人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修第一冊）同步講義+題型講解第08講拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法（原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問題）一、知識點(diǎn)歸納 1、定義法在二面角的棱上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角. 2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直. 三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直. 具體操作步驟（如圖在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中）求二面角 SKIPIF 1 < 0 ： ①第一垂：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 引垂線 SKIPIF 1 < 0 （一般是找+證，證明 SKIPIF 1 < 0 ） ②第二垂：在平面 SKIPIF 1 < 0 中，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足為 SKIPIF 1 < 0 ③第三垂：連接 SKIPIF 1 < 0 （解答題需證明 SKIPIF 1 < 0 ） 3、射影面積法（ SKIPIF 1 < 0 ）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（ SKIPIF 1 < 0 ）求出二面角的大小. 4、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角， SKIPIF 1 < 0 . 若 SKIPIF 1 < 0 分別為面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量 ① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則 SKIPIF 1 < 0 ；若二面角為鈍二面角（取負(fù)），則 SKIPIF 1 < 0 ；題型01利用定義法求二面角（定值）【典例1】假設(shè) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在平面外一點(diǎn)，而 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是邊長為2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 ，那么二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為（????） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】如圖，已知正方體 SKIPIF 1 < 0 ． (1)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值的大??； (2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值的大小．【變式1】在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小是（????） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【變式2】如圖，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中， (1)求異面直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大??； (2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小. 題型02利用三垂線法求二面角（定值）【典例1】如圖，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .則二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為_____. 【典例2】已知正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為1． (1)求異面直線 SKIPIF 1 < 0 與AC所成角的大?。?(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．【變式1】已知如圖邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正方形 SKIPIF 1 < 0 外有一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小的正切值______．【變式2】直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ?? (1)求證： SKIPIF 1 < 0 ； (2)若四棱柱體積為36，求二面角 SKIPIF 1 < 0 大小的正切值題型03利用面積投影法求二面角（定值）【典例1】如圖 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所在平面垂直，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為_______. 【典例2】已知長方體 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為1的正方形，側(cè)棱 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 分別交棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 面積的最小值為________. 【變式1】 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的射影是 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 的面積為S，它和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的一個(gè)二面角的大小為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為銳角），則 SKIPIF 1 < 0 的面積是__________．【變式2】直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的斜邊在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，兩條直角邊分別與平面 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 角，則這個(gè)直角三角形所在的平面與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的銳二面角的余弦值為________．題型04利用向量法求二面角（定值）【典例1】如圖，已知四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn). ?? (1)求證： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ； (2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值. 【典例2】如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與底面所成的角為45°，底面 SKIPIF 1 < 0 為直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． ?? (1)求直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值； (2)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的銳二面角的余弦值．【典例3】如圖，在正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 作垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 . ?? (1)求證： SKIPIF 1 < 0 ； (2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值. 【變式1】如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 并與 SKIPIF 1 < 0 的延長線交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . ?? (1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 (2)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值. 【變式2】如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的中點(diǎn). ?? (1)求三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積； (2)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值. 題型05利用向量法求二面角（最值或范圍）【典例1】如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上． ?? (1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)時(shí)，求證： SKIPIF 1 < 0 ； (2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)時(shí)，求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角余弦值的最大值．【典例2】如圖，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面是邊長為2的等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 分別是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的射影為 SKIPIF 1 < 0 . ?? (1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ； (2)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離； (3)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值的取值范圍. 【典例3】如圖①所示，長方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到圖②的四棱錐 SKIPIF 1 < 0 ． (1)求四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積的最大值； (2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夾角余弦值的最小值．【變式1】已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，D為棱 SKIPIF 1 < 0 上的動點(diǎn). SKIPIF 1 < 0 . ?? (1)證明： SKIPIF 1 < 0 ； (2)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的位置. 【變式2】如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上且滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 (1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，證明： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ； (2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為何值時(shí)，平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的正弦值最??？題型06已知二面角求參數(shù) 【典例1】在直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，沿直線 SKIPIF 1 < 0 把直角坐標(biāo)系折成 SKIPIF 1 < 0 的二面角，則 SKIPIF 1 < 0 的長度為___________. 【典例2】如圖，四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面是邊長為2的菱形， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 . (1)證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 . (2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ，求四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積. 【變式1】如圖，在長方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上．若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為______，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ___ 【變式2】如圖，四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn). (1)求證：平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ； (2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離. 題型07二面角中的探索性問題【典例1】如圖2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置（如圖3），且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ． (1)求證：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ； (2)設(shè)Q是線段 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，試問：是否存在一個(gè)實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，請說明理由．【典例2】如圖1，在平面四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使得平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，如圖2所示. (1)設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的交線為 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ； (2)在線段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 不與端點(diǎn)重合），使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，請說明理由. 【變式1】在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 . (1)求證： SKIPIF 1 < 0 ； (2)若 SKIPIF 1 < 0 ，探索在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，請說明理由. 【變式2】如圖，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn). (1)證明： SKIPIF 1 < 0 ； (2)是否存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長.