中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.13 圓章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（北師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc11060" 【題型1 巧用圓的半徑相等】 PAGEREF _Tc11060 \h 1
\l "_Tc8178" 【題型2 由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求范圍】 PAGEREF _Tc8178 \h 5
\l "_Tc15352" 【題型3 弧、弦、角、之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc15352 \h 11
\l "_Tc7578" 【題型4 垂徑定理】 PAGEREF _Tc7578 \h 17
\l "_Tc10820" 【題型5 圓周角定理】 PAGEREF _Tc10820 \h 22
\l "_Tc14210" 【題型6 圓內(nèi)接四邊形】 PAGEREF _Tc14210 \h 28
\l "_Tc24132" 【題型7 直線與圓的位置關(guān)系】 PAGEREF _Tc24132 \h 35
\l "_Tc1533" 【題型8 切線長(zhǎng)定理的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc1533 \h 39
\l "_Tc25733" 【題型9 弧長(zhǎng)的計(jì)算】 PAGEREF _Tc25733 \h 45
\l "_Tc2755" 【題型10 扇形面積的計(jì)算】 PAGEREF _Tc2755 \h 49
【題型1 巧用圓的半徑相等】
【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是連接半徑，抓住圓的半徑相等是關(guān)鍵.
【例1】（2023秋·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的弦，OD為⊙O半徑．OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OD=2OC，則∠ODB為（）度
A．60B．65C．70D．75
【答案】D
【分析】連接OB，則OB=OD，由OC⊥AB，則∠OBC=30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
【詳解】解：如圖：連接OB，則OB=OD，
∵OC=12OD，
∴OC=12OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC=30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠OBC=30°，
∴∠OBD=∠ODB=75°，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的有關(guān)知識(shí)；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，半圓O的直徑AB=10，將半圓O繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′，與AB交于點(diǎn)P，那么AP=（）
A．2.5B．5C．10?52D．102?5
【答案】C
【分析】先根據(jù)題意判斷出△O′PB是等腰直角三角形，由勾股定理求出PB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出AP的長(zhǎng)．
【詳解】解：如下圖，連接O′P，
由題意得：∠OBA′=45°，
∵O'P=O'B，
∴∠O'PB=∠OBA'=45°,
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB=2BO′=52，
∴AP=AB?BP=10?52，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△O′PB是等腰直角三角形．
【變式1-2】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)唐山市第十二中學(xué)?？计谀┤鐖D，⊙O的直徑AB與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若DE=OB，∠AOC=84°，則∠E等于（）
A．42°B．28°C．21°D．20°
【答案】B
【分析】連接OD，易得OD=BE，利用三角形外角的性質(zhì)得到∠ODC=2∠E，∠AOC=∠ODC+∠E，進(jìn)行求解即可；
【詳解】解：連接OD，則：OD=OB=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵DE=OB，
∴OD=DE，
∴∠DOE=∠E，
∴∠ODC=∠DOE+∠E=2∠E，
∴∠OCD=2∠E，
∴∠AOC=∠OCD+∠E=3∠E，
∴∠E=13∠AOC=28°；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的認(rèn)識(shí)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)A內(nèi)半徑均相等，得到等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023秋·天津南開·九年級(jí)南開翔宇學(xué)校?？计谀┤鐖D，⊙O 的半徑為 2，AB 為圓上一動(dòng)弦，以 AB為邊作正方形ABCD，求OD的最大值．
【答案】22+2
【分析】把AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OO′，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再求出∠BAO=∠DAO′，然后利用“邊角邊”證明△ABO和△ADO′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DO′=BO，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求解即可．
【詳解】如圖，連接AO、BO、把AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AO′，連接DO′
∴△AOO′是等腰直角三角形，
∵AO=2，
∴OO′=22+22=22，
在正方形ABCD中，AB=AD， ∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠BAO′=∠DAO′+∠BAO′=90°，
∴∠BAO=∠DAO′，
在△ABO和△ADO′中，
AO=AO′∠BAO=∠DAO′AB=AD，
∴△ABO≌△ADO′ （SAS），
∴DO′=BO=2，
∴OO′＋O′D≥OD，
當(dāng)O、O′、D三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”，
此時(shí)，OD的最大值為22+2．
故答案為：22+2．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
【題型2 由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求范圍】
【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；
當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．
【例2】（2011秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)，⊙A的半徑是5，若點(diǎn)D(?2,a)在⊙A外，則a的范圍是( )
A．a(chǎn)>4B．a(chǎn)>4或a16，
∴a>4或a

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