TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30557" 【題型1 求圓的方程】 PAGEREF _Tc30557 \h 3
\l "_Tc7632" 【題型2 二元二次方程表示圓的條件】 PAGEREF _Tc7632 \h 5
\l "_Tc28913" 【題型3 圓過定點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc28913 \h 6
\l "_Tc29200" 【題型4 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】 PAGEREF _Tc29200 \h 8
\l "_Tc21858" 【題型5 與圓有關(guān)的軌跡問題】 PAGEREF _Tc21858 \h 9
\l "_Tc13513" 【題型6 與圓有關(guān)的對稱問題】 PAGEREF _Tc13513 \h 11
\l "_Tc555" 【題型7 圓系方程】 PAGEREF _Tc555 \h 12
\l "_Tc53" 【題型8 與圓有關(guān)的最值問題】 PAGEREF _Tc53 \h 14
1、圓的方程
【知識點(diǎn)1 圓的定義和圓的方程】
1．圓的定義
圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長為半徑).
圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程 (r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.
(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此
在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3．圓的一般方程
(1)方程叫做圓的一般方程.
(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因
此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.
下列情況比較適用圓的一般方程：
①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；
②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線
方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).
4．二元二次方程與圓的方程
(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：
二元二次方程，對比圓的一般方程
，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.
(2)二元二次方程表示圓的條件：
二元二次方程表示圓的條件是.
5．圓的參數(shù)方程
圓 (r>0)的參數(shù)方程為，其中為參數(shù).
6．求圓的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.
【知識點(diǎn)2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】
1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.
(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為
.平面內(nèi)一點(diǎn).
【知識點(diǎn)3 軌跡方程】
1．軌跡方程
求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程.
(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).
(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.
2.求軌跡方程的步驟：
(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)列出關(guān)于x,y的方程；
(3)把方程化為最簡形式；
(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；
(5)作答.
【方法技巧與總結(jié)】
1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為.
2．圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.
3．圓心在任一弦的垂直平分線上.
【題型1 求圓的方程】
【例1】（2024·遼寧大連·一模）過點(diǎn)?1,1和1,3，且圓心在x軸上的圓的方程為（ ）
A．x2+y2=4B．x?22+y2=8
C．x?12+y2=5D．x?22+y2=10
【解題思路】借助待定系數(shù)法計(jì)算即可得.
【解答過程】令該圓圓心為a,0，半徑為r，則該圓方程為x?a2+y2=r2，
則有?1?a2+1=r21?a2+9=r2，解得a=2r=10，
故該圓方程為x?22+y2=10.
故選：D.
【變式1-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）圓心在射線y=34xx≤0上，半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為（ ）.
A．x2+y2?8x?6y=0
B．x2+y2?6x?8y=0
C．x2+y2+8x+6y=0
D．x2+y2+6x+8y=0
【解題思路】根據(jù)圓心在射線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到原點(diǎn)距離等于半徑求得圓心坐標(biāo)，即可求出圓的方程.
【解答過程】因?yàn)閳A心在射線y=34xx≤0上，故設(shè)圓心為a,34aa≤0，
又半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以a2+34a2=5，解得a=?4或a=4（舍去），
即圓的圓心坐標(biāo)為?4,?3，則圓的方程為x+42+y+32=25，
即x2+y2+8x+6y=0.
故選：C.
【變式1-2】（2024·北京·模擬預(yù)測）圓心為2,1且和x軸相切的圓的方程是( )
A．(x?2)2+(y?1)2=1B．(x+2)2+(y+1)2=1
C．(x?2)2+(y?1)2=5D．(x+2)2+(y+1)2=5
【解題思路】由題意先求出圓的半徑，再根據(jù)圓心坐標(biāo)，求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答過程】解：圓心為(2,1)且和x軸相切的圓，它的半徑為1，
故它的的方程是(x?2)2+(y?1)2=1，
故選：A．
【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，圓E與兩坐標(biāo)軸交于A,B,C,D四點(diǎn)，其中A?2,0,B0,?3，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸的正半軸上，圓E的內(nèi)接四邊形ABCD的面積為252，則圓E的方程為（ ）
A．x2+y2+x+43y=2
B．x2+y2?x+y=6
C．x2+y2?4x?y=12
D．x2+y2+12x+2y=3
【解題思路】根據(jù)題意幾何條件分別求出C、D坐標(biāo)，然后求出圓心E坐標(biāo)及半徑r，從而求解.
【解答過程】設(shè)Cc,0,D0,dc>0,d>0，則SABCD=12c+2d+3=252．
又因?yàn)镺A?OC=2c=OB?OD=3d，解得c=3,d=2（負(fù)值舍去），
因此圓心E12,?12,r2=132，圓E的方程為x?122+y+122=132，
即x2?x+y2+y=6，故B正確.
故選:B．
【題型2 二元二次方程表示圓的條件】
【例2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知曲線C的方程2x2+2y2+4x+8y+F=0，則“F≤10”是“曲線C是圓”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件、必要不充分條件的定義可得答案.
【解答過程】2x2+2y2+4x+8y+F=0，即x2+y2+2x+4y+F2=0，
∴曲線C是圓?22+42?4?F2>0?F?4.
故?40，
所以經(jīng)過A，B，C三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為x2+y2?2y=0，
即為x2+y?12=1.
故選：C.
2．（2024·浙江·一模）圓C:x2+y2?2x+4y=0的圓心C坐標(biāo)和半徑r分別為（ ）
A．C1,?2,r=5B．C1,?2,r=5
C．C?1,2,r=5D．C?1,2,r=5
【解題思路】將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.
【解答過程】圓C:x2+y2?2x+4y=0，即C:x?12+y+22=5，
它的圓心C坐標(biāo)和半徑r分別為C1,?2,r=5.
故選：A.
3．（2024·江西·模擬預(yù)測）若點(diǎn)1,1在圓x2+y2?x?a=0的外部，則a的取值范圍為（ ）
A．?14,1B．14,1C．?∞,1D．1,+∞
【解題思路】根據(jù)x2+y2?x?a=0表示圓得a>?14，又利用點(diǎn)在圓外得a0，所以a>?14．
又點(diǎn)1,1在圓x2+y2?x?a=0的外部，所以12+12?1?a>0，故a0,y

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