知識點一：用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的步驟
(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸和y′軸， 兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．
(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．
(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼匾话?
知識點詮釋：
用斜二測畫法畫圖的關鍵是在原圖中找到?jīng)Q定圖形位置與形狀的點并在直觀圖中畫出．一般情況下，這些點的位置都要通過其所在的平行于x、y軸的線段來確定，當原圖中無需線段時，需要作輔助線段．
知識點二：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟
(1)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可．
(2)畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線(與原圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側棱即可)，連線成圖．
(3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示．
知識點三：斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質
①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長度不變．
【典型例題】
類型一 水平放置的平面圖形直觀圖的畫法
例1．（2023·全國·高一課時練習）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖（尺寸自定），并由此探尋直觀圖面積與原圖形面積之間的關系.
（1）矩形；
（2）平行四邊形；
（3）正三角形；
（4）正五邊形
解題技巧（畫水平放置的平面圖形的直觀圖的注意事項）
在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)闹苯亲鴺讼凳顷P鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段．
例2．（2023·全國·高一課時練習）如圖，已知點，，,用斜二測畫法作出該水平放置的四邊形的直觀圖，并求出面積.
例3．(2023·全國·高一）用斜二測畫法畫出下列平面圖形水平放置的直觀圖.
類型二 幾何體的直觀圖畫法
例4.(2023·全國·高一）已知一個正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖．
解題技巧： (畫空間幾何體的直觀圖的注意事項)
(1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標系Oxyz，并且把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面，再作z′軸與平面x′O′y′垂直．
(2)作空間圖形的直觀圖時平行于x軸的線段畫成平行于x′軸的線段并且長度不變．
(3)平行于y軸的線段畫成平行于y′軸的線段，且線段長度畫成原來的一半．
(4)平行于z軸的線段畫成平行于z′軸的線段并且長度不變．
例5．(2023·全國·高一）畫底面邊長為2cm，高為3cm的正四棱柱的直觀圖．
例6．（2023·全國·高二課時練習）用斜二測畫法畫出各棱長都為5的正三棱錐的直觀圖.
類型三 與直觀圖還原有關的計算問題
例7．（2023·山東聊城·高一期末）如圖，是用斜二測畫法畫出的直觀圖，則的周長為（ ）
A．B．
C．D．
解題技巧（直觀圖還原注意事項）
由于斜二測畫法中平行于x軸的線段的長度在直觀圖中長度不變，而平行于y軸的線段在直觀圖中長度要減半，同時要傾斜45°，因此平面多邊形的直觀圖中的計算需注意兩點．
(1)直觀圖中任何一點距x′軸的距離都為原圖形中相應點距x軸距離的sin45°＝倍．
(2)S直觀圖＝S原圖．
由直觀圖計算原圖形中的量時，注意上述兩個結論的轉換．
例8．（2023·湖北省廣水市實驗高級中學高二期中）如圖，邊長為2的正方形是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則圖形的面積是（ ）
A．B．C．D．
例9．(2023·全國·高一）若一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°且腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（ ）
A．B．C．D．
例10．(2023·全國·高一）正三角形的邊長為1，建立如圖所示的直角坐標系，則它的直觀圖的面積是（ ）
A．B．C．D．
例11．（2023·全國·高一課時練習）如圖∶矩形A'B'C'D'的長為4cm，寬為2cm，O'是A'B'的中點，它是水平放置的一個平面圖形ABCD的直觀圖，則四邊形ABCD的周長為∶__________cm；
例12．（2023·廣東·東莞市新世紀英才學校高一階段練習）正方形的邊長為1，利用斜二測畫法得到直觀圖，其周長等于___________．
【同步練習】
一、單選題
1．（2023·湖北·高二階段練習）如圖，是水平放置的的直觀圖，則中邊上的高等于（ ）
A．4B．C．2D．
2．(2023·全國·高一）如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，是中邊上的一點，且離比離近，又軸∥，那么原的、、三條線段中（ ）
A．最長的是，最短的是B．最長的是，最短的是
C．最長的是，最短的是D．最長的是，最短的是
3．(2023·全國·高一）已知水平放置的四邊形按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學高一期中）某平面七邊形在斜二測畫法下的直觀圖面積是，則該圖形的原面積是（ ）.
A．B．C．D．
5．(2023·全國·高一）如圖，是水平放置的的直觀圖，，，則的面積是（ ）
A．6B．12C．D．
6．(2023·全國·高一）如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是選項中的（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·陜西·西安市第八十九中學高一階段練習）水平放置的有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是邊長為2的正，則的面積是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）如圖，用斜二測畫法作△ABC水平放置的直觀圖形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，由圖形可知在△ABC中，下列四個結論中正確的是（ ）
A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BC
C．AC＞AD＞ABD．AC＞AD＞AB＝BC
二、多選題
9．（2023·全國·高一課時練習）對于用斜二測畫法所得的直觀圖，以下說法錯誤的是（ ）
A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形
C．梯形的直觀圖不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形
10．（2023·全國·高一課時練習）已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積可能為（ ）
A．16B．64C．32D．無法確定
11．（2023·全國·高一課時練習）如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形不可能是選項中的（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全國·高一專題練習）如圖，表示水平放置的根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的邊上的高為2B．的邊上的高為4
C．D．
三、填空題
13．（2023·湖北·丹江口市第一中學高二階段練習）如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖，則在直觀圖中，梯形的高為___________.
14．（2023·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學高二階段練習）如圖，若三角形是用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形ABC的直觀圖.已知，，三角形的面積為.則原平面圖形ABC中BC的長度為 _________ .
15．（2023·上?！偷└街懈叨谥校┮阎椒胖玫氖前础靶倍y畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，則原中的大小是_________．
16．（2023·全國·高一課時練習）如下圖所示,梯形是水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法),若,,,,則四邊形的面積是__________.
四、解答題
17．（2023·全國·高一課時練習）畫出底面邊長為3cm、高為4.5cm的正三棱柱的直觀圖.
18．（2023·全國·高一課時練習）已知圓柱的底面半徑和高分別為2cm，3cm，畫出該圓柱的直觀圖.
19．（2023·全國·高一課時練習）如圖所示的直觀圖直角梯形，，，，求原圖形的面積．
20．（2023·全國·高一課時練習）如圖，四邊形是一個梯形， ，三角形為等腰直角三角形， 為的中點
（1）畫出梯形水平放置的直觀圖
（2）求這個直觀圖的面積.
21．（2023·浙江溫州·高一期中）如圖矩形是水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中，．
（1）畫出平面四邊形OABC的平面圖并標出邊長，并求平面四邊形OABC的面積；
（2）若該四邊形OABC以OA為旋轉軸，旋轉一周，求旋轉形成的幾何體的體積及表面積．
22．（2023·全國·高一課時練習）用斜二測畫法得到的多邊形的直觀圖為多邊形，試探索多邊形與多邊形的面積之間有無確定的數(shù)量關系.
8.2 立體圖形的直觀圖
【知識點梳理】
知識點一：用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的步驟
(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸和y′軸， 兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．
(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．
(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼匾话?
知識點詮釋：
用斜二測畫法畫圖的關鍵是在原圖中找到?jīng)Q定圖形位置與形狀的點并在直觀圖中畫出．一般情況下，這些點的位置都要通過其所在的平行于x、y軸的線段來確定，當原圖中無需線段時，需要作輔助線段．
知識點二：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟
(1)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可．
(2)畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線(與原圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側棱即可)，連線成圖．
(3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示．
知識點三：斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質
①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長度不變．
【典型例題】
類型一 水平放置的平面圖形直觀圖的畫法
例1．（2023·全國·高一課時練習）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖（尺寸自定），并由此探尋直觀圖面積與原圖形面積之間的關系.
（1）矩形；
（2）平行四邊形；
（3）正三角形；
（4）正五邊形
【解析】
（1）解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得：
設，，則，直觀圖中邊邊上的高為，
因此，設直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.
（2）解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得：
設，，則，直觀圖中邊邊上的高為，
因此，設直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.
（3）解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得：
設，，則，直觀圖中邊邊上的高為，
因此，設直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.
（4）解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得：
設，，則，的邊邊上的高為，
所以，，
同理可得，，，，
設五邊形的面積為，直觀圖五邊形的面積為，
則
.
解題技巧（畫水平放置的平面圖形的直觀圖的注意事項）
在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)闹苯亲鴺讼凳顷P鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段．
例2．（2023·全國·高一課時練習）如圖，已知點，，,用斜二測畫法作出該水平放置的四邊形的直觀圖，并求出面積.
【詳解】
由斜二測畫法可知，在直觀圖中，，，，，，，，，，
所以
.
例3．(2023·全國·高一）用斜二測畫法畫出下列平面圖形水平放置的直觀圖.
【詳解】
解：（1）
畫，軸，使，在軸上截取，在軸上截?。?br>過作軸的平行線，且取線段長度為2，連接，，，，
則四邊形的直觀圖即為四邊形；
（2）
畫，軸，使，在軸上截取，
在軸過、分別作的平行線，與在軸上過作軸的平行線分別交于，，連接，，，．
則四邊形的直觀圖即為四邊形．
類型二 幾何體的直觀圖畫法
例4.(2023·全國·高一）已知一個正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖．
【詳解】
【解】（1）畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）畫下底面．以O為中點，在x軸上取線段EF，使得EF＝6，在y軸上取線段GH，使得GH＝3，再過G，H分別作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中點為G，CD的中點為H，連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖．
（3）畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．
（4）連接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖
如圖②）．
解題技巧： (畫空間幾何體的直觀圖的注意事項)
(1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標系Oxyz，并且把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面，再作z′軸與平面x′O′y′垂直．
(2)作空間圖形的直觀圖時平行于x軸的線段畫成平行于x′軸的線段并且長度不變．
(3)平行于y軸的線段畫成平行于y′軸的線段，且線段長度畫成原來的一半．
(4)平行于z軸的線段畫成平行于z′軸的線段并且長度不變．
例5．(2023·全國·高一）畫底面邊長為2cm，高為3cm的正四棱柱的直觀圖．
【詳解】
例6．（2023·全國·高二課時練習）用斜二測畫法畫出各棱長都為5的正三棱錐的直觀圖.
【詳解】
分兩個步驟完成：
（1）先畫出水平放置的邊長為的正三角形的直觀圖：
1°在正三角形中，設的中點為，取中心為原點，過且與平行的直線為軸，以為軸建立直角坐標系，如圖：
，
則，，
2°作出斜坐標系，使，
在軸正半軸上取使，在軸負半軸上取點，使，
過作軸的平行線，使得，連，則三角形就是水平放置的邊長為的正三角形的直觀圖，如圖：
（2）過作軸，在軸正半軸上取點，使，連，可得各棱長都為5的正三棱錐的直觀圖，如圖：
類型三 與直觀圖還原有關的計算問題
例7．（2023·山東聊城·高一期末）如圖，是用斜二測畫法畫出的直觀圖，則的周長為（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【詳解】
作出的直觀圖如下圖所示：
由圖可得，，
因此，的周長為.
故選：C.
解題技巧（直觀圖還原注意事項）
由于斜二測畫法中平行于x軸的線段的長度在直觀圖中長度不變，而平行于y軸的線段在直觀圖中長度要減半，同時要傾斜45°，因此平面多邊形的直觀圖中的計算需注意兩點．
(1)直觀圖中任何一點距x′軸的距離都為原圖形中相應點距x軸距離的sin45°＝倍．
(2)S直觀圖＝S原圖．
由直觀圖計算原圖形中的量時，注意上述兩個結論的轉換．
例8．（2023·湖北省廣水市實驗高級中學高二期中）如圖，邊長為2的正方形是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則圖形的面積是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【詳解】
由三視圖知原平面圖形是平行四邊形，，，且，
所以面積為．
故選：A．
例9．(2023·全國·高一）若一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°且腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【詳解】
等腰梯形的面積
則原平面圖形的面積.
故選：C.
例10．(2023·全國·高一）正三角形的邊長為1，建立如圖所示的直角坐標系，則它的直觀圖的面積是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【詳解】
原圖中：設是的中點，則，.
直觀圖中：，，
所以.
故選：D
例11．（2023·全國·高一課時練習）如圖∶矩形A'B'C'D'的長為4cm，寬為2cm，O'是A'B'的中點，它是水平放置的一個平面圖形ABCD的直觀圖，則四邊形ABCD的周長為∶__________cm；
答案：20
【詳解】
由斜二測畫法的規(guī)則知與軸平行或重合的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質不變；
與軸平行或重合的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，且與軸平行的性質不變.
還原出原圖形如上圖所示，其中cm，cm
cm
所以原圖形的周長為cm
例12．（2023·廣東·東莞市新世紀英才學校高一階段練習）正方形的邊長為1，利用斜二測畫法得到直觀圖，其周長等于___________．
答案：3
【詳解】
根據(jù)斜二測畫法的原則可得：直觀圖中，x方向長度不變，y方向長度減半，如圖所示：
所以的周長為.
故答案為：3
【同步練習】
一、單選題
1．（2023·湖北·高二階段練習）如圖，是水平放置的的直觀圖，則中邊上的高等于（ ）
A．4B．C．2D．
答案：A
分析：
根據(jù)直觀圖的作圖方法即可求得答案.
【詳解】
由題意可知，，且，即OA邊上的高為4.
故選：A.
2．(2023·全國·高一）如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，是中邊上的一點，且離比離近，又軸∥，那么原的、、三條線段中（ ）
A．最長的是，最短的是B．最長的是，最短的是
C．最長的是，最短的是D．最長的是，最短的是
答案：C
分析：
由直觀圖畫出原圖即可求解.
【詳解】
解：由題意，得到的原圖如下圖所示，
其中，，
所以
所以的、、三條線段中最長的是，最短的是.
故選：C.
3．(2023·全國·高一）已知水平放置的四邊形按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
根據(jù)直觀圖畫出原圖，可得原圖形為直角梯形，計算該直角梯形的面積即可.
【詳解】
過點作，垂足為
則由已知可得四邊形為矩形，為等腰直角三角形
，
根據(jù)直觀圖畫出原圖如下：
可得原圖形為直角梯形，，
且，
可得原四邊形的面積為
故選：B.
4．（2023·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學高一期中）某平面七邊形在斜二測畫法下的直觀圖面積是，則該圖形的原面積是（ ）.
A．B．C．D．
答案：A
分析：
根據(jù)平面圖形的面積與斜二測畫法所得直觀圖的面積之比是，計算即可得出答案.
【詳解】
解：由于水平放置的平面圖形的面積與斜二測畫法所得直觀圖的面積之比是，
所以用斜二測畫法作一個平面七邊形的直觀圖，則其原面積是直觀圖面積的倍，
已知其直觀圖面積是，則該圖形的原面積是.
故選：A.
5．(2023·全國·高一）如圖，是水平放置的的直觀圖，，，則的面積是（ ）
A．6B．12C．D．
答案：B
分析：
由直觀圖和原圖的之間的關系，和直觀圖畫法規(guī)則，還原是一個直角三角形，其中直角邊，直接求解其面積即可．
【詳解】
解：由直觀圖畫法規(guī)則，可得是一個直角三角形，其中直角邊，
∴．
故選：B．
6．(2023·全國·高一）如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是選項中的（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：
根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則判斷．
【詳解】
由斜二測畫法的規(guī)則可知，該平面圖形為直角梯形，又因為第一象限內的邊平行于y′軸，
故選：C.
7．（2023·陜西·西安市第八十九中學高一階段練習）水平放置的有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是邊長為2的正，則的面積是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根據(jù)直觀圖和原圖面積比的關系，即得解
【詳解】
由題意，.
且
故
故選：C
8．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）如圖，用斜二測畫法作△ABC水平放置的直觀圖形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，由圖形可知在△ABC中，下列四個結論中正確的是（ ）
A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BC
C．AC＞AD＞ABD．AC＞AD＞AB＝BC
答案：C
分析：
根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，將直觀圖還原，即可比較三條線段的長度關系.
【詳解】
根據(jù)斜二測畫法，把直觀圖形中的△A1B1C1，還原成原圖形，
如圖所示；
為直角三角形，且，
則.
故選：C．
二、多選題
9．（2023·全國·高一課時練習）對于用斜二測畫法所得的直觀圖，以下說法錯誤的是（ ）
A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形
C．梯形的直觀圖不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形
答案：ACD
分析：
根據(jù)斜二測畫法的原理，對四個選項逐一分析即可得到..
【詳解】
由直觀圖的做法可知：原圖形中的平行性質仍然保持，而相當長度和角的大小不一定與原來的相等.
對于A：等腰三角形的直觀圖不再是等腰三角形，故A錯誤；
對于B：因為正方形的對邊平行，所以在直觀圖中仍然平行，故正方形的直觀圖為平行四邊形成立.故B正確；
對于C：梯形的上下底平行，在直觀圖中仍然平行；兩腰不平行，在直觀圖中仍然不平行；所以梯形的直觀圖仍是梯形.故C錯誤；
對于D: 正三角形的直觀圖不是等腰三角形.故D錯誤.
故選：ACD
10．（2023·全國·高一課時練習）已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積可能為（ ）
A．16B．64C．32D．無法確定
答案：AB
分析：
正方形的直觀圖是一個平行四邊形，有一邊長為4，分兩種情況討論，根據(jù)斜二測畫法的原則，即可得結果.
【詳解】
根據(jù)題意，正方形的直觀圖如圖所示：
①若直觀圖中平行四邊形的邊,
則原正方形的邊長為，所以該正方形的面積為；
②若直觀圖中平行四邊形的邊,
則原正方形的邊長為，所以該正方形的面積為，
故選：AB.
11．（2023·全國·高一課時練習）如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形不可能是選項中的（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
分析：
根據(jù)直觀圖，畫出原圖形，即可得出答案.
【詳解】
根據(jù)該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個直角梯形，且在直觀圖中平行于軸的邊與底邊垂直，原圖形如圖所示：
即可判斷不可能的為A，B，D.
故選：ABD.
12．（2023·全國·高一專題練習）如圖，表示水平放置的根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的邊上的高為2B．的邊上的高為4
C．D．
答案：BD
分析：
過作軸，交軸于點，即可求出相關量，畫出原圖，即可判斷.
【詳解】
如圖，過作軸，交軸于點，
則可得，又與軸垂直，且，則,
則在原圖中，，且，即的邊上的高為4，
又在上，可得.
故選：BD.
【點睛】
關鍵點睛：解決本題的關鍵是過作軸，交軸于點，根據(jù)題意畫出原圖.
三、填空題
13．（2023·湖北·丹江口市第一中學高二階段練習）如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖，則在直觀圖中，梯形的高為___________.
答案：
分析：
由已知求出原圖的面積，進而根據(jù)原圖面積與直觀圖面積的關系，求出直觀圖的關系，設直觀圖的高為，結合直觀圖中梯形的兩底長不變，構造關于的方程，可得答案．
【詳解】
解：四邊形是上底為2，下底為6，底角為的等腰梯形，
故的高為2，面積，
故其直觀圖的面積，
設直觀圖的高為，則，
解得：，
即在直觀圖中，梯形的高為.
故答案為：.
14．（2023·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學高二階段練習）如圖，若三角形是用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形ABC的直觀圖.已知，，三角形的面積為.則原平面圖形ABC中BC的長度為 _________ .
答案：
分析：
利用三角形面積公式求出，再作出原平面圖形，利用勾股定理計算可得；
【詳解】
解：因為，，且三角形的面積為，所以，所以，
三角形的原平面圖形如下所示：
所以，且，所以；
故答案為：
15．（2023·上?！偷└街懈叨谥校┮阎椒胖玫氖前础靶倍y畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，則原中的大小是_________．
答案：##
分析：
根據(jù)斜二測畫法，畫出原幾何圖形，判斷出原為等邊三角形，從而可求的大小.
【詳解】
根據(jù)斜二測畫法，畫出原幾何體，如圖，
易知,，所以，
所以原為等邊三角形，所以.
故答案為：.
16．（2023·全國·高一課時練習）如下圖所示,梯形是水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法),若,,,,則四邊形的面積是__________.
答案：5
分析：
根據(jù)斜二測畫法知，四邊形ABCD是上底為2下底為3，高的直角梯形，利用梯形公式即可求解.
【詳解】
由直觀圖知，四邊形ABCD中，ABCD,,因為，所以，且,根據(jù)梯形面積公式，故填5.
【點睛】
本題考查直觀圖，斜二測畫法，屬于中檔題. 解決直觀圖相關問題，需要利用斜二測畫法聯(lián)系原圖形和直觀圖.
四、解答題
17．（2023·全國·高一課時練習）畫出底面邊長為3cm、高為4.5cm的正三棱柱的直觀圖.
答案：答案見解析
分析：
按照作直觀圖的步驟，畫軸、畫底面、畫側棱、成圖結合直觀圖的原理：橫豎不變縱減半，，保持平行線即可成圖.
【詳解】
一、畫軸，如圖：畫軸、軸、軸，三軸相交于點，使得，；
二、畫底面，以為中點，在軸上取，在軸正半上截取
，連接，，則就是正三棱柱的底面；
三、畫側棱、過點，，分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取4.5cm長的線段，，；
四、成圖，順次連接，，，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），即得正三棱柱的直觀圖.
18．（2023·全國·高一課時練習）已知圓柱的底面半徑和高分別為2cm，3cm，畫出該圓柱的直觀圖.
答案：答案見解析
分析：
根據(jù)斜二測畫法作幾何體的直觀圖
【詳解】
解：第一步：畫軸：如圖1，畫軸，使得；
第二步：畫下底面，以點為中心，在軸上取線段，使得cm，利用橢圓模板畫橢圓，使其經(jīng)過兩點，這個橢圓就是圓柱的底面；
第三步：畫上底面，在上截取點，使得cm，過作平行于軸的軸，類似下底面的作法做出圓柱的上底面；
第四步：成圖，順次連接，再去掉輔助線，將遮擋的部分改為虛線，就得的直觀圖，如圖2.
19．（2023·全國·高一課時練習）如圖所示的直觀圖直角梯形，，，，求原圖形的面積．
答案：
分析：
方法一：首先根據(jù)斜二測畫法，對直觀圖進行還原原圖形，然后計算原圖形的面積即可；
方法二：根據(jù)直觀圖面積與原圖形面積之間的關系即可求解原圖形的面積.
【詳解】
方法一：如圖①，在直觀圖中，過點作，垂足為點，則在中，，，所以．
而四邊形為矩形，，所以．所以．
由此可畫出原圖形如圖②，是一個直角梯形．
① ②
在原圖形中，，，且，，
所以原圖形的面積．
方法二：四邊形的直觀圖面積，
而原圖形的面積，所以．
20．（2023·全國·高一課時練習）如圖，四邊形是一個梯形， ，三角形為等腰直角三角形， 為的中點
（1）畫出梯形水平放置的直觀圖
（2）求這個直觀圖的面積.
答案：（1）答案見解析；（2）.
分析：
（1）利用斜二測畫法，畫出梯形的直觀圖；
（2）過點作于點，利用梯形的面積公式求解.
【詳解】
（1）在梯形中， ，畫出梯形的直觀圖，如圖中梯形所示，
（2）過點作于點.易得，
所以梯形的高，
所以梯形的面積為，
即梯形水平放置的直觀圖的面積為.
21．（2023·浙江溫州·高一期中）如圖矩形是水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中，．
（1）畫出平面四邊形OABC的平面圖并標出邊長，并求平面四邊形OABC的面積；
（2）若該四邊形OABC以OA為旋轉軸，旋轉一周，求旋轉形成的幾何體的體積及表面積．
答案：（1）平面圖見解析，面積為；（2）體積為，表面積為.
分析：
（1）根據(jù)斜二測畫法所畫的直觀圖與平面圖的關系作出平面圖形，然后根據(jù)面積公式求解出面積即可；
（2）畫出幾何體的直觀圖，然后根據(jù)圓柱、圓錐的體積和表面積公式求解出旋轉形成的幾何體的體積及表面積.
【詳解】
（1）平面四邊形的平面圖如下圖所示：
由直觀圖可知菱形的高為：，
所以面積為；
（2）旋轉而成的幾何體如下圖所示：
該幾何體可以看成圓柱挖去一個同底的圓錐再加上一個同底的圓錐，
由（1）可知圓柱的底面圓半徑為，母線長為，
所以體積；
所以表面積.
22．（2023·全國·高一課時練習）用斜二測畫法得到的多邊形的直觀圖為多邊形，試探索多邊形與多邊形的面積之間有無確定的數(shù)量關系.
答案：有確定的數(shù)量關系
分析：
先確定三角形的直觀圖和原始圖的面積關系，再將多邊形轉化為三角形得到答案.
【詳解】
①設在中，為高邊平行于軸，用斜二測畫法得到其直觀圖為，
則有，的高為，
所以.
②當?shù)娜叾疾慌c軸平行時，可過其中一個頂點作與軸平行的直線與對邊相交，不妨設過點作與軸平行的直線交于點，則將分成和，
由①可知.
③對多邊形，可連接，，…，，得到()個三角形，
即，，…，，
由①②知
綜上：可知多邊形與其直觀圖多邊形的面積之間有確定的數(shù)量關系.
【點睛】
本題考查了斜二測畫法得到的直觀圖與原始圖的面積關系，將多邊形轉化為三角形是解題的關鍵.

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8.2 立體圖形的直觀圖

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