1．空間向量的概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：向量的大?。?br>(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq \(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)幾類特殊的空間向量
2．空間向量的線性運(yùn)算
3．共線向量
(1)空間兩個向量共線的充要條件
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.
(2)直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量．
4．共面向量
(1)共面向量
如圖，如果表示向量a的有向線段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要條件
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
【題型1 空間向量概念的理解】
【方法點撥】
在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．
【例1】（2021秋?城關(guān)區(qū)校級期末）下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則與所在直線平行
B．向量、、共面即它們所在直線共面
C．空間任意兩個向量共面
D．若，則存在唯一的實數(shù)λ，使
【解題思路】A．若，，則與所在直線平行或重合；
B．向量、、共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面；
C．根據(jù)共面向量基本定理即可判斷出；
D．利用向量共線定理可知：若，則存在唯一的實數(shù)λ，使使或．
【解答過程】解：A．若，，則與所在直線平行或重合，因此不正確；
B．向量、、共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面，因此不正確；
C．根據(jù)共面向量基本定理可知：空間任意兩個向量共面，正確；
D．若，則存在唯一的實數(shù)λ，使使或，因此不正確．
綜上可知：只有C正確．
故選：C．
【變式1-1】（2021秋?西夏區(qū)校級月考）下列命題正確的是（ ）
A．若與共線，與共線，則與共線
B．向量共面就是它們所在的直線共面
C．零向量沒有確定的方向
D．若，則存在唯一的實數(shù)λ使得
【解題思路】從向量共線反例判斷A，共面向量定理判斷B，零向量的定義判斷C，共線向量定理判斷D．推出正確命題選項．
【解答過程】解：若與共線，與共線，則與共線，如果，與不共線，A不正確．
向量共面就是它們所在的直線共面，這是不正確的，三個向量所在直線可以互為異面直線．
零向量沒有確定的方向，滿足零向量的定義．
若，則存在唯一的實數(shù)λ使得，不正確，因為，存在這一條件．
故選：C．
【變式1-2】下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（ ）
A．若向量平行，則所在直線平行
B．若，則的長度相等而方向相同或相反
C．若向量滿足，則
D．相等向量其方向必相同
【解題思路】根據(jù)空間中任意兩個向量必然共面，可判斷A；根據(jù)相等向量和相反向量的定義，可判斷B；根據(jù)向量不能比較大小，可判斷C；根據(jù)相等向量的概念，可判斷D．
【解答過程】解：對于A，若向量平行，則所在直線平行或重合，故A錯誤；
若，則，的長度相等而方向不存在確定關(guān)系，故B錯誤；
向量不能比較大小，故C錯誤；
相等向量其方向必相同，故D正確．
故選：D．
【變式1-3】（2021秋?福建期中）給出下列命題：
①若空間向量
②空間任意兩個單位向量必相等
③若空間向量
④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
⑤向量（1，1，0）的模為；
其中假命題的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】在①中，向量與方向不一定相同；在②中，空間任意兩個單位向量的方向不一定相同；在③中，若空間向量，則向量與不一定相等；在④中，由向量相等的定義得必有；在⑤中，由模式的定義得向量（1，1，0）的模為．
【解答過程】解：在①中，若空間向量，向量與方向不一定相同，故①是假命題；
在②中，空間任意兩個單位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命題；
在③中，若空間向量，則向量與不一定相等，故③是假命題；
在④中，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定義得必有，故④是真命題；
在⑤中，由模式的定義得向量（1，1，0）的模為，故⑤是真命題．
故選：C．
【題型2 空間向量的加減運(yùn)算】
【方法點撥】
①巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．
②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．
【例2】（2021秋?東莞市期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法法則，即可求解．
【解答過程】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1為平行四面體，
∴．
故選：B．
【變式2-1】（2021秋?西城區(qū)校級期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解．
【解答過程】解：∵，
∴，
故選：C．
【變式2-2】（2021秋?潞州區(qū)校級期末）如圖，在空間四邊形P﹣ABC中，（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】直接利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果．
【解答過程】解：．
故選：A．
【變式2-3】（2021秋?大興區(qū)期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法法則，即可求解．
【解答過程】解：由題意可得，．
故選：C．
【題型3 空間向量的線性運(yùn)算】
【方法點撥】
①數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．
②明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識，巧妙利用線段的中點進(jìn)行解題．
【例3】（2021秋?金華期末）在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答過程】解：在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點；
所以，，
故；
故選：A．
【變式3-1】（2021秋?湖北期末）如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，，則（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算，空間向量基本定理求解即可．
【解答過程】解：∵，
∴

，
故選：A．
【變式3-2】（2021秋?光明區(qū)期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，，則（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】利用向量加法法則能求出結(jié)果．
【解答過程】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，，
則


．
故選：D．
【變式3-3】（2022春?海陵區(qū)校級期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)題意利用空間向量基本定理求解即可．
【解答過程】解：∵，，∴（），
∴，∴A錯誤；
∵，∴（），
所以，
故選：D．
【題型4 空間向量的線性運(yùn)算（求參數(shù)）】
【例4】（2022春?蕭縣校級月考）已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，PD上的點，且xyz，2，，則x+y+z的值為（ ）
A．B．C．1D．
【解題思路】由空間向量的線性運(yùn)算直接計算即可．
【解答過程】解：由題可知，，
所以，
所以，所以，
故選：B．
【變式4-1】（2021秋?重慶期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在棱BB1和DD1上，且BE，DF．若，則x+y+z＝（ ）
A．﹣1B．0C．D．
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量及其線性運(yùn)算法則，即可求解．
【解答過程】解：



，
，
即x＝﹣1，y＝1，z，
∴．
故選：D．
【變式4-2】（2021秋?溫州期末）如圖的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M在BB1上，點N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，則x+y+z＝（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】利用向量的三角形法則、向量的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
【解答過程】解：∵，，，
∴
，
∴x＝﹣1，y＝1，z，
∴x+y+z．
故選：B．
【變式4-3】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若abc，給出以下結(jié)論：
①a+b+c＝2；
②b；
③a＝1；
④a＝2c；
⑤a＝b．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算表示向量，可得各數(shù)值，逐一判斷即可．
【解答過程】解：如圖所示：


，
即a＝1，b，c，
所以a+b+c＝2，①正確，
b，②正確，
a＝1，③正確，
a＝2c，④正確，
a＝2b，⑤錯誤，
故選：D．
【題型5 向量共線的判定及應(yīng)用】
【方法點撥】
①判斷或證明兩向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ≠ SKIPIF 1 < 0 )共線，就是尋找實數(shù)λ，使 SKIPIF 1 < 0 ＝λ SKIPIF 1 < 0 成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達(dá)．
②判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數(shù)λ，使eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))；
【例5】（2022春?灣里區(qū)期中）已知非零向量，，且、、不共面．若，則x+y＝（ ）
A．﹣13B．﹣5C．8D．13
【解題思路】根據(jù)向量共線可得，從而可解方程組求出x，y，再求出x+y即可．
【解答過程】解：∵，，不共面，故，，可看作空間向量的一組基底，
∵，故存在λ≠0，使得，
即（x+1）82y3λ2λ4λ，
∴，解得：，
則x+y＝﹣5．
故選：B．
【變式5-1】（2021秋?鏡湖區(qū)校級期末）在四面體O﹣ABC中，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，若，則使G與M，N共線的x的值為（ ）
A．1B．2C．D．
【解題思路】由已知可得，．假設(shè)G與M，N共線，則存在實數(shù)λ使得，與比較可得．
【解答過程】解：，．
假設(shè)G與M，N共線，則存在實數(shù)λ使得，
與比較可得：，，
解得x＝1．
故選：A．
【變式5-2】（2022春?市中區(qū)校級月考）已知空間的一組基底，若與共線，則x+y的值為（ ）
A．2B．﹣2C．1D．0
【解題思路】根據(jù)與共線可得出，再根據(jù)為基底，從而根據(jù)空間向量基本定理可得出x+y的值．
【解答過程】解：因為與共線，空間的一組基底，
所以，
所以x+y＝0．
故選：D．
【變式5-3】（2021秋?鄒城市期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，．試運(yùn)用向量方法證明：E，F(xiàn)，B三點共線．
【解題思路】法一：分別求出，，根據(jù)共線向量的定義判斷即可；
法二：求出，結(jié)合EF∩FB＝F，從而證明E，F(xiàn)，B三點共線．
【解答過程】證明：【方法一】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，
連接EF，F(xiàn)B，A1B．因為，，
所以

；


，
顯然，，所以，
又EF∩FB＝F，所以E，F(xiàn)，B三點共線．
【方法二】證明：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，
連接EF，F(xiàn)B．由題意，，，
易得，
所以．又EF∩FB＝F，故E，F(xiàn)，B三點共線．
【題型6 向量共面的判定及應(yīng)用】
【方法點撥】
①若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))或eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→)) (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．
②證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．
【例6】（2022春?成都期中）已知M，A，B，C為空間中四點，任意三點不共線，且2xy，若M，A，B，C四點共面，則x+y的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解題思路】由共面向量定理能求出x+y．
【解答過程】解：M，A，B，C為空間中四點，任意三點不共線，
且2xy，M，A，B，C四點共面，
則由共面向量定理得：﹣2+x+y＝1．解得x+y＝3．
故選：D．
【變式6-1】（2022春?楊浦區(qū)校級期中）下列條件中，一定使空間四點P、A、B、C共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】要使空間中的P、A、B、C四點共面，只需滿足，且x+y+z＝1即可．
【解答過程】解：對于A選項，，（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3≠1，所以點P與A、B、C三點不共面；
對于B選項，，1+1+1＝3≠1，所以點P與A、B、C三點不共面；
對于C選項，，，所以點P與A、B、C三點不共面；
對于D選項，，，所以點P與A、B、C三點共面．
故選：D．
【變式6-2】（2022春?常州期中）對于空間任意一點O，若，則A，B，C，P四點（ ）
A．一定不共面B．一定共面
C．不一定共面D．與O點位置有關(guān)
【解題思路】由共面向量基本定理、空間向量基本定理即可得出．
【解答過程】解：∵，可得1，
∴四點P、A、B、C必共面．
故選：B．
【變式6-3】（2022春?海陵區(qū)校級月考）設(shè)A，B，C，D為空間中的四個點，則“”是“A，B，C，D四點共面”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)空間向量共面定理，結(jié)合充分條件，必要條件的定義判斷即可．
【解答過程】解：A，B，C，D為空間中的四個點，
①當(dāng)時，則A，B，C，D四點共面，
②當(dāng)A，B，C，D四點中有三點共線時，滿足A，B，C，D四點共面，但不滿足，
∴是A，B，C，D四點共面的充分不必要條件，
故選：A． 名稱
定義及表示
零向量
長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量
模為1的向量稱為單位向量
相反向量
與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為 －a
共線向量(平行向量)
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量
空間向量的線性運(yùn)算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
減法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
數(shù)乘
當(dāng)λ>0時，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
當(dāng)λ

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