初中數學人教版（2024）八年級上冊14.1.4 整式的乘法綜合訓練題

這是一份初中數學人教版（2024）八年級上冊14.1.4 整式的乘法綜合訓練題，共38頁。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19909" 【題型1 冪的基本運算】 PAGEREF _Tc19909 \h 1
\l "_Tc17174" 【題型2 利用冪的運算進行比較大小】 PAGEREF _Tc17174 \h 1
\l "_Tc7269" 【題型3 利用冪的運算進行簡便計算】 PAGEREF _Tc7269 \h 2
\l "_Tc24483" 【題型4 冪的運算中的新定義問題】 PAGEREF _Tc24483 \h 3
\l "_Tc30619" 【題型5 整式乘除的計算與化簡】 PAGEREF _Tc30619 \h 4
\l "_Tc23819" 【題型6 整式混合運算的應用】 PAGEREF _Tc23819 \h 4
\l "_Tc27996" 【題型7 因式分解（提公因式與公式法綜合）】 PAGEREF _Tc27996 \h 6
\l "_Tc24695" 【題型8 因式分解（十字相乘法）】 PAGEREF _Tc24695 \h 6
\l "_Tc10543" 【題型9 因式分解（分組分解法）】 PAGEREF _Tc10543 \h 7
\l "_Tc32355" 【題型10 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc32355 \h 8
【題型1 冪的基本運算】
【例1】（2023春·浙江·八年級期中）我們知道下面的結論：若am=an（a>0，且a≠1），則m=n．利用這個結論解決下列問題：設3m=2，3n=6，3p=18．現(xiàn)給出m，n，p三者之間的三個關系式：①m+p=2n，②3m+n=4p?6，③p2?n2?2m=3．其中正確的序號有
【變式1-1】（2023春·河北滄州·八年級校考期中）若n為正整數．且a2n=4，則2a3n2?4a22n的值為（ ）
A．4B．16C．64D．192
【變式1-2】（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，則a，b，c之間滿足的等量關系是 ．
【變式1-3】（2023春·河北石家莊·八年級石家莊市第二十一中學校考期中）按要求完成下列各小題
(1)若x2=2，求3x2?4x32的值；
(2)若m?n=1，求3m×9n÷27m的值；
(3)若xm?x2n+1=x11，ym?1÷yn=y6，求2m+n的值．
【題型2 利用冪的運算進行比較大小】
【例2】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）比較大?。?131 2741．（填>、27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，則x，y的大小關系是x y（填“”）．
【變式2-2】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：下面是底數大于1的數比較大小的兩種方法：
①比較2a，2b的大?。寒攁>b時，2a>2b，所以當同底數時，指數越大，值越大；
②比較340和260的大?。阂驗?40=3220=920，260=2320=820，9>8所以340>260．
可以將其先化為同指數，再比較大小，所以同指數時，底數越大，值越大．
根據上述材料，解答下列問題：
(1)比較大?。?20__________915（填“>”或“c時，則有ab>ac；若對于同指數，不同底數的兩個冪ab和cb，當a>c時，則有ab>cb，根據上述材料，回答下列問題．[注（2），（3）寫出比較的具體過程]
(1)比較大?。?20______420，961______2741；（填“>”、“0，且a≠1），那么數x叫做以a為底N的對數（lgarithm），記作：x=lgaN，其中，a叫做對數的底數，N叫做真數．
小明根據對數的定義，嘗試進行了下列探究：
(1)∵21=2,∴l(xiāng)g22=1；
∵22=4,∴l(xiāng)g24=2；
∵23=8,∴l(xiāng)g28=3；
∵24=16,∴l(xiāng)g216=__________；
計算：lg232=__________；
(2)計算后小明觀黎（1）中各個對數的真數和對數的值，發(fā)現(xiàn)一些對數之間有關系，
例如：lg24+lg28=__________；（用對數表示結果）
(3)于是他猜想：lgaM+lgaN=__________（a>0且a≠1，M>0，N>0）．請你將小明的探究過程補充完整，并證明他的猜想．
(4)根據之前的探究，直接寫出lgaM?lgaN=__________．
【題型5 整式乘除的計算與化簡】
【例5】（2023秋·上海金山·八年級校聯(lián)考期末）已知： a+b=32，ab=1，化簡a?2b?2的結果是 ．
【變式5-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級?？计谥校?）運用乘法公式計算：9992?1002×998+1
（2）先化簡，再求值：2x+y2x?y?3x+yx?2y?x2÷?12y，其中x=?1，y=2．
【變式5-3】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）為了比較兩個數的大小，我們可以求這兩個數的差，若差為0，則兩數相等；若差為正數，則被減數大于減數．若M=a+3a?4，N=a+22a?5，其中a為有理數，
(1)求M?N，要求化簡為關于a的多項式；
(2)比較M，N的大?。?br>【題型6 整式混合運算的應用】
【例6】（2023秋·重慶大渡口·八年級重慶市第三十七中學校校聯(lián)考開學考試）閱讀材料：
材料1：將一個三位數或三位以上的整數分成左中右三個數，如果滿足：中間數=左邊數的平方+右邊數的平方，那么我們稱該整數是平方和數，比如，對于整數251，它的中間數是5，左邊數是2，右邊數是1，因為22+12=5，所以251是平方和數；再比如，對于整數3254，因為32+42=25，所以3254是一個平方和數．顯然，152，4253這兩個數也肯定是平方和數．
材料2：將一個三位數或者三位以上的整數分成左中右三個數，如果滿足：中間數=2×左邊數×右邊數，那么我們稱該整數是雙倍積數；比如：對于整數163，它的中間數是6，左邊數是1，右邊數是3，因為2×1×3=6，所以163是雙倍積數；再比如，對于整數3305，因為2×3×5=30，所以3305是一個雙倍積數，顯然，361，5303這兩個數也肯定是雙倍積數．
請根據上述定義完成下面問題：
(1)如果一個三位整數既是平方和數，又是雙倍積數，則該三位整數是_____．（直接寫出結果）
(2)如果我們用字母a表示一個整數分出來的左邊數，用字母b表示一個整數分出來的右邊數，則a585b為一個平方和數，a504b為一個雙倍積數，求a2?b2的值．
【變式6-1】（2023秋·貴州遵義·八年級?？计谥校┤鐖D，學校操場主席臺前計劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米）
(1)用含a，b的整式表示花壇的面積；
(2)若a=2,b=1，工程費為500元/平方米，求建花壇的總工程費為多少元?
【變式6-2】（2023春·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期中）在矩形ABCD內，將一張邊長為a的正方形紙片和兩張邊長為b的正方形紙片（a>b），按圖1，圖2兩種方式放置（兩個圖中均有重疊部分），矩形中未被這三張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當AD?AB=2時，S1?S2的值是（ ）
A．2aB．2bC．?2b+b2 D．2a?2b
【變式6-3】（2023秋·浙江·八年級期中）正方形ABCD中，點G是邊CD上一點（不與點C，D重合），以CG為邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三點在同一條直線上，設正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為a和b（a>b）．
(1)求圖1中陰影部分的面積S1（用含a，b的代數式表示）；
(2)當a=5，b=3時，求圖1中陰影部分的面積S1的值；
(3)當a=5，b=3時，請直接寫出圖2中陰影部分的面積S2的值．
【題型7 因式分解（提公因式與公式法綜合）】
【例7】（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）分解因式
（1）20a3-30a2
（2）25（x+y）2-9（x-y）2
【變式7-1】（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：3a2m?n+12n?m= ．
【變式7-2】（2023秋·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考開學考試）多項式?2a3?4a2?2a因式分解的結果是 ．
【變式7-3】（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）請把下列各式分解因式
(1)a2a?b+b?a
(2)(a2+b2)2?4a2b2
【題型8 因式分解（十字相乘法）】
【例8】（2023春·湖南益陽·八年級?？计谥校╅喿x下面的材料，解答提出的問題：
已知：二次三項式x2?4x+m有一個因式是x+3，求另一個因式及m的值．
解：設另一個因式為x+n，由題意，得
x2?4x+m=x+3x+n，
x2?4x+m=x2+n+3x+3n，
所以n+3=?4m=3n，解得m=?21n=?7．
所以另一個因式為x?7，m的值為?21．
提出問題：
(1)已知二次三項式x2?5x?p有一個因式是x?1，另一個因式是________；
(2)已知二次三項式3x2+2x?k有一個因式是x?5，求另一個因式及k的值．
【變式8-1】（2023春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）多項式x2+x?6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均為整數，則a+b2023的值為（ ）
A．?1B．1C．?2023D．2023
【變式8-2】（2023秋·上海靜安·八年級上海市風華初級中學?？计谥校┓纸庖蚴剑?x2+4x2?42x2+4x?12．
【變式8-3】（2023春·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期末）材料1：由多項式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，將該式子從右到左地使用，即可對形如x2+a+bx+ab的多項式進行因式分解：x2+a+bx+ab=x+ax+b．多項式x2+a+bx+ab的特征是二次項系數為1，常數項為兩數之積，一次項系數為這兩數之和．
材料2：因式分解：(x+y)2+2x+y+1，解：將“x+y”看成一個整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=(A+1)2，再將“A”還原得：原式=(x+y+1)2．
上述解題用到整體思想，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法．請你解答下列問題：
(1)根據材料1將x2+4x+3因式分解；
(2)根據材料2將(x?y)2?10x?y+25因式分解；
(3)結合材料1和材料2，將m2?2mm2?2m+4+3因式分解．
【題型9 因式分解（分組分解法）】
【例9】（2023秋·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）已知a+b=3,ab=1，則多項式a2b+ab2?a?b的值為 ．
【變式9-1】（2023春·江蘇·八年級期中）分解因式：a4?4a3+4a2?9= ．
【變式9-2】（2023春·福建漳州·八年級?？计谥校╅喿x理解∶
當一個多項式沒有公因式又不能用公式法時，這里再介紹一種因式分解方法，叫分組分解法．
比如因式分解：am+bm+an+bn=am+bm+an+bn=ma+b+na+b=a+bm+n
這種分組法是分組后用提公因式法分解；
比如因式分解：a2+2ab+b2?9=a2+2ab+b2?9=a+b2?9=a+b+3a+b?3
這種分組法是分組后用公式法分解．
根據以上信息分解因式：
(1)ab?a?b+1；
(2)a2?9b2?2a+6b；
(3)n2+(n+1)(n+2)(n+3)(n+6)．
【變式9-3】（2023秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┮蚴椒纸猓簒2+9xy+18y2?3x?9y．
【題型10 利用因式分解求值】
【例10】（2023春·四川達州·八年級校聯(lián)考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，則多項式a2+b2+c2?ab?ac?bc的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【變式10-1】（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考期中）若x2+x?3=0，則x3+2x2?2x+5的值為 ．
【變式10-2】（2023春·浙江杭州·八年級杭州市文暉中學校考期中）（1）當mn=?4，m+n=3，求m?n的值．
（2）已知x+y=2,xy=34，求x3y+xy3+2x2y2的值．
【變式10-3】（2023春·江蘇泰州·八年級泰州市第二中學附屬初中校考期中）閱讀材料：若m2+2mn+2n2?6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2?6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2?6n+9=0，
∴(m+n)2+(n?3)2=0，
∴m+n=0，n?3=0，
∴m=?3，n=3．
像這樣將代數式進行恒等變形，使代數式中出現(xiàn)完全平方式的方法叫做“配方法”．請利用配方法，解決下列問題：
(1)已知x2+2y2?2xy?8y+16=0，則x=______，y=______；
(2)若A=2a2?3a?1，B=a2?a?4，試比較A與B的大?。篈______B（填“>”或“0，且a≠1），則m=n．利用這個結論解決下列問題：設3m=2，3n=6，3p=18．現(xiàn)給出m，n，p三者之間的三個關系式：①m+p=2n，②3m+n=4p?6，③p2?n2?2m=3．其中正確的序號有
【答案】①③/③①
【分析】根據同底數冪的乘除法運算法則進行變形可得3n=6=3×2=3×3m=3m+1，3p=18=3×6=3×3n=31+n，進而可得m=n?1，p=1+n=2+m，再逐項判斷即可作答．
【詳解】∵3m=2，3n=6=3×2=3×3m=3m+1，
∴n=1+m，即m=n?1，
∵3p=18=3×6=3×3n=31+n，
∴p=1+n=2+m，
①m+p=n?1+1+n=2n，故正確；
②3m+n=3(p?2)+p?1=4p?7，故錯誤；
③p2?n2?2m=(p+n)(p?n)?2m=(2+m+1+m)(2+m?1?m)?2m=3，故正確；故選：①③．
【點睛】本題考查同底數冪的乘除法，解題的關鍵是熟練運用同底數冪的乘除法公式，本題屬于中等題型．
【變式1-1】（2023春·河北滄州·八年級?？计谥校┤鬾為正整數．且a2n=4，則2a3n2?4a22n的值為（ ）
A．4B．16C．64D．192
【答案】D
【分析】根據積的乘方以及逆運算對式子進行化簡求解即可．
【詳解】解析：2a3n2?4a22n=4a6n?4a4n
=4a2n3?4a2n2=4×43?4×42
=4×43?42=4×48=192，
故選D．
【點睛】此題考查了冪的有關運算，解題的關鍵是熟練掌握冪的有關運算法則．同底數冪相乘（除），底數不變，指數相加（減）；冪的乘方，底數不變，指數相乘；積的乘方，把每個因式分別乘方．
【變式1-2】（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，則a，b，c之間滿足的等量關系是 ．
【答案】a+c=2b
【分析】根據4×9=62，把各數代入即可求解．
【詳解】∵4×9=62，5a=4，5b=6，5c=9
∴5a×5c=5b2=52b
故5a+c=52b
∴a+c=2b
故答案為：a+c=2b．
【點睛】此題主要考查冪的運算，解題的關鍵是熟知冪的運算法則．
【變式1-3】（2023春·河北石家莊·八年級石家莊市第二十一中學?？计谥校┌匆笸瓿上铝懈餍☆}
(1)若x2=2，求3x2?4x32的值；
(2)若m?n=1，求3m×9n÷27m的值；
(3)若xm?x2n+1=x11，ym?1÷yn=y6，求2m+n的值．
【答案】(1)?14
(2)19
(3)17
【分析】（1）根據冪的乘方運算法則將代數式轉換為含x2的式子，再將x2=2代入計算即可；
（2）根據同底數冪的乘法和除法運算法則將代數式進行化簡，再將m?n=1代入計算即可；
（3）根據同底數冪的乘法和除法運算法則將代數式進行化簡，根據等式的性質建立兩個等式，將兩個等式相加即可得到答案．
【詳解】（1）解：3x2?4x32
=9x2?4x23
∵x2=2，
∴3x2?4x32
=9×2?4×23
=18?32
=?14；
（2）解：3m×9n÷27m
=3m×32n÷33m
=3m+2n?3m
=3?2m?n
=3?2
=19；
（3）解：∵xm?x2n+1=x11，ym?1÷yn=y6
∴xm+2n+1=x11，ym?1?n=y6
∴m+2n+1=11①m?1?n=6②，
將①+②得2m+n=17．
【點睛】本題考查的代數式求值，解題的關鍵是熟練掌握冪的乘方運算、同底數冪的乘法和除法運算，以及掌握等式的性質．
【題型2 利用冪的運算進行比較大小】
【例2】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）比較大?。?131 2741．（填>、
【分析】根據冪的乘方，底數不變指數相乘整理成以3為底數的冪，再根據指數的大小比較即可．
【詳解】解：8131=3431=3124，
2741=3341=3123，
∵124>123，
∴8131>2741．
故答案為：>．
【點睛】本題考查了冪的乘方的性質，熟記性質并轉換成以3為底數的冪是解題的關鍵．
【變式2-1】（2023春·江蘇·八年級期末）若a3=2，b5=3，比較a，b大小關系的方法：因為a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，32>27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，則x，y的大小關系是x y（填“”）．
【答案】128，
∴x358所以340>260．
可以將其先化為同指數，再比較大小，所以同指數時，底數越大，值越大．
根據上述材料，解答下列問題：
(1)比較大?。?20__________915（填“>”或“