線，則
B．若為橢圓，則
C．若為雙曲線，則
D．若為圓，則
三、填空題
5．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上點(diǎn)滿足，則的面積為 .
6．（23-24高二上·山東青島·期末）如圖所示，已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為 .

參考答案：
1．D
【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值.
故選：D.
2．C
【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示，列出函數(shù)關(guān)系并求出最小值.
【詳解】設(shè)橢圓上的點(diǎn)，而，
因此
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以的最小值為.
故選：C
3．ABD
【分析】利用橢圓的定義可得的周長，可判斷A選項(xiàng)；設(shè)，由得，而可得，設(shè)，得，進(jìn)而由橢圓的定義可得, ，從而可判斷B選項(xiàng)；在中用正弦定理可得，進(jìn)而求可得直線的斜率，可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算離心率可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A：過的直線與交于，兩點(diǎn)且，，
連接，的平分線交于點(diǎn)，如圖所示：
則的周長等于
故A正確；
對于B：設(shè)，，
則，
而.
設(shè)，則，
于是，即.
由，得,
又，得，
所以，故B正確；
對于C：在，由余弦定理可得：，
則，即.
在中，，又是中點(diǎn)，
所以，則，
于是，
所以的斜率為點(diǎn)在軸上方時(shí)，在軸下方時(shí)，故C錯(cuò)誤；
對于D：，故D正確.
故選：ABD.
4．BCD
【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；利用橢圓的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷B選項(xiàng)；利用雙曲線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；利用圓的方程以及數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，如下圖所示：

拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，
所以，，
由圖可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，
且其最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，如下圖所示：

對于橢圓，，，則，
則點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，取為該橢圓的左焦點(diǎn)，
由橢圓的定義可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)為射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，B對；
對于C選項(xiàng)，對于雙曲線，，，則，
所以，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，
取為雙曲線的右焦點(diǎn)，如下圖所示：

當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的右支時(shí)，由雙曲線的定義可得，則，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)為線段與雙曲線右支的交點(diǎn)時(shí)，等號成立；
當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支時(shí)，由雙曲線定義可得，
則，所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)為線段與雙曲線左支的交點(diǎn)時(shí)，等號成立.
綜上所述，，C對；
對于D選項(xiàng)，記點(diǎn)，對于點(diǎn)Mx,y，易知，，
，
如下圖所示：

所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，
即，D對.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用二次曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：
（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；
（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過連接圓外的點(diǎn)與圓心來分析求解；
（3）在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.
5．
【分析】結(jié)合橢圓定理、勾股定理的逆定理與三角形面積公式計(jì)算即可得.
【詳解】由橢圓定義可得，
則有，即，，
又，
由，故，
故.
故答案為：.
6．/
【分析】
設(shè)出，利用橢圓定義和圖形對稱性，借助于求得與的數(shù)量關(guān)系，接著在中求得，從而得到，最后在中運(yùn)用余弦定理即可求得.
【詳解】設(shè)，依題意，，因點(diǎn)在軸上，則，，
又因則，化簡得，在中，，故,
在中由余弦定理，,即，
解得：，即，則離心率為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由橢圓的焦半徑想到橢圓定義式，由垂直想到求三邊利用勾股定理，由邊的數(shù)量關(guān)系想到設(shè)元替換，遇到三角形的邊角關(guān)系，要考慮能否用正、余弦定理.
反思提升：
橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.
(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.
【考點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
一、單選題
1．（2024·遼寧·二模）已知方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2024·廣西桂林·三模）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方且，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知為3與5的等差中項(xiàng)，為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對曲線描述正確的是（）
A．曲線可表示為焦點(diǎn)在軸的橢圓
B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線
C．曲線可表示為離心率是的橢圓
D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（）
A．的周長為8
B．的面積為
C．該橢圓的離心率為
D．若點(diǎn)為上一點(diǎn)，設(shè)到直線的距離為，則
三、填空題
5．（2023·廣東·二模）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
6．（2024·上?！と＃┦骝v尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（1615-1660）設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿通過處的鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在滑槽內(nèi)作往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)也隨之而運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為.若，，且，過上的點(diǎn)向作切線，則切線長的最大值為
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中分母都大于且不能相等即可求解.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，
所以，解得且，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故選：D.
2．D
【分析】由題意可知：，設(shè)，，根據(jù)向量共線可得，結(jié)合橢圓方程運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意可知：，可知，
設(shè)，，則，
因?yàn)椋傻?，整理得?br>將代入方程可得，解得，
可知B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
故選：D．
3．ACD
【分析】由已知條件先求出的值，從而可得曲線C的方程，然后根據(jù)曲線方程分析判斷即可
【詳解】由為3與5的等差中項(xiàng)，得，即，
由為4與16的等比中項(xiàng)，得，即，
則曲線的方程為或．
其中表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，此時(shí)它的離心率，故A正確，C正確；
其中表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，焦距為，漸近線方程為，故B不正確，D正確．
故選:ACD．
4．ACD
【分析】由題意直線過焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，待定系數(shù)，得到橢圓方程.選項(xiàng)A，由橢圓定義的周長為；選項(xiàng)B，聯(lián)立直線與橢圓可得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得的面積；選項(xiàng)C，；選項(xiàng)D，設(shè)橢圓上任一點(diǎn)，則由橢圓方程可得，再由距離公式代入坐標(biāo)化簡求解即可.
【詳解】由題意知，橢圓焦點(diǎn)在軸上，直線過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，
故直線與軸的交點(diǎn)為右焦點(diǎn)，
與軸的交點(diǎn)為為頂點(diǎn)，設(shè)為，
所以，則，
所以橢圓的方程為．
對于A，由橢圓的定義，
所以的周長為，故A正確．
對于B，由消得，，解得，或，
由，則，代入直線，，
故點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以的面積
，故B錯(cuò)誤．
對于C，因?yàn)椋缘碾x心率，故C正確．
對于D，設(shè)，則．
因?yàn)?，所以?br>則
，故D正確．
故選：ACD．
5．
【分析】根據(jù)給定條件，借助幾何圖形及比例式求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再代入橢圓方程求解作答.
【詳解】由對稱性不妨令點(diǎn)M在第一象限，令直線交y軸于點(diǎn)A，過N作軸于B，令，

因?yàn)檩S，則，而O為的中點(diǎn)，又A為中點(diǎn)，而，
于是，由知，，顯然，
因此，于是，又，
則，解得，而，則，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
6．
【分析】以滑槽所在的直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出曲線和的方程，利用三角換元設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出的最大值，然后利用圓的切線長的求解方法，即可求得答案.
【詳解】如圖，以滑槽所在的直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
則其方程為，
設(shè)，因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，得，
所以，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，其方程為，
設(shè)上的點(diǎn)，則
，
所以切線長為，
所以切線長的最大值為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查與橢圓有關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查數(shù)形結(jié)合的思想.
反思提升：
(1)利用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，要注意條件2a＞|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)應(yīng)用
①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1與eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ＞0)有相同的離心率.
②與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡便.
【考點(diǎn)3】橢圓的簡單幾何性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·山西太原·一模）設(shè)雙曲線（、均為正值）的漸近線的傾斜角為，且該雙曲線與橢圓的離心率之積為1，且有相同的焦距，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長的最小值為（）
A．8B．C．10D．
二、多選題
3．（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（）
A．B．橢圓的離心率為
C．是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)D．
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標(biāo)軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓繞著對稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即得“斜橢圓”，設(shè)在上，則（）
A．“斜橢圓”的焦點(diǎn)所在直線的方程為B．的離心率為
C．旋轉(zhuǎn)前的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為D．
三、填空題
5．（2025·黑龍江大慶·一模）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn).若，則橢圓的離心率為 .
6．（2023·廣西·一模）如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點(diǎn).，歷時(shí)m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點(diǎn)歷時(shí)n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則 .
參考答案：
1．C
【分析】運(yùn)用共焦點(diǎn)條件得到雙曲線中，由兩曲線的離心率之積為1得，再用轉(zhuǎn)化得到，進(jìn)而得到.
【詳解】由題意易得，在雙曲線中，即，
由于橢圓離心率為，且由兩曲線的離心率之積為1得.
，，，，又，
或，
故選：C.
2．C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得的周長為，結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析求解.
【詳解】橢圓的方程為，則，，，
連接，，
則由橢圓的中心對稱性可知，
可知為平行四邊形，則，
可得的周長為，
當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，AB取最小值，最小值為，
所以周長為．
故選：C.
3．ACD
【分析】根據(jù)題意，由橢圓的對稱性，求解頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得，再由橢圓的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，
得到橢圓的方程：，
設(shè)點(diǎn)Px,y在該橢圓上，則其關(guān)于的對稱點(diǎn)代入橢圓方程有
，即，則該對稱點(diǎn)位于橢圓方程上，
同理其關(guān)于的對稱點(diǎn)代入橢圓方程有
，即，則該對稱點(diǎn)位于橢圓方程上，
則關(guān)于對稱，
所以，故D正確；
將代入可得，
可得橢圓長軸的頂點(diǎn)為，所以，故A正確；
將代入可得，
可得橢圓長軸的頂點(diǎn)為，所以，
則，則，故B錯(cuò)誤；
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為或，所以C正確；
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵通過證明該非標(biāo)準(zhǔn)橢圓的對稱性，從而得到的值，再按照普通橢圓的定義計(jì)算即可，也可將該過程想象成坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn).
4．BCD
【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可聯(lián)立以及與橢圓方程，進(jìn)而可判斷焦點(diǎn)所在的直線，即可判斷A，根據(jù)直線與橢圓的交點(diǎn)間距離可求解長軸以及短軸長，即可求解BC，根據(jù)方程有解，利用判別式即可求解.
【詳解】由題意可知，斜橢圓關(guān)于和對稱，聯(lián)立直線與，可得，聯(lián)立直線與，可得，所以兩焦點(diǎn)所在直線方程為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可知，與相交的兩點(diǎn)之間距離等于短軸為，與相交的兩點(diǎn)之間距離等于長軸為，故焦距為，故的離心率為，選項(xiàng)正確；
旋轉(zhuǎn)不改變橢圓的長短軸大小，所以旋轉(zhuǎn)前的橢圓焦點(diǎn)在軸上，曲線方程為選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋P(guān)于的方程有解，所以，解得，所以選項(xiàng)正確，
故選：BCD．
5．
【分析】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，分析可知為平行四邊形，根據(jù)橢圓定義可得，利用余弦定理運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，連接，

由對稱性可知：，則為平行四邊形，
則，即，
因?yàn)?，則，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以橢圓的離心率為.
故答案為：.
6．/0.375
【分析】由離心率比求得長半軸與實(shí)半軸的比，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求兩種裝置中光線路程之比即得．
【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，雙曲線實(shí)軸長為，焦距，
由，
依次經(jīng)過與C的反射，又回到點(diǎn)F1，則有，，
兩式相減得，
將裝置中的去掉，則有，
所以
故答案為：．
反思提升：
1.求橢圓離心率或其范圍的方法
解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq \f(c,a)求解.
(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解.
(3)構(gòu)造a，c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.
2.利用橢圓幾何性質(zhì)求值域或范圍的思路
(1)將所求問題用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系.
(2)將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關(guān)系求范圍.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在軸上,的面積為,則的方程為（）
A．B．
C．D．
2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，焦距為，則該橢圓的方程為（）
A．B．
C．D．
3．（2024·福建泉州·二模）若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（）
A．B．C．或D．或
4．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）若動(dòng)直線始終與橢圓（且）有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若，則（）
A．C的焦距為2B．C的短軸長為
C．C的離心率為D．的周長為8
6．（2024·山東濰坊·二模）已知橢圓：的焦點(diǎn)分別為，，P為上一點(diǎn)，則（）
A．的焦距為B．的離心率為
C．的周長為D．面積的最大值為
7．（20-21高三上·江蘇南通·期末）嫦娥奔月是中華民族的千年夢想.2020年12月我國嫦娥五號“探月工程”首次實(shí)現(xiàn)從月球無人采樣返回.某校航天興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌道近月點(diǎn)制動(dòng)（俗稱“踩剎車”）后，以的速度進(jìn)入距離月球表面的環(huán)月圓形軌道（月球的球心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)），環(huán)繞周期為，已知遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球表面的最近距離為，則（）
A．圓形軌道的周長為
B．月球半徑為
C．近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為
D．橢圓軌道的離心率為
三、填空題
8．（2022·廣東佛山·三模）已知橢圓，、為的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則內(nèi)切圓半徑的最大值為．
9．（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為 .
10．（2023·貴州畢節(jié)·一模）勒洛三角形是分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形（如圖），已知橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個(gè)勒洛三角形，則該勒洛三角形的周長為．
四、解答題
11．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且的周長為8，的最大面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)，是否存在x軸上的定點(diǎn)P，使得的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
12．（2024·廣東梅州·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程：
(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線l：的距離的最大值．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)題意得到，, ,設(shè)，其它邊全部用t表示,運(yùn)用面積為構(gòu)造方程求出t.再用橢圓定義求出a,進(jìn)而求出c,b即可.
【詳解】如圖,為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),,又軸, 軸.
在中, ,設(shè),則的面積為,
,
,則C的方程為.
故選：D.
2．C
【分析】根據(jù)離心率和焦距可得，進(jìn)而可得，即可得方程.
【詳解】由題意可知：，可得，
則，所以該橢圓的方程為.
故選：C.
3．D
【分析】分焦點(diǎn)在軸或軸兩種情況，求橢圓的離心率，求解參數(shù)，再求橢圓的焦距.
【詳解】若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時(shí)焦距，
若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時(shí)焦距，
所以該橢圓的焦距為或.
故選：D
4．C
【分析】由直線方程得出直線過定點(diǎn)，再由直線與橢圓有公共點(diǎn)列出不等式，結(jié)合橢圓離心率公式計(jì)算即可．
【詳解】由直線得，直線過定點(diǎn)，
由題意得，點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)部，
所以，則，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，
所以，
故選：C．
5．ABD
【分析】根據(jù)以及橢圓的對稱性可得，進(jìn)而可求解，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】由于，所以,
故，
因此，故，
所以橢圓，
對于A，焦距為，故A正確，
對于B，短軸長為，B正確，
對于C，離心率為，C錯(cuò)誤，
對于D，的周長為，D正確，
故選：ABD
6．ABD
【分析】根據(jù)橢圓方程求出，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】設(shè)橢圓：的長軸長為，短軸長為，焦距為，
則，故，
所以的焦距為，故A正確；
的離心率為，故B正確；
的周長為，故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，
最大值為，故D正確.
故選：ABD.
7．BC
【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義和性質(zhì)分別求出各量即可判斷.
【詳解】由題，以的速度進(jìn)入距離月球表面的環(huán)月圓形軌道，環(huán)繞周期為，則可得環(huán)繞的圓形軌道周長為km，半徑為km，故A錯(cuò)誤；
則月球半徑為，故B正確；
則近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為，故C正確；
設(shè)橢圓方程為，則（為月球的半徑），
，故離心率為，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解橢圓的定義.
8．＃＃1.5
【分析】根據(jù)橢圓定義可得，結(jié)合內(nèi)切圓半徑，顯然當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時(shí)最大，即內(nèi)切圓半徑的最大，此時(shí)，代入求解．
【詳解】∵，則
∴的周長
∵內(nèi)切圓半徑，則內(nèi)切圓半徑的最大即為最大
顯然當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)
則
故答案為：．
9．
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和橢圓定義得到，再利用關(guān)系即可.
【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，則，
所以點(diǎn)的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓．
則，所以，
所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為．
故答案為：.
10．
【分析】根據(jù)給定條件，求出正三角形的邊長，再利用弧長計(jì)算公式計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個(gè)勒洛三角形，令其半焦距為c，
則點(diǎn)或或或?yàn)橐徽切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)，
于是得正三角形邊長為，顯然勒洛三角形三段圓弧長相等，所對圓心角為，
所以該勒洛三角形的周長為.
故答案為：
11．(1)或
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出即可得解；
（2）由題意可將原問題轉(zhuǎn)換為，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值即可.
【詳解】（1）∵的周長為8，的最大面積為，
∴，解得，或，．
∴橢圓C的方程為或等．
（2）

由（1）及易知F21,0，
不妨設(shè)直線MN的方程為：，，Mx1,y1，Nx2,y2，
聯(lián)立，得．
則，，
若的內(nèi)心在x軸上，則，
∴，即，即，
可得．
則，得，即．
當(dāng)直線MN垂直于x軸，即時(shí)，顯然點(diǎn)也是符合題意的點(diǎn)．
故在x軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在x軸上.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓的離心率可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；
（2）設(shè)與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離．
【詳解】（1）由橢圓的離心率為，可得，
可得，設(shè)橢圓的方程為：，，
又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，
解得，
所以橢圓的方程為：；
（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，
聯(lián)立，整理可得：，
，可得，則，
所以直線到直線的距離．
所以橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，，，動(dòng)點(diǎn)滿足與的斜率之積為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，且，的中點(diǎn)為，則（）
A．的軌跡方程為
B．的最小值為1
C．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為
D．若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倍
三、填空題
3．（2024·浙江杭州·二模）機(jī)場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時(shí)，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點(diǎn)時(shí)，橢圓的離心率等于．
四、解答題
4．（2024·山東淄博·二模）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的菱形的面積為4．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC，BD過原點(diǎn)O，設(shè)，滿足．
①求證：直線AB和直線BC的斜率之和為定值；
②求四邊形ABCD面積的最大值．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，求得的面積為，結(jié)合，求得，進(jìn)而得到，代入橢圓的方程，得到，轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】由橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0，可得，
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的定義知，
因?yàn)?，可得，即?br>可得，所以，
所以的面積為，可得，解得，
又因?yàn)?，可得，即?br>將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，整理得，
因?yàn)?，可得，即?br>解得和（舍去），即橢圓的離心率為.
故選：D.
2．BCD
【分析】根據(jù)求軌跡方程的方法即可求得選項(xiàng)A，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)可判斷選項(xiàng)C，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線與直線的關(guān)系，即可求出點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)Mx,y，因?yàn)锳-2,0，，所以，化簡得，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，則，，則，
所以為橢圓的右焦點(diǎn)，則，故B正確；
對于選項(xiàng)C，設(shè)的方程，代入橢圓方程，得，
設(shè)，則，，
所以，
令，則，
令，則，在為增函數(shù)，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即等號成立，故C正確；
對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，?br>所以，則，
設(shè)，則，則，
所以，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倍，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是利用面積公式得出面積表達(dá)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出最值；二是根據(jù)垂直平分得出點(diǎn)之間的關(guān)系.
3．/
【分析】依題意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出橢圓長軸長，作出圓錐的軸截面交橢圓于點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，利用三角形重心性質(zhì)和相似三角形求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得半短軸長，利用離心率定義計(jì)算即得.
【詳解】
如圖，設(shè),因,故，又,
由余弦定理，，
即,
設(shè)橢圓中心為,作圓錐的軸截面,與底面直徑交于，與橢圓交于，
連交于，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系.
則,又由得,
從而則得,
不妨設(shè)橢圓方程為，把和點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解得，
則，故
故答案為：.
4．(1)
(2)①證明見解析；②4
【分析】（1）根據(jù)題意，找出之間的關(guān)系式，列方程求解即可；
（2）①設(shè)出方程，直線與曲線聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及斜率公式求證即可；②結(jié)合①的信息，令，則，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和三角形面積公式,結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】（1）由題意，2ab=4，
又，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）如圖所示
①設(shè)直線AB的方程為，設(shè)
聯(lián)立，得
(*)
=
，，
整理得，
所以直線和直線的斜率之和為定值0．
②由①，不妨取，則
設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則
又，所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
．
即四邊形ABCD的面積的最大值為4．

【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，且，則的方程為（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·安徽合肥·三模）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則下列說法正確的是（）
A．過點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為8
B．若上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為
C．若直線與恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍為
D．若為上一點(diǎn)，，則的最小值為
三、填空題
3．（2021·河北張家口·三模）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若△是以為底邊的等腰三角形，且△外接圓的面積為，則橢圓的長軸長為 .
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，在、中分別利用正弦定理即可求出，從而得到，利用誘導(dǎo)公式求出，再在利用余弦定理表示出，即可求出，從而得解.
【詳解】因?yàn)榻咕酁?，即?br>因?yàn)?，又，所以，?br>在中由正弦定理，即，
在中由正弦定理，即，
因?yàn)椋裕?br>所以，又，所以，
又，所以，
所以，
在中，
解得或（舍去），
所以，
所以橢圓的方程為.
故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用正弦定理推導(dǎo)出，從而得到，再在中利用余弦定理求出.
2．BD
【分析】對于A：根據(jù)橢圓的定義結(jié)合焦點(diǎn)所在的位置分析判斷；對于B：分析可知當(dāng)位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，分類討論焦點(diǎn)所在位置分析求解；對于C：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，可知定點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，列式求解即可；對于D：設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)分析求解.
【詳解】對于選項(xiàng)A：由橢圓定義可得的周長為
，
但焦點(diǎn)不一定在軸上，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：若，則，
當(dāng)位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，
可知，即，
當(dāng)時(shí)，由，解得；
當(dāng)時(shí)，由，解得；
綜上所述：的取值范圍為，故B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，則，即，
又因?yàn)椋?，所以的取值范圍為，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：若，即橢圓，
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，故D正確．
故選：BD．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法
（1）數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解；
（2）構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解；
（3）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域．
3．
【分析】由外接圓面積求半徑，應(yīng)用正弦定理求△中的，結(jié)合已知有，根據(jù)中點(diǎn)弦，應(yīng)用點(diǎn)差法有即可求橢圓的長軸長.
【詳解】由△外接圓的面積為，則其外接圓半徑為.
∵△是以為底邊的等腰三角形，設(shè)，則，
∴，得，
∴或.
不妨設(shè)點(diǎn)在軸下方，由△是以為底邊的等腰三角形，知：或
又根據(jù)點(diǎn)差法可得，有，而此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，舍去)
∵為橢圓的右焦點(diǎn)，
∴，故橢圓的長軸長為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用外接圓的面積求半徑，由正弦定理、等腰三角形的性質(zhì)求相關(guān)直線斜率，應(yīng)用點(diǎn)差法列方程求橢圓參數(shù)a
成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2
題號
1
2
3
4
5
6

答案
A
B
B
A
B
A

題號
1
2
3
4

答案
D
C
ABD
BCD

題號
1
2
3
4

答案
D
D
ACD
ACD

題號
1
2
3
4

答案
C
C
ACD
BCD

題號
1
2
3
4
5
6
7

答案
D
C
D
C
ABD
ABD
BC

題號
1
2

答案
D
BCD

題號
1
2

答案
A
BD

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多