知識點01：空間向量的有關(guān)概念
1、空間向量的有關(guān)概念
（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．
（2）幾類特殊的空間向量
2、空間向量的表示
表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：
（1）幾何表示法：用有向線段 SKIPIF 1 < 0 來表示， SKIPIF 1 < 0 叫向量的起點， SKIPIF 1 < 0 叫向量的終點；
（2）字母表示法：用 SKIPIF 1 < 0 表示．向量 SKIPIF 1 < 0 的起點是 SKIPIF 1 < 0 ，終點是 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 也可以記作 SKIPIF 1 < 0 ，其模記為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 的棱中，與向量 SKIPIF 1 < 0 模相等的向量有______個.
【答案】7
【詳解】與 SKIPIF 1 < 0 模長相等的向量有： SKIPIF 1 < 0 共有7個.
故答案為：7
知識點02：空間向量的加法、減法運算
1、空間向量的位置：已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ，可以把它們平移到同一平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，以任意點 SKIPIF 1 < 0 為起點，作向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
2、空間向量的加法運算（首尾相接首尾連）：作向量 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的和．記作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
3、空間向量的減法運算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 差，記作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
4、空間向量的加法運算律
（1）加法交換律： SKIPIF 1 < 0
（2）加法結(jié)合律： SKIPIF 1 < 0
【即學(xué)即練2】（2023秋·浙江臺州·高二期末）如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A.
知識點03：空間向量的數(shù)乘運算
1、定義：與平面向量一樣，實數(shù) SKIPIF 1 < 0 與空間向量 SKIPIF 1 < 0 的乘積 SKIPIF 1 < 0 仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．
2：數(shù)乘向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系
3、對數(shù)乘向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系的進(jìn)一步理解：
（1）可以把向量 SKIPIF 1 < 0 模擴(kuò)大（當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時），也可縮小（當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時）；可以不改變向量 SKIPIF 1 < 0 的方向（當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時），也可以改變向量 SKIPIF 1 < 0 的方向（當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時）．
（2）實數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）實數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減，例如， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 沒有意義，無法運算．
【即學(xué)即練3】（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，已知四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，E為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 交于點M，則 SKIPIF 1 < 0 ＝________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由題可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因為M，E，F(xiàn)，G四點共面，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
知識點04：共線向量與共面向量
1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是共線向量，則記為 SKIPIF 1 < 0 ．
在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點：
（1）零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量不具有傳遞性，如 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 不一定成立，因為當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，雖然 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不一定與 SKIPIF 1 < 0 共線（特別注意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與任何向量共線）．
2、共線向量定理：對空間任意兩個向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的充要條件是存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
2.1共線向量定理推論：如果 SKIPIF 1 < 0 為經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 平行于已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 的直線,那么對于空間任一點 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上的充要條件是存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 ①，若在 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ，則①可以化作： SKIPIF 1 < 0
2.2拓展(高頻考點）：對于直線外任意點 SKIPIF 1 < 0 ，空間中三點 SKIPIF 1 < 0 共線的充要條件是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果兩個向量 SKIPIF 1 < 0 不共線，那么向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
3.2空間共面向量的表示
如圖空間一點 SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
或者等價于：對空間任意一點 SKIPIF 1 < 0 ，空間一點 SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)（ SKIPIF 1 < 0 四點共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，該式稱為空間平面 SKIPIF 1 < 0 的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
3.3拓展
對于空間任意一點 SKIPIF 1 < 0 ，四點 SKIPIF 1 < 0 共面（其中 SKIPIF 1 < 0 不共線）的充要條件是 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）．
【即學(xué)即練4】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為空間任意一點， SKIPIF 1 < 0 四點共面，但任意三點不共線．如果 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】A
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 為空間任意一點， SKIPIF 1 < 0 滿足任意三點不共線，且四點共面，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
題型01 空間向量的有關(guān)概念
【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（ ）
A．與 SKIPIF 1 < 0 共面的單位向量有無數(shù)個
B．與 SKIPIF 1 < 0 垂直的單位向量有無數(shù)個
C．與 SKIPIF 1 < 0 平行的單位向量只有一個
D．與 SKIPIF 1 < 0 同向的單位向量只有一個
【答案】C
【詳解】解：與 SKIPIF 1 < 0 共面的單位向量，方向可任意，所以有無數(shù)個，故A正確；
與 SKIPIF 1 < 0 垂直的單位向量，方向可任意，所以有無數(shù)個，故B正確；
與 SKIPIF 1 < 0 平行的單位向量，方向有兩個方向，故不唯一，故C錯誤；
與 SKIPIF 1 < 0 同向的單位向量，方向唯一，故只有一個，故D正確．故選：C．
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；②若空間向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；③在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，必有 SKIPIF 1 < 0 ；④若空間向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．其中正確的個數(shù)為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】對于①，當(dāng)兩個空間向量起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，它們的起點和終點都不一定相同，①錯誤；
對于②，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的方向不一定相同，②錯誤；
對于③，根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，模也相等，則 SKIPIF 1 < 0 ，③正確；
對于④，由向量相等關(guān)系可知 SKIPIF 1 < 0 ，④正確．故選：C.
【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）下列命題中為真命題的是（ ）
A．空間向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
【答案】A
【詳解】對于A，因為空間向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互為相反向量，所以空間向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的長度相等，所以A正確，
對于B，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，所以B錯誤，
對于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤，
對于D，兩個空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的模相等，所以D錯誤，故選：A
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知 SKIPIF 1 < 0 為平行六面體，若以此平行六面體的頂點為向量的起點、終點，求：
（1）與 SKIPIF 1 < 0 相等的向量；
（2）與 SKIPIF 1 < 0 相反的向量；
（3）與 SKIPIF 1 < 0 平行的向量．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）∵平行六面體是棱柱，∴側(cè)棱都平行且相等，
∴與 SKIPIF 1 < 0 相等的向量為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）連接 SKIPIF 1 < 0 ，由平行六面體的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 相反的向量為 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 ，由平行六面體的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 平行的向量為 SKIPIF 1 < 0 ．
題型02 空間向量加減運算及幾何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）已知在空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，故G為CD的中點，如圖，
由平行四邊形法則可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）正方體 SKIPIF 1 < 0 中，化簡 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
【變式1】（2023春·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在長方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為長方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
【變式2】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 故選：D
題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 都是平行四邊形且不共面， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 的中點，判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是否共線？
【答案】共線.
【詳解】因為M?N分別是AC?BF的中點，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線.
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在體對角線 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線．
【答案】證明見解析
【詳解】證明： 連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線．
題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數(shù)）
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一個基底，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選：C
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是兩個不共線的空間向量，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /0.4
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵A，C，D三點共線，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是空間兩個不共線的非零向量，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且A， B， D三點共線，求實數(shù)k的值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，
又A， B， D三點共線，于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 不共線，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以實數(shù)k的值是 SKIPIF 1 < 0 .
【變式2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚中高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是空間中兩個不共線的向量，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 三點共線，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ______．．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三點共線， SKIPIF 1 < 0 存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）
【典例1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二井岡山大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）空間四點 SKIPIF 1 < 0 及空間任意一點 SKIPIF 1 < 0 ，由下列條件一定可以得出 SKIPIF 1 < 0 四點共面的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【詳解】對A： SKIPIF 1 < 0 ，定有 SKIPIF 1 < 0 共面，且有公共頂點 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 四點共面，故A正確；
對B： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 四點不共面，故B錯誤；
對C： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 三點共線，則 SKIPIF 1 < 0 四點一定共面，故C正確；
對D： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 四點一定共面，故D正確.
故選：ACD.
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)空間任意一點 SKIPIF 1 < 0 和不共線的三點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若點 SKIPIF 1 < 0 滿足向量關(guān)系 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），試問： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點是否共面？
【答案】共面
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點共面．理由如下： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點不共線，可知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不共線，
由共面定理可知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點共面．
【變式1】（2023春·高一課時練習(xí)）下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】對于A選項， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點不共面；
對于B選項， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點不共面；
對于C選項， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點不共面；
對于D選項， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,所以點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共面.
故選：D.
【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 是不共面向量， SKIPIF 1 < 0 ，證明這三個向量共面.
【答案】證明見解析
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 是不共面向量，得 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不共線，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以這三個向量共面.
題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數(shù)）
【典例1】（2023春·高一課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 三點不共線， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外任意一點，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 四點共面的充要條件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 四點共面的充要條件是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A.
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為空間中一點， SKIPIF 1 < 0 四點共面且任意三點不共線，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】依題意， SKIPIF 1 < 0 四點共面且任意三點不共線，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖,平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的小方格均為正方形,點 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的一點, SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 外一點,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】由題知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點共面,根據(jù)平面向量基本定理,
不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故選:B
【變式2】（2023秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末） SKIPIF 1 < 0 是空間向量的一組基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知點 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，則 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】3
【詳解】因為點 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，所以存在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 .故答案為:3.
題型07空間向量共面（推論及其應(yīng)用）
【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 三點不共線， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外任意一點，若由 SKIPIF 1 < 0 確定的一點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 三點共面，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 三點共面以及 SKIPIF 1 < 0 ，可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
【典例2】（2023春·高一課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為空間中任意一點， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 是空間任意一點， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四點滿足任三點均不共線，但四點共面，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 x= SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點睛】方法點睛：設(shè) SKIPIF 1 < 0 是平面上任一點， SKIPIF 1 < 0 是平面上的三點， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不共線），則 SKIPIF 1 < 0 三點共線 SKIPIF 1 < 0 ，把此結(jié)論類比到空間上就是： SKIPIF 1 < 0 不共面，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 四點共面 SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，M是平面ABC上一點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為M是平面ABC上一點，即 SKIPIF 1 < 0 四點共面，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故選：B.
【變式2】（2022秋·江西撫州·高二江西省臨川第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 確定的平面內(nèi)， SKIPIF 1 < 0 是空間任意一點，實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】A
【詳解】由題意因為 SKIPIF 1 < 0 四點共面且平面唯一確定， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A
題型08空間向量數(shù)乘運算及幾何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方體 SKIPIF 1 < 0 ，點E是 SKIPIF 1 < 0 的中點，點F是 SKIPIF 1 < 0 的三等分點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】如圖所示，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故選：D．
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 為空間的9個點，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
求證：（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【詳解】證明：（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023春·云南迪慶·高二迪慶藏族自治州民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，D是四邊形 SKIPIF 1 < 0 的中心，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
【變式2】（2023秋·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谄叫辛骟w SKIPIF 1 < 0 中，點M滿足 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則下列向量中與 SKIPIF 1 < 0 相等的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
由點M滿足 SKIPIF 1 < 0 ，所以M為 SKIPIF 1 < 0 中點，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以M為 SKIPIF 1 < 0 中點,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：C
1.1.1空間向量及其線性運算
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·高二課時練習(xí)）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 不共線時， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系是（ ）
A．共面B．不共面C．共線D．無法確定
【答案】A
【詳解】根據(jù)平行四邊形法則可得，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為鄰邊，則可得平行四邊形的兩條對角線對應(yīng)的向量分別為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共面.故選：A.
2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在長方體 SKIPIF 1 < 0 中，化簡 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】由長方體的結(jié)構(gòu)特征，有 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .故選：B
3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┤鐖D，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】G是CD的中點,所以 SKIPIF 1 < 0 故選：A.
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學(xué)?？计谀┮阎陂L方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．2C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】依題知， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故選：C.
5．（2023秋·山東威海·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，點E滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 確定的平面內(nèi)， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外任意一點，實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】D
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 確定的平面內(nèi)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的有最小值2．故選：D
7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為空間任一點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點滿足任意三點不共線，但四點共面，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點滿足任意三點不共線，但四點共面， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故選：B．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點，過 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 分別交棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （不同于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的動點，則下列命題錯誤的是（ ）
A．存在平面 SKIPIF 1 < 0 和點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．存在平面 SKIPIF 1 < 0 和點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．對任意的平面 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 平分線段 SKIPIF 1 < 0
D．對任意的平面 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 平分線段 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】對于A選項，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，A對；
對于B選項，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，B對；
對于C選項，取 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四點共面，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線，即 SKIPIF 1 < 0 的中點在 SKIPIF 1 < 0 上，即線段 SKIPIF 1 < 0 平分線段 SKIPIF 1 < 0 ，C對；對于D選項，若線段 SKIPIF 1 < 0 平分線段 SKIPIF 1 < 0 ，又因為線段 SKIPIF 1 < 0 平分線段 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，事實上，四邊形 SKIPIF 1 < 0 不一定為平行四邊形，故假設(shè)不成立，D錯.故選：D.
二、多選題
9．（2023春·高二課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（ ）
A．空間的任意三個向量都不共面
B．空間的任意兩個向量都共面
C．三個向量共面，即它們所在的直線共面
D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面
【答案】ACD
【詳解】A.如圖所示： ， SKIPIF 1 < 0 三個向量共面，故錯誤；
B.由相等向量知：通過平移，兩個向量的起點總可以在同一點，故兩個向量都共面，故正確；
C.如圖所示：，在正方體中 SKIPIF 1 < 0 三個向量共面，但它們所在的直線不共面，故錯誤；
D. 如圖所示：，在正方體中 SKIPIF 1 < 0 三向量兩兩共面，但這三個向量一定共面，故錯誤；
故選：ACD
10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 共線的必要條件
C． SKIPIF 1 < 0 三點不共線，對空間任一點 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 四點共面
D．若 SKIPIF 1 < 0 為空間四點，且有 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不共線），則 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 三點共線的充要條件
【答案】ACD
【詳解】對于A,由 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，則一定有 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
對于B，由 SKIPIF 1 < 0 反向共線，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正確；
對于C，由 SKIPIF 1 < 0 三點不共線，對空間任一點 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 四點共面，故C正確；
對于D,若 SKIPIF 1 < 0 為空間四點，且有 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不共線），
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 三點共線，反之也成立，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 三點共線的充要條件，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 是不共面向量， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 三個向量共面，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】4
【詳解】以 SKIPIF 1 < 0 為空間一組基底，由于 SKIPIF 1 < 0 三個向量共面，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
12．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任意一點，若由 SKIPIF 1 < 0 確定的一點P與A，B，C三點共面，則 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因為P，A，B，C四點共面，所以存在不全為0的 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
O是平面ABC外任意一點，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若A，B，C三點共線，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此時若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因為A，B，C三點不共線， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0
四、解答題
13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為空間的 SKIPIF 1 < 0 個點（如圖所示），并且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】證明見解析．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 無公共點，故 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，已知矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 外一點，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求滿足 SKIPIF 1 < 0 的實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1．（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為Q是 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因為M為PQ的中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故選：C.
2．（2023春·高二課時練習(xí)）已知長方體 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M是 SKIPIF 1 < 0 的中點，點P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【詳解】如圖所示，E，F(xiàn)，G，H，N分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，DA，AB的中點，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以動點P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部.又因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以點 SKIPIF 1 < 0 在側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為線段 SKIPIF 1 < 0 ，因為AB=AD=2， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
3．（2023春·高二課時練習(xí)）在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，則三角形 SKIPIF 1 < 0 周長最小值是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【詳解】根據(jù)題意，因為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以點 SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上.如圖所示，沿 SKIPIF 1 < 0 展開正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的側(cè)面，故三角形 SKIPIF 1 < 0 周長為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時，取等號.
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
C綜合素養(yǎng)
1．（多選）（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，P為空間一點，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，點P在棱 SKIPIF 1 < 0 上B．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，點P在棱 SKIPIF 1 < 0 上
C．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，點P在線段 SKIPIF 1 < 0 上D．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，點P在線段 SKIPIF 1 < 0 上
【答案】BCD
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即P在棱 SKIPIF 1 < 0 上，故A錯誤；
同理當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 ，故P在棱 SKIPIF 1 < 0 上，故B正確；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故點P在線段 SKIPIF 1 < 0 上，故C正確；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，故點 SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，故D正確．故選：BCD．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為__；若 SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為__．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：① SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
②連接 SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ．連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 點為 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 點為 SKIPIF 1 < 0 的中點．
延長 SKIPIF 1 < 0 交線段 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 任意作一個平面分別交線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 為定值，并求出該定值.
【答案】為定值4；證明見解析；
【詳解】聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于H，由題意，令 SKIPIF 1 < 0 為空間向量的一組基底，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
聯(lián)結(jié)DM，點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M共面，故存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
滿足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
由空間向量基本定理知， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，為定值.1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算
知識點01：空間兩個向量的夾角
1、定義：如圖已知兩個非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，在空間任取一點 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則么 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的夾角，記 SKIPIF 1 < 0 .（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）
2、范圍： SKIPIF 1 < 0 ．
特別地，（1）如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么向量 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，記作 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為非零向量)．
(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定 SKIPIF 1 < 0 與任何向量 SKIPIF 1 < 0 都是共線的，即 SKIPIF 1 < 0 ．兩非零向量的夾角是唯一確定的．
3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）
若兩個向量 SKIPIF 1 < 0 所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)向量夾角的范圍是0< SKIPIF 1 < 0 ，異面直線的夾角 SKIPIF 1 < 0 的范圍是0< SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0 ，
(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng)兩向量的夾角為 SKIPIF 1 < 0 時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時， SKIPIF 1 < 0 .
【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】根據(jù)向量的夾角公式， SKIPIF 1 < 0 ，由于向量夾角的范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0
知識點02：空間向量的數(shù)量積
1、定義：已知兩個非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量積，記作 SKIPIF 1 < 0 ；即 SKIPIF 1 < 0 ．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.
特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;
2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用
(1)利用公式 SKIPIF 1 < 0 可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題;
(2)利用公式 SKIPIF 1 < 0 可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;
3、向量 SKIPIF 1 < 0 的投影
3.1．如圖(1)，在空間，向量 SKIPIF 1 < 0 向向量 SKIPIF 1 < 0 投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量 SKIPIF 1 < 0 共線的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 稱為向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量．類似地，可以將向量 SKIPIF 1 < 0 向直線 SKIPIF 1 < 0 投影(如圖(2))．
3.2．如圖(3)，向量 SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 投影，就是分別由向量 SKIPIF 1 < 0 的起點 SKIPIF 1 < 0 和終點 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 稱為向量 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量．這時，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夾角就是向量 SKIPIF 1 < 0 所在直線與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．
4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量積等于 SKIPIF 1 < 0 的長度 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 的乘積或等于 SKIPIF 1 < 0 的長度 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 的乘積.
5、數(shù)量積的運算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 (交換律)．
（3） SKIPIF 1 < 0 (分配律).
【即學(xué)即練2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知在標(biāo)準(zhǔn)正交基 SKIPIF 1 < 0 下，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影為_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因為向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
知識點03：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)
（1） SKIPIF 1 < 0
（2）若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 同向，則 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 反向，則 SKIPIF 1 < 0 ．特別地， SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 .
題型01空間向量的數(shù)量積（求空間向量的數(shù)量積）
【典例1】（2023秋·福建福州·高二福建省福州銅盤中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，以頂點 SKIPIF 1 < 0 為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】由題意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,故選：B
【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /-0.25
【詳解】如圖所示，正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2023秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因為M是棱CD的中點，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】1
【詳解】由空間向量數(shù)量積的定義， SKIPIF 1 < 0 .故答案為：1
題型02空間向量的數(shù)量積（空間向量的數(shù)量積的最值或范圍）
【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為1， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 上的動點，則向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影數(shù)量的取值范圍為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由已知E為棱 SKIPIF 1 < 0 上的動點，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上投影數(shù)量為 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上投影的數(shù)量的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 故答案為： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /-0.125
【詳解】連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
因 SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 平面ABC，則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PAB，
則 SKIPIF 1 < 0 平面PAB，又 SKIPIF 1 < 0 平面PAB，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
因M是AC的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取“=”，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2023秋·湖北黃石·高二校聯(lián)考期末）已知正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 的邊長為2，M是空間中任意一點，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】解：設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點為 SKIPIF 1 < 0 ,連接 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重合時， SKIPIF 1 < 0 取最小值0.此時 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A
題型03利用數(shù)量積求夾角
【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選：D．
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，以頂點 SKIPIF 1 < 0 為端點的三條邊的長度都為1，且兩兩夾角為60°.求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正四面體 SKIPIF 1 < 0 (所有棱長均相等)的棱長為1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是正四面體 SKIPIF 1 < 0 中各棱的中點，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，試采用向量法解決下列問題：
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的模長；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夾角.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)90°.
【詳解】（1）因為E，F(xiàn)，G是中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
因為正四面體所有棱長為1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夾角為90°.
【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夾角都為 SKIPIF 1 < 0 求：
（1） SKIPIF 1 < 0 的長；
（2） SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 所以對角線 SKIPIF 1 < 0 的長為： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
題型04空間向量的投影（投影向量）
【典例1】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D．
【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正方體 SKIPIF 1 < 0 中，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正方體 SKIPIF 1 < 0 中向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模是 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量等于____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型05空間向量中的模（距離，長度）
【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩兩的夾角均為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故選：B．
【典例2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C．6D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為單位向量，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知長方體 SKIPIF 1 < 0 的底面是邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正方形，若 SKIPIF 1 < 0 ，則該長方體的外接球的表面積為________；記 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 方向上的單位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)）的最小值為________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
.【詳解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以該長方體的外接球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，所以該長方體的外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的方向相同或與 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，由平面向量基本定理可得 SKIPIF 1 < 0 必與 SKIPIF 1 < 0 共面，
在平面 SKIPIF 1 < 0 上取一點 SKIPIF 1 < 0 ，故可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以其最小值為點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2023春·高一課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】C
【詳解】由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2，且 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即線段 SKIPIF 1 < 0 的長度是 SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
題型06利用數(shù)量積證明垂直問題
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為2，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，點 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點.
(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，并求出 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2)證明見解析
【詳解】（1）因為點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0
因為點 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因為正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點.求證：

(1) SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)證明見解析 (2)證明見解析
【詳解】（1）正方體 SKIPIF 1 < 0 中，四邊形ABCD是正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，所以， SKIPIF 1 < 0 .
又因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 中，E，F(xiàn)分別為AB，BC中點，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）正方體 SKIPIF 1 < 0 中，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
又F、M分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中點，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .①
正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .②
由①②及 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2022秋·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為1的菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求線段 SKIPIF 1 < 0 的長；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)證明見解析
【詳解】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故線段 SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 .
【變式2】（2022秋·河南周口·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的夾角；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)60° (2)證明見解析
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由于正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為a，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為60°．
（2）證明：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
題型07重點方法篇（利用極化恒等式求數(shù)量積最值）
【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面邊長 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是長方體表面上一點，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 中點時， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的最大值為體對角線的一半 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .故選：B.
【典例2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知球 SKIPIF 1 < 0 是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球， SKIPIF 1 < 0 為球 SKIPIF 1 < 0 的一條直徑，點 SKIPIF 1 < 0 為正四面體表面上的一個動點，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為_______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
如圖所示，在邊長為1的正四面體 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè)四面體內(nèi)切球球心為 SKIPIF 1 < 0 ，內(nèi)切球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中點為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為點P為正四面體表面上的一個動點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 為球O的一條直徑，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為: SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點 SKIPIF 1 < 0 在正方體的棱上運動，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0
【答案】C
【詳解】如圖， SKIPIF 1 < 0 是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，即正方體的一條體對角線，
由正方體的特征可得其外接球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè)外接球球心為O，則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
由于點M在正方體的棱上運動,故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為球心O和棱的中點連線的長，
即為正方體面對角線的一半，為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，故選：C
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023春·高二課時練習(xí)）在正四面體ABCD中， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角等于（ ）
A．30°B．60°C．150°D．120°
【答案】D
【詳解】由正四面體每個面都是正三角形可知， SKIPIF 1 < 0 故選：D
2．（2023春·高二課時練習(xí)）平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A．10B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】如圖，

由題知， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 .故選：B
3．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正四面體 SKIPIF 1 < 0 中，棱長為1，且D為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】如圖，因為D為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由正四面體得性質(zhì)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為60°，同理 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為60°， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故選：D.
4．（2023秋·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末）在空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．不確定
【答案】B
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，利用空間向量的數(shù)量積運算律求解.
【詳解】令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .故選：B
5．（2023春·高二課時練習(xí)）已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 兩兩夾角均為 SKIPIF 1 < 0 ，其模均為1，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故選：B
6．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）

A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【詳解】
連接 SKIPIF 1 < 0 ，由棱柱性質(zhì)，側(cè)棱 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .故選：C
7．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┰诳臻g，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為單位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù)k的值為（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
【答案】B
【詳解】由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即2k－12＝0，得k＝6.故選：B.
8．（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D．
二、多選題
9．（2023秋·河北邢臺·高二邢臺一中?？计谀┤鐖D，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 .設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 故A錯誤；
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯誤；
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確.故選：BD.
10．（2023春·高二課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為正方體，則下列說法正確的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ；
B． SKIPIF 1 < 0 ；
C． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ；
D．在面對角線中與直線 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0 的有8條
【答案】ABD
【詳解】如圖所示：
A. 由向量的加法運算得 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正確；
B. 正方體的性質(zhì)易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正確；
C. 因為 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，故錯誤；
D. 由正方體的性質(zhì)得過 SKIPIF 1 < 0 的面對角線與直線 SKIPIF 1 < 0 所成的角都為 SKIPIF 1 < 0 ，這樣有4條，然后相對側(cè)面與之平行的對角線還有4條，共8條，故正確；
故選：ABD
三、填空題
11．（2023秋·湖南衡陽·高二校考期末）如圖，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，同理可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【詳解】
向量的拆分， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可得， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0
四、解答題
13．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.試確定 SKIPIF 1 < 0 在直線AB上的投影向量，并求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為： SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023春·高二課時練習(xí)）已知：如圖，OB是平面α的斜線，O為斜足， SKIPIF 1 < 0 ，A為垂足， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】證明見解析
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 2B． SKIPIF 1 < 0 3C． SKIPIF 1 < 0 1D．0
【答案】A
【詳解】由題意可得正方體外接球的直徑 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)點O為正方體外接球的球心，則O為AB的中點， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故選︰A．
2．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖已知矩形 SKIPIF 1 < 0 ，沿對角線 SKIPIF 1 < 0 將 SKIPIF 1 < 0 折起，當(dāng)二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 時，則B與D之間距離為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】解：過 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分別作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間距離為 SKIPIF 1 < 0 ，故選：C．
3．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，設(shè) SKIPIF 1 < 0 .
(1)試用向量 SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）因為點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)確定 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量，并求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)確定 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量，并求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為：
SKIPIF 1 < 0 ，
由數(shù)量積的幾何意義可得： SKIPIF 1 < 0 .
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·江蘇南京·高二南京市人民中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 各棱的棱長是1，點 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故選：B
2．（多選）（2023春·高二課時練習(xí)）在三維空間中，定義向量的外積： SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成右手系（即三個向量的方向依次與右手的拇指?食指?中指的指向一致，如圖所示）；② SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夾角）.在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，有以下四個結(jié)論，正確的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線D． SKIPIF 1 < 0 與正方體體積數(shù)值相等
【答案】ACD
【詳解】設(shè)正方體棱長為1，
對于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 對；對于 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成右手系知， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 方向相反，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 錯；對于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由右手系知， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線，所以 SKIPIF 1 < 0 對；
對于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正方體體積為1，所以 SKIPIF 1 < 0 對．故選： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023春·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？计谥校┰诳臻g中， SKIPIF 1 < 0 是一個定點， SKIPIF 1 < 0 給定的三個不共面的向量，且它們兩兩之間的夾角都是銳角.若向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則滿足題意的點 SKIPIF 1 < 0 的個數(shù)為__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故點 SKIPIF 1 < 0 在與 SKIPIF 1 < 0 垂直，且到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 的平面上，共兩個平面；
同理得到：故點 SKIPIF 1 < 0 在與 SKIPIF 1 < 0 垂直，且到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 的平面上，共兩個平面；
故點 SKIPIF 1 < 0 在與 SKIPIF 1 < 0 垂直，且到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 的平面上，共兩個平面.
SKIPIF 1 < 0 個兩兩平行的平面共有 SKIPIF 1 < 0 個交點，故滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 個.故答案為： SKIPIF 1 < 0
4．（2023春·四川涼山·高二寧南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，圓柱的高為5．若點D在圓柱表面上運動，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則點D的軌跡所圍成圖形的面積為________．
【答案】10
【詳解】作母線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 共面， SKIPIF 1 < 0 是圓柱的一個截面，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
矩形 SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 點軌跡， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以矩形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：10.
5．（2023春·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行六面體 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形，且 SKIPIF 1 < 0 .當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的值為______時，能使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】1
【詳解】解：如圖所示：
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
因此當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，能使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .故答案為：1
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論.
②會進(jìn)行空間向量的線性運算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運算.
1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運算、數(shù)量積的運算、夾角的相關(guān)運算及空間距離的求解.
2．利用空間向量的相關(guān)定理及推論進(jìn)行空間向量共線、共面的判斷.
名稱
定義及表示
零向量
長度為0的向量叫做零向量，記為 SKIPIF 1 < 0
單位向量
模為1的向量稱為單位向量
相反向量
與向量 SKIPIF 1 < 0 長度相等而方向相反的向量，稱為 SKIPIF 1 < 0 的相反向量，記為 SKIPIF 1 < 0
相等向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量
SKIPIF 1 < 0 的范圍
SKIPIF 1 < 0 的方向
SKIPIF 1 < 0 的模
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相同
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其方向是任意的
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相反
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①會進(jìn)行空間向量的線性運算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運算.
1、掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
2、掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
3、了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．
4、能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強化數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.1 空間向量及其運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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