人教A版高中數(shù)學（選擇性必修第一冊）同步講義+題型講解第十二講第一章空間向量與立體幾何測評卷（提高卷）（原卷版+教師版）-試卷下載-教習網(wǎng)

第一章空間向量與立體幾何章節(jié)驗收測評卷(提高卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1．（2023春·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知直線 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （????） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C 【詳解】由題可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以可設 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：C. 2．（2023春·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面為正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，則點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離是（????） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D 【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離是 SKIPIF 1 < 0 .故選：D. 3．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在正四面體 SKIPIF 1 < 0 中，過點 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 點，點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （????） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】B 【詳解】由題知，在正四面體 SKIPIF 1 < 0 中，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中心，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 . ?? 故選：B 4．（2023·全國·高三專題練習）在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在鱉臑 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為（????） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C 【詳解】分別以直線 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量，由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，取平面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量 SKIPIF 1 < 0 ，設二面角 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故選:C 5．（2023春·四川成都·高二成都外國語學校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 為矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則面 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為（????） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D 【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，以點 SKIPIF 1 < 0 為坐標原點， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，設平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此，面 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D. 6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）已知在長方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在線段 SKIPIF 1 < 0 上取點M，在 SKIPIF 1 < 0 上取點N，使得直線 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則線段MN長度的最小值為（????） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D 【詳解】解：如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸建立空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設平面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的長度的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．故選：D． ?? 7．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 為菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的動點，則下列結論錯誤的是（????） A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的最小值為 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 【答案】A 【詳解】如圖，取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，由題意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 , 又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為原點， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立空間直角坐標系，由題意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，設面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，設面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，選項A，因為 SKIPIF 1 < 0 ，不恒為0，故選項A錯誤；選項B，由題意， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 距離相等，從而 SKIPIF 1 < 0 ，所以選項B正確；選項C，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故選項C正確；選項D，由題意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項D正確. 故選：A. 8．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，棱長為2的側棱 SKIPIF 1 < 0 垂直底面邊長為2的正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，過直線 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 分別與側棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時，截面 SKIPIF 1 < 0 的面積為（????） A． SKIPIF 1 < 0 B．2 C． SKIPIF 1 < 0 D．3 【答案】A 【詳解】由題意， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，如圖，建立空間直角坐標系D-xyz， ?? 則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，由題意， SKIPIF 1 < 0 四點共面，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以截面 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 .故選：A 二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.） 9．（2023春·山西晉中·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則（????） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 【答案】AD 【詳解】以點 SKIPIF 1 < 0 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 . A選項，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正確. B選項，設平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不垂直，則直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 不平行， SKIPIF 1 < 0 錯誤. C選項，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 . 因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 不垂直，矛盾，C錯誤. D選項， SKIPIF 1 < 0 ，D正確. 故選：AD 10．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？家荒＃┤鐖D，在棱長為1的正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的動點，則下列說法正確的是（????） ?? A．不存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 B．存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 C．對于任意點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 D．對于任意點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是鈍角三角形【答案】ABC 【詳解】由題知，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的動點，建立以 SKIPIF 1 < 0 為原點，分別以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向為 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸的正方向的空間直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 . 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，顯然方程組無解，所以不存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，即不存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故A項正確；當 SKIPIF 1 < 0 時，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B項正確；因為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以點Q到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，故C項正確；因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以三角形為 SKIPIF 1 < 0 直角三角形或鈍角三角形，故D項錯誤. ?? 故選：ABC 11．（2023春·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習）已知四面體 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心為 SKIPIF 1 < 0 ，內切球球心為 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上的動點，實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，實數(shù)a，b，c，d滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法正確的是（????） A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 【答案】ABCD 【詳解】根據(jù)空間向量“奔馳定理”可知， SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 四面體 SKIPIF 1 < 0 的內切球球心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，如圖， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；因為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是有公共斜邊的直角三角形，斜邊 SKIPIF 1 < 0 的中點到頂點 SKIPIF 1 < 0 的距離都相等，且為 SKIPIF 1 < 0 ，所以四面體 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心為 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確； ?? 因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確； ?? 因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，因為面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確.故選：ABCD 12．（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學?？计谥校┤鐖D，邊長為4的正方形 SKIPIF 1 < 0 是圓柱的軸截面，點 SKIPIF 1 < 0 為圓弧 SKIPIF 1 < 0 上一動點（點 SKIPIF 1 < 0 與點 SKIPIF 1 < 0 不重合） SKIPIF 1 < 0 ，則（????） A．存在 SKIPIF 1 < 0 值，使得 SKIPIF 1 < 0 B．三棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 C．當 SKIPIF 1 < 0 時，異面直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 D．當直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最大時，平面 SKIPIF 1 < 0 截四棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的截面面積為 SKIPIF 1 < 0 【答案】BCD 【詳解】對于 SKIPIF 1 < 0 選項，由題意知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，不成立，故 SKIPIF 1 < 0 不正確；對于 SKIPIF 1 < 0 選項，在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 半圓面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高，當點 SKIPIF 1 < 0 是半圓弧 SKIPIF 1 < 0 的中點時，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面積 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積取得最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項B正確；對于選項C：當 SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，以 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 為原點，以 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故異面直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 正確；對于 SKIPIF 1 < 0 選項，取 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，由題意知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內的射影，則 SKIPIF 1 < 0 為直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當且僅當 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時取等號，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成最大角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 為正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以點 SKIPIF 1 < 0 為四棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，因為 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以球心 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，設截面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，所以截面面積為 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確. 故選：BCD. 三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.） 13．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結構，是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.已知一個正八面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長都是2（如圖）， SKIPIF 1 < 0 分別為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 __________. ?? 【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0 【詳解】由題意，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又由正八面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長都是 SKIPIF 1 < 0 ，且各個面都是等邊三角形，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 . ?? 14．（2023·全國·高三專題練習）已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐標是__________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，【詳解】空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐標是 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 15．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 是側面 SKIPIF 1 < 0 上的動點，滿足 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 ，若該正方體的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離的最小值為__________. 【答案】 SKIPIF 1 < 0 【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，則 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 ，故點 SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上（點 SKIPIF 1 < 0 除外），點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離的最小值為異面直線 SKIPIF 1 < 0 之間的距離，如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為坐標原點建立空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ，符合題意，所以點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 . 16．（2022秋·北京·高二人大附中?？计谥校┯泻芏嗔Ⅲw圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種成兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長為 SKIPIF 1 < 0 的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得，這個正多面體的表面積為___________.若點E為線段BC上的動點，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為___________. 【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 【詳解】由題意得該幾何體有6個面為邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正方形，8個面為邊長為 SKIPIF 1 < 0 的等比三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，在原正方體中建立如圖所示的空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則直線DE與直線AF所成角的余弦值 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.） 17．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，底面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為2的正方形，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ． (1)求 SKIPIF 1 < 0 的長； (2)求點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【詳解】（1）如下圖所示，以 SKIPIF 1 < 0 為原點， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸建系. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . 容易看出，平面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量為 SKIPIF 1 < 0 .設平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 . 由題，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 . （2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . 則點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 . 18．（2023秋·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，底面ABCD為正方形， SKIPIF 1 < 0 ，M，N分別為AB，PC的中點． (1)求線段MN的長； (2)求PD與平面PMC所成角的正弦值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【詳解】（1）根據(jù)題意，分別以 SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸，以 SKIPIF 1 < 0 為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系：則 SKIPIF 1 < 0 N分別為PC的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （2）易得 SKIPIF 1 < 0 ，設平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；所以 SKIPIF 1 < 0 設直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即PD與平面PMC所成角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 19．（2023春·湖南湘潭·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點E，點F在線段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 . (1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ； (2)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的正弦值. 【答案】(1)見解析(2) SKIPIF 1 < 0 【詳解】（1）以 SKIPIF 1 < 0 為原點， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立空間直角坐標系，設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ?? 故 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 因此 SKIPIF 1 < 0 ，進而 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，??設平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，設平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ． 20．（2023秋·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為2的正方體 SKIPIF 1 < 0 中，E為AD中點． (1)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值； (2)探究線段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在點F，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，確定點F的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在，點 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上靠近點 SKIPIF 1 < 0 的三等分點見解析【詳解】（1）如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為原點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸建立空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角不超過 SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 （2）假設在線段 SKIPIF 1 < 0 上存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，此時點 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上靠近點 SKIPIF 1 < 0 的三等分點． 21．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學?？家荒＃┤鐖D，在八面體 SKIPIF 1 < 0 中，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是邊長為2的正方形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 與二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小都是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． (1)證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ； (2)設 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，是否在棱 SKIPIF 1 < 0 上存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離，若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在， SKIPIF 1 < 0 【詳解】（1）因為 SKIPIF 1 < 0 為正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ，又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 為二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ，如圖建立空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 . （2）由點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，設點 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量可以為 SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化簡得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以存在點 SKIPIF 1 < 0 滿足條件，且點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 . 22．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預測）已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，側面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，底面 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 中點， SKIPIF 1 < 0 . (1)求證：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ； (2)在線段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ？若不存在，請說明理由；若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的長度. 【答案】(1)證明見解析 (2)存在， SKIPIF 1 < 0 【詳解】（1）證明：因為側面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，底面 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，因為 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 . （2）解：假設存在點 SKIPIF 1 < 0 滿足題意，則由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 方向分別為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，設平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，設平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 取取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 . 則 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）. 故存在 SKIPIF 1 < 0 滿足題意.